Riemannian geometri

Bernhard Riemann

Den Riemannian geometrien er en gren av differensial geometri og ble oppkalt etter Bernhard Riemann oppkalt. I denne teorien undersøkes de geometriske egenskapene til en Riemannian manifold . Dette er glatte manifolder med et slags skalarprodukt . Denne funksjonen kan brukes til å måle vinkler, lengder, avstander og volumer.

Fremvekst

Det første arbeidet med differensialgeometri kan spores tilbake til Carl Friedrich Gauß . Han grunnla teorien om buede overflater som var innebygd i et tredimensjonalt rom. Riemanns geometri fikk sin avgjørende drivkraft i 1854 i Riemanns habiliteringsforedrag med tittelen “Om hypotesene som geometri er basert på”. I dette arbeidet introduserte han Riemannian-beregningene, som senere ble oppkalt etter ham. I motsetning til Gauss så han ikke bare på overflater, men også høyere dimensjonale, buede rom. Imidlertid var disse rommene fortsatt innebygd i et euklidisk rom . Den abstrakte topologiske definisjonen av differensierbar og dermed spesielt av Riemannian manifolds ble først utviklet av Hassler Whitney på 1930-tallet . Uttalelsen om at hver enkelt differensierbar manifold kan legges inn er spesielt kjent . Dette resultatet er i dag kjent som Whitney-innebyggingsteorem .

Riemanns ideer ble videreutviklet i andre halvdel av 1800-tallet av Elwin Bruno Christoffel ( kovariantderivat , Christoffelsymbole ) og i sammenheng med tensorberegningen av Gregorio Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civita .

Teorien fikk et løft fra Albert Einsteins (1916) generelle relativitetsteori , som er basert på de pseudo-Riemannske manifoldene . I denne sammenheng ble teorien videreutviklet spesielt av Hermann Weyl og Élie Cartan , som fremhevet rollen som affine relasjoner og parallell transport .

Viktige gjenstander og uttalelser

Det sentrale objektet for Riemannian geometri er Riemannian manifold. Dette er en glatt manifold sammen med en kartlegging som definerer et skalarprodukt av det tangente rommet til hvert punkt , det vil si en positivt bestemt , symmetrisk bilinær form${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle p \ i M}$ ${\ displaystyle T_ {p} M}$

${\ displaystyle g_ {p} \ colon T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R}.}$

Ved hjelp av denne Riemanniske beregningen, som i vanlige vektorrom med et skalarprodukt, oppnås begrepene buelengde , avstand og vinkel .

En kartlegging mellom Riemannian manifolds som inneholder den Riemannian metriske (og dermed også lengdene og vinklene til tangentielle vektorer og lengden på kurvene) kalles Riemannian isometri . En slik kartlegging trenger imidlertid ikke å inneholde avstanden mellom punkter og er derfor generelt ikke en isometri i betydningen metriske mellomrom.

Et annet objekt indusert av Riemannian-beregningen er den Riemannian volumformen . Dette gjør det mulig å måle volumer på manifoldene og er derfor en sentral komponent i integrasjonsteorien på orienterte Riemannian manifolds.

Siden en avstand er definert på ( tilkoblede ) Riemannian manifolds, kan begrepet fullstendighet også overføres. Det sett av Hopf Rinow er sentral. Blant annet heter det at den generaliserte (geodetiske) fullstendigheten på manifolden tilsvarer fullstendigheten som metrisk rom. En annen viktig uttalelse er Nashs innebygde teorem . Analogt med Whitneys innebygde teorem , sier han at ethvert Riemannian-manifold kan være innebygd i en tilstrekkelig stor dimensjon. Imidlertid, sammenlignet med Whitneys innebygdsetning, gir den en sterkere uttalelse, fordi den videre sier at innebyggingen er gitt lengder og vinkler. Innebygging betyr her at manifolden kan forstås som en delmengde av . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

I tillegg til de metriske egenskapene, er man interessert i den Riemanniske geometrien for krumningsmengder. I teorien om overflater ble den gaussiske krumningen undersøkt allerede før Riemanns arbeid . Når det gjelder høyere-dimensjonale manifolder, er undersøkelsen av krumningen mer kompleks. For dette formålet ble Riemann-krumningstensoren introdusert. Ved hjelp av denne tensoren definerer man snittkurvaturen , dette kan forstås som en generalisering av den gaussiske krumningen og er det viktigste krumningsbegrepet i Riemannian-geometri, som spesielt brukes i komparativ teori . Lineære forhold på vektorbunter spiller også en viktig rolle i krumningsteorien, spesielt for definisjonen av Riemann-krumningstensoren. Det er et tydelig lineært forhold på Riemannian-manifoldene, som er vridningsfrie og kompatible med Riemannian-beregningen . Denne uttalelsen blir ofte referert til som hovedsetningen til Riemannian geometri . Den tilsvarende forbindelsen kalles Levi-Civita-forbindelsen .

Sammenligningsteori

Det er noen uttalelser i Riemannian-geometri som tradisjonelt blir referert til som komparative teoremer. Med disse utsagnene undersøker man for eksempel Riemannian manifolds hvis seksjonskurvatur eller Ricci krumning er avgrenset oppover eller nedover. For eksempel gir Bonnets teorem en uttalelse om manifolder hvis krysskrumning er begrenset nedover med et positivt tall. En sterkere påstand er Myers ' teorem , som får den samme utsagnet fra den svakere tilstanden til Ricci-krumningen begrenset nedover med et positivt tall . Den Cartan-Hadamard-teoremet , men viser en kobling mellom manifoldene med ikke-negative tverrsnittskrumning, og deres universelle overlay plass på. En av de viktigste komparative setningene i Riemannian-geometri er sfæresetning . Dette sier at kompakte, enkelt tilkoblede , Riemanniske manifolder, hvis seksjonskrumning ulikheten gjelder, er homomorfe til sfæren . ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 0 <{\ tfrac {1} {4}} <K \ leq 1}$

Se også

• Avviksligning

litteratur

• P. Petersen: Riemannian geometry , Second Edition, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-29403-1
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry , Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• Marcel Berger : En panoramautsikt over Riemannian geometri . Springer-Verlag, Berlin, 2003, ISBN 3-540-65317-1
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry (Second Edition), Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0
• Martin Schottenloher: Geometry and Symmetry in Physics , vieweg lærebok, 1995, ISBN 3-528-06565-6
• Torsten Fließbach : General Theory of Relativity , Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg 2006, ISBN 3-8274-1356-7
• Siegfried Kästner: vektorer, tensorer, spinorer , Akademie Verlag, Berlin 1964

weblenker

• Bernhard Riemann: Om hypotesene som geometri er basert på , innledende forelesning, emne foreslått av Carl Friedrich Gauß