K teori

Det matematiske delområdet av K- teorien omhandler studiet av vektorpakker på topologiske rom ( topologisk K-teori ) eller av ringer eller skjemaer ( algebraisk K-teori ). Navnet K-Theory ble skapt av Alexander Grothendieck ; K står for "klasse" i en veldig generell forstand.

historie

For å generalisere sitt arbeid med Riemann-Roch -teoremet, Grothendieck utviklet en ny funktor på kategorien for glatte algebraiske varieteter . Elementene i var klasser av algebraiske vektorbunter ovenfor . Denne teorien hadde lignende egenskaper til klassiske kohomologiteorier . Karakteristiske klasser , spesielt Chern-karakteren , definerer morfismer av kohomologiteorier. ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K (X)}$

Rett etter Grothendieck vurderte Atiyah og Hirzebruch en analog konstruksjon for ethvert kompakt rom , den topologiske K-teorien , i dag mest referert til som . Denne topologiske K-teorien er lettere å beregne enn Grothendiecks K-grupper, for eksempel gir Chern-karakteren en isomorfisme og man har Bott-periodisitet . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K ^ {top} (X)}$ ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle K ^ {top} (X) \ otimes \ mathbb {Q} \ simeq H ^ {*} (X; \ mathbb {Q})}$

Topologisk K-teori har kohomologi-operasjoner som er definert ved hjelp av ytre produkter av vektorbunter (såkalte Adams-operasjoner) og har dermed en mer geometrisk natur enn Steenrod-operasjonene i enestående kohomologi. Disse operasjonene hadde spektakulære bruksområder på 1960-tallet. For eksempel brukte Frank Adams den til å beregne maksimalt antall lineært uavhengige vektorfelt på kuler av hvilken som helst dimensjon. Andre bruksområder har funnet i global analyse (et av bevisene på Atiyah-Singer-indekssetningen som ble brukt topologisk K-teori) og teorien om C ^* algebraer.

Generaliseringen av topologisk K-teori i ikke-kommutativ geometri førte til K-teorien om Banach-algebraer .

De algebraiske K-gruppene ble definert av Bass , de hadde applikasjoner i løsninger av "kongruensundergruppeproblemet" og i s-kobordismesetningen . ${\ displaystyle K_ {1}}$

Deretter ga Milnor en definisjon av de algebraiske K-gruppene . Deres beregning for faste stoffer ( Matsumotos teorem ) var grunnlaget for anvendelser innen algebra og tallteori, i forbindelse med Brauer-gruppen og Galois-kohomologien . ${\ displaystyle K_ {2}}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$

Det var da forskjellige tilnærminger for å definere høyere K-grupper. Definisjonen som vanligvis brukes i dag ble foreslått i 1974 av Daniel Quillen på den internasjonale matematikerkongressen.

Topologisk K- teori

Det er et fast, kompakt Hausdorff-rom . Da er kvotienten til den frie abelske gruppen på isomorfismeklasser av komplekse vektorbunter over etter undergruppen som for elementene i skjemaet ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle [E \ oplus F] - [E] - [F]}

for vektorbunter genereres. Denne konstruksjonen, som er basert på konstruksjon av hele tall fra naturlige tall , kalles Grothendieck-gruppen (etter Alexander Grothendieck ). ${\ displaystyle E, F}$

To vektorbunter og på definerer det samme elementet i hvis og bare hvis de er stabile ekvivalente , dvs. H. hvis det er en triviell bunt med vektorer slik at ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K (X)}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle E \ oplus G \ cong F \ oplus G}

Tensorproduktet fra vektorbunter blir en kommutativ ring med ett element. ${\ displaystyle K (X)}$

Konseptet med rangeringen av et vektorpakke blir overført til elementene i teorien. Den reduserte K-teorien er undergruppen til elementene på rang 0. Betegnelsen introduseres også; betegner redusert henging . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}} ^ {n} (X) = {\ tilde {K}} (S ^ {n} X)}$ ${\ displaystyle S}$

K er en motstridende funksjon i kategorien kompakte Hausdorff-rom. Den oppfyller Bott periodisitet med periode 2.

Hvis man utfører de analoge konstruksjonene med virkelige vektorbunter, får man den virkelige K-teorien . For dette gjelder Bott periodisitet med periode , dvs. H. . ${\ displaystyle KO (X)}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}} O ^ {n + 8} (X) = {\ tilde {K}} O ^ {n} (X)}$

Algebraisk K- teori

La være et enhetlig ring , den gruppen av invertible matriser ovenfor og den klassifisere plass av , det vil si en asfærisk plass med en grunnleggende enhet . Fordi gruppen av elementære matriser er perfekt og en normal divisor, kan plusskonstruksjonen brukes. Den algebraiske K-teorien til ringen er definert som ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ textstyle GL (R) = \ bigcup _ {n \ geq 0} GL (n, R)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle BGL (R)}$ ${\ displaystyle GL (R)}$ ${\ displaystyle GL (R)}$ ${\ displaystyle E (R) = \ left [GL (R), GL (R) \ right]}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle K_ {i} (R): = \ pi _ {i} (BGL ^ {+} (R))}

for . ${\ displaystyle i \ geq 1}$

En variant av den algebraiske K-teorien (som ikke er isomorf til den som er definert ovenfor) er Milnors K-teori . Dens forbindelse med al cohomology er gjenstand for Milnor formodning , for bevis som Vladimir Wojewodski ble tildelt den Fields -medalje på 2002 International Matematikere ' Kongressen. Beviset er basert på homotopiteorien om algebraiske varianter utviklet av Wojewodski og den motiviske kohomologien utviklet av Beilinson og Lichtenbaum . ${\ displaystyle i> 2}$

Den mest omfattende definisjonen av en algebraisk teori ble gitt av D. Quillen og bruker Q-konstruksjonen . ${\ displaystyle K}$

K-teori for Banach algebras

Den topologiske K-teorien kan utvides til generelle Banach-algebraer, der C * -algebraene spiller en viktig rolle. Den topologiske K-teorien om kompakte rom kan omformuleres som K-teorien om Banach-algebraene til de kontinuerlige funksjonene og deretter overføres til alle Banach-algebraer, selv det ene elementet i algebrene kan utelates. Siden oppgaven er en kontravariant funktor fra kategorien kompakte Hausdorff-mellomrom til kategorien Banach-algebraer, og siden den topologiske K-teorien også er kontravariant, får vi en kovariant funksjon fra kategorien Banach-algebraer til kategorien abelske grupper. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle C (X)}$ ${\ displaystyle X \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle X \ mapsto C (X)}$

Siden ikke-kommutative algebraer også kan forekomme her, snakker man om ikke-kommutativ topologi. K-teorien er et viktig gjenstand for etterforskning i teorien om C * algebras.

Se også

KK teori

litteratur

Michael Atiyah: K-teori. Notater av DW Anderson. Andre utgave. Avanserte bokklassikere. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
Jacek Brodzki: En introduksjon til K-teori og syklisk kohomologi. arxiv : funct-an / 9606001 .
Allen Hatcher: Vector-pakker og K-teori ( math.cornell.edu ).
Daniel Quillen: Høyere algebraisk K-teori: I. I: H. Bass (Red.): Høyere K-teorier. Forelesningsnotater i matematikk, bind 341. Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-540-06434-6 .
Charles Weibel: En introduksjon til algebraisk K-teori, ( math.rutgers.edu ).
Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X .
Karlheinz Knapp: vektorpakke. ( link.springer.com ).

weblenker

Max Karoubi: Forelesninger om K-teori. (PDF).
Christian Voigt: K-teori om operatøralgebraer. (PDF).
Daniel Grayson: Om K-teorien om felt. (PDF).

Languages