Topologisk K-teori

I matematikk , spesielt i algebraisk topologi , omhandler den topologiske K- teorien studiet av vektorbunter på topologiske rom . Navnet K-Theory ble skapt av Alexander Grothendieck ; K står for "klasse" i en veldig generell forstand.

Definisjoner

Det er et fast, kompakt Hausdorff-rom . ${\ displaystyle X}$

Da er kvotienten til den frie abelske gruppen på isomorfismeklassene til de stabile ekvivalente komplekse vektorpakkene over etter undergruppen som for elementene i formen ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle [E \ oplus F] - [E] - [F]}$

for hvilken som helst kompleks vektorpakke genereres via . Den Whitney Summen betegner de vektorbunter. Denne konstruksjonen, som er basert på konstruksjon av hele tall fra naturlige tall , kalles Grothendieck-gruppen (etter Alexander Grothendieck ). Man kan tenke på elementer som formelle summer og forskjeller mellom (isomorfiske klasser av) komplekse vektorbunter. ${\ displaystyle E, F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle K (X)}$

Hvis man vurderer virkelige vektorbunter i stedet, får man den virkelige teorien${\ displaystyle K}$ . For en bedre definisjon kalles K-teorien for komplekse vektorbunter også kompleks K-teori. ${\ displaystyle KO (X)}$

To vektorbunter og på definerer det samme elementet i hvis og bare hvis de er stabile ekvivalente , dvs. H. hvis det er en triviell bunt med vektorer slik at ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle E \ oplus G \ cong F \ oplus G}$

Tensorproduktet fra vektorbunter blir en kommutativ ring med ett element. ${\ displaystyle K (X)}$

Konseptet med rangeringen av et vektorpakke blir overført til elementene i teorien. Den reduserte K-teorien er undergruppen til elementene på rang 0. Betegnelsen introduseres også; betegner den reduserte hengende . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ tilde {K}} (X)}$${\ displaystyle {\ tilde {K}} ^ {n} (X) = {\ tilde {K}} (S ^ {n} X)}$${\ displaystyle S}$

kjennetegn

• ${\ displaystyle K}$er en motstridende funksjon i kategorien kompakte Hausdorff-rom.
• Det er et topologisk rom slik at elementer fra de homotopi klasser tilsvarer kart .${\ displaystyle BU}$${\ displaystyle K (X)}$${\ displaystyle X \ til BU}$
• Det er en naturlig ring homomorfi kalt den Chern karakter .${\ displaystyle K (X) \ til H ^ {*} (X, Q)}$

Bott periodisitet

Dette periodisitetsfenomenet, oppkalt etter Raoul Bott , kan formuleres på følgende ekvivalente måter:

• ${\ displaystyle K (X \ times S ^ {2}) = K (X) \ otimes K (S ^ {2}),}$og her er klassen til den tautologiske bunten over .${\ displaystyle K (S ^ {2}) = \ mathbb {Z} [H] / (H-1) ^ {2};}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle S ^ {2} = \ mathbb {C} P ^ {1}}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {K}} ^ {n + 2} (X) = {\ tilde {K}} ^ {n} (X)}$
• ${\ displaystyle \ Omega ^ {2} \ mathrm {BU} \ simeq \ mathrm {BU} \ times \ mathbf {Z}}$.

I ekte K- teori er det en lignende periodisitet med periode 8.

beregning

Den (komplekse eller reelle) topologiske K-teorien er en generalisert kohomologi teori og kan ofte beregnes ved hjelp av Atiyah-Hirzebruch spektral sekvens.

K-teori for Banach algebras

Den topologiske K-teorien kan utvides til å omfatte generelle Banach-algebraer, der C * -algebraene spiller en viktig rolle. Den topologiske K-teorien om kompakte rom kan omformuleres som K-teorien om Banach-algebraer med kontinuerlige funksjoner og deretter overføres til alle Banach-algebraer, til og med det ene elementet i algebrene kan utelates. Siden oppgaven er en kontrastvariant fra kategorien kompakte Hausdorff-rom til kategorien Banach-algebraer, og siden den topologiske K-teorien også er kontravariant, får vi en kovariant funksjon fra kategorien Banach-algebraer til kategorien abelske grupper.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C (X)}$${\ displaystyle X \ rightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X \ mapsto C (X)}$

Siden ikke-kommutative algebraer også kan forekomme her, snakker man om ikke-kommutativ topologi. K-teorien er et viktig gjenstand for etterforskning i teorien om C * algebras.

Se også

Algebraisk K-teori

litteratur

• Michael Atiyah: K-teori. Notater av DW Anderson. Andre utgave. Avanserte bokklassikere. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
• Allen Hatcher: Vector-pakker og K-teori ( math.cornell.edu ).
• Karlheinz Knapp: vektorpakke. ( link.springer.com ).

weblenker

• Max Karoubi: Forelesninger om K-teori. (PDF).

hovne opp

1. ↑ Atiyah , Hirzebruch : Vektorbunter og homogene mellomrom. I: Proc. Sympos. Ren matematikk. Bind III. American Mathematical Society, Providence, RI 1961, s. 7-38.
2. ^ Blackadar : K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X .