Grothendieck Group

Den Grothendieck gruppe er en matematisk konstruksjon som tildeler en gruppe til et kommutativt semigroup . Denne konstruksjonen, oppkalt etter Alexander Grothendieck , er basert på lokalisering fra ringteori og kan som dette beskrives av en universell eiendom .

Universell eiendom

Følgende setning gjelder:

Er en kommutativ semigruppe, så det er en kommutativ gruppe og en Halbgruppen- homomorfisme med følgende egenskaper: For hver gruppe og hver semigroup homomorfisme eksisterer det en gruppe homomorfisme med . ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {H} \ kolon H \ rightarrow {\ mathcal {G}} (H)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ phi \ colon H \ rightarrow G}$${\ displaystyle \ psi \ colon {\ mathcal {G}} (H) \ rightarrow G}$${\ displaystyle \ phi = \ psi \ circ \ phi _ {H}}$

konstruksjon

Et bevis er resultatet av følgende konstruksjon, som er basert på lokalisering fra ringteorien. Vær en kommutativ semigruppe. På kartesisk produkt , definere en ekvivalens forhold etter ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H ^ {2} = H \ ganger H}$

${\ displaystyle (x, y) \ sim (x ', y') \ quad: \ Leftrightarrow \ quad \ eksisterer t \ i H: x + y '+ t = x' + y + t}$.

En nå viser at dette faktisk definerer en ekvivalensrelasjon, den ekvivalens klasse av er merket med. Du angir og fortsetter å vise at en gruppelink definerer. Her er det nøytrale elementet (uavhengig av ) den omvendte formen representert av formelen gitt. Hvis man til slutt stiller , kan man vise det og oppfylle vilkåret fra den universelle eiendommen. ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle [(x, y)]}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H): = H ^ {2} / \ sim}$${\ displaystyle [(x, y)] + [(x ', y')]: = [(x + x ', y + y')]}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H)}$${\ displaystyle [(x, x)]}$${\ displaystyle x \ i H}$${\ displaystyle - [(x, y)] = [(y, x)]}$${\ displaystyle \ phi _ {H} \ colon H \ rightarrow {\ mathcal {G}} (H), x \ mapsto [(x + x, x)]}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H)}$${\ displaystyle \ phi _ {H}}$

kjennetegn

• Som vanlig viser man ved hjelp av den universelle eiendommen at gruppen er unikt bestemt bortsett fra isomorfisme. Derfor kalte de Grothendieck-gruppen av .${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (H)}$ ${\ displaystyle H}$
• Semigroup-homomorfismen fra ovennevnte universelle eiendom er injeksjonsdyktig hvis og bare hvis semigroup har den egenskapen som kan forkortes .${\ displaystyle \ phi _ {H}}$

Eksempler

• For semigruppen sammenfaller dannelsen av Grothendieck-gruppen med den vanlige konstruksjonen av hele tall . Man har derfor , der isomorfismen er gitt av . Hvis man identifiserer Grothendieck-gruppen med , så er det inkludering . Det spiller ingen rolle om man forstår naturlige tall med eller uten null.${\ displaystyle H = (\ mathbb {N}, +)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbb {N}, +) \ cong \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle [(n, m)] \ mapsto nm}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +)}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ phi _ {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
• Svært like betraktninger på den multiplikative halvgruppen fører til , og denne identifikasjonen sammenfaller igjen med inkludering .${\ displaystyle H = (\ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}, \ cdot)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}, \ cdot) \ cong (\ mathbb {Q} ^ {+}, \ cdot)}$${\ displaystyle \ phi _ {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \} \ subset \ mathbb {Q} ^ {+}}$
• Den multiplikative semigruppen (indeksen 0 indikerer at null tilhører) blir ikke forkortet. I dette tilfellet er to par og ekvivalente fordi det holder . Derfor, og for alle .${\ displaystyle H = (\ mathbb {N} _ {0}, \ cdot)}$${\ displaystyle N_ {0}}$${\ displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle (m ', n')}$${\ displaystyle m \ cdot n '\ cdot 0 = m' \ cdot n \ cdot 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbb {N} _ {0}, \ cdot) \ cong \ {0 \}}$${\ displaystyle \ phi _ {H} (n) = 0}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$

Grothendieck-gruppen som funktor

Konstruksjonen beskrevet ovenfor tildeler en kommutativ gruppe til hver kommutative semigruppe. Hvis en semigruppehomomorfisme er i kategorien kommutative semigrupper, kan en gruppehomomorfisme konstrueres som følger . Betyr at man i utgangspunktet oppnår en halv gruppe homomorfisme og derfra ved hjelp av den universelle egenskapen til en gruppe homomorfisme med . ${\ displaystyle \ phi \ colon H \ rightarrow K}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ phi) \ colon {\ mathcal {G}} (H) \ rightarrow {\ mathcal {G}} (K)}$${\ displaystyle \ phi _ {K} \ colon K \ rightarrow {\ mathcal {G}} (K)}$${\ displaystyle \ phi _ {K} \ circ \ phi \ colon H \ rightarrow {\ mathcal {G}} (K)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ phi) \ colon {\ mathcal {G}} (H) \ rightarrow {\ mathcal {G}} (K)}$${\ displaystyle \ phi _ {K} \ circ \ phi = {\ mathcal {G}} (\ phi) \ circ \ phi _ {H}}$

Denne definisjonen gjør en kovariant funksjon fra kategori til kategori av de abelske gruppene. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {{\ mathcal {A}} b}}$

Hvis man bare betrakter en abelsk gruppe som en semigruppe, kan man danne seg. Det viser seg at der isomorfismen er gitt av . Det er faktisk venstre adjoint til å glemme funksjon . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (G)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (G) \ cong G}$${\ displaystyle [(x, y)] \ mapsto xy}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ colon {\ mathcal {H}} \ rightarrow {{\ mathcal {A}} b}}$ ${\ displaystyle {{\ mathcal {A}} b} \ rightarrow {\ mathcal {H}}}$

applikasjon

I tillegg til den ovenfor beskrevne konstruksjonen av hele tall fra de naturlige tallene, er dannelsen av K _0- gruppen til en ring en viktig applikasjon. For hver ring en vurderer settet (!) Av de isomorfi klasser av finitely generert projiserende venstre moduler med den direkte sum som en semigroup kobling . K _0- gruppen i ringen blir deretter definert som Grothendieck-gruppen av . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathrm {Proj} (R)}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathrm {Proj} (R)}$

litteratur

• Jonathan Rosenberg : Algebraisk K-teori og dens applikasjoner (= Graduate Texts in Mathematics. Vol. 147). Springer, New York NY et al. 1994, ISBN 3-540-94248-3 .