Forbindelse (differensial geometri)

I det matematiske underområdet til differensialgeometri er et forhold et hjelpemiddel for å kvantifisere retningsendringer i løpet av en bevegelse og å relatere retninger på forskjellige punkter til hverandre.

Denne artikkelen handler i hovedsak om tilkoblingen på et differensierbart manifold eller en vektorbunt . En utmerket forbindelse på en tensorpakke, en spesiell vektorpakke, kalles et kovariantderivat . Mer generelt er det også forbindelser på hovedbunter med analoge definerende egenskaper.

motivasjon

I differensialgeometri er man interessert i kurver av kurver, spesielt av geodesikk . I euklidiske rom er krumningen ganske enkelt gitt av det andre derivatet. Det andre derivatet kan ikke dannes direkte på forskjellige former. Hvis det er en kurve, må differenskvotienten for det andre derivatet av denne kurven dannes med vektorene og . Imidlertid er disse vektorene i forskjellige vektorrom, så du kan ikke bare beregne forskjellen mellom de to. For å løse problemet er det definert en kartlegging, som kalles en forbindelse. Denne kartleggingen er ment å gi en forbindelse mellom de involverte vektorområdene og bærer derfor dette navnet. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma '(t)}$${\ displaystyle \ gamma '(t_ {0})}$

Definisjoner

I denne delen betegner en jevn manifold , den tangentbunten og en vektor bunt . Den antallet av glatt kutt i vektoren bunt er merket med. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle \ pi \ colon E \ to M}$${\ displaystyle \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$

kontekst

Ved å si hva retningsderivatet til et vektorfelt er i retning av en tangensiell vektor , får man en forbindelse på et differensierbart manifold . Følgelig er et forhold på en vektorpakke definert som et kart ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ colon \ Gamma (TM) \ times \ Gamma (E) & \ rightarrow \ Gamma (E) \\ (X, s) & \ mapsto \ nabla _ {X} s , \ end {align}}}$

et vektorfelt på og et kutt i vektorpakken igjen i en seksjon tildeler, slik at følgende betingelser er oppfylt: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

• ${\ displaystyle \ nabla _ {X} s}$er i lineær over , altså${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {fX_ {1} + gX_ {2}} s = f \ cdot \ nabla _ {X_ {1}} s + g \ cdot \ nabla _ {X_ {2}} s}$

for og${\ displaystyle f, g \ i C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2} \ in \ Gamma (TM).}$

• ${\ displaystyle \ nabla _ {X} s}$er -linear i det vil si, det gjelder${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle s,}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} (\ lambda _ {1} s_ {1} + \ lambda _ {2} s_ {2}) = \ lambda _ {1} \ cdot \ nabla _ {X} s_ {1 } + \ lambda _ {2} \ cdot \ nabla _ {X} s_ {2}}$

for .${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ in \ mathbb {R}}$

• I tillegg gjelder produktregelen eller Leibniz-regelen

${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fs) = Xf \ cdot s + f \ cdot \ nabla _ {X} s}$

for hver funksjon .${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (M)}$

Her betegner retningsderivatet av funksjonen i retningen (tangensielle vektorer forstås således som derivater ). En annen notasjon for er .${\ displaystyle Xf}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Xf}$${\ displaystyle \ mathrm {d} f (X)}$

Alternativt kan du se forbindelsen som en figur

${\ displaystyle \ nabla \ colon \ Gamma (E) \ to \ Gamma (T ^ {*} M \ otimes E)}$

definere med de samme egenskapene.

Lineært forhold

En lineær eller affinert forbindelse er en forbindelse på . Det vil si at det er en illustrasjon ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle TM}$

${\ displaystyle \ nabla \ colon \ Gamma (TM) \ times \ Gamma (TM) \ to \ Gamma (TM),}$

som oppfyller de tre definerende egenskapene fra avsnittet ovenfor.

Induserte forhold

Det er forskjellige muligheter for å indusere forhold i andre vektorpakker på en naturlig måte.

Forbindelse på en ekte submanifold

La være den standard basis av , da den euklidske forholdet er definert av, hvor og er representasjoner av vektorfelt i forhold til standard basis. Hvis det er en delmanifold av , får man en forbindelse indusert av. Dette er gjennom ${\ displaystyle \ partial _ {1}, \ ldots, \ partial _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} ^ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ nabla _ {X} ^ {\ mathbb {R} ^ {n}} Y: = \ sum _ {i, j} (X ^ {i} \ partial _ {i} Y ^ {j }) \ delvis _ {j}}$${\ displaystyle \ textstyle X = \ sum _ {i} X ^ {i} \ partial _ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle Y = \ sum _ {j} Y ^ {j} \ partial _ {j}}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} ^ {M} Y: = \ pi (\ nabla _ {X} ^ {\ mathbb {R} ^ {n}} Y)}$

sikkert. Den ortogonale projeksjonen betegner . ${\ displaystyle \ pi \ colon T_ {p} \ mathbb {R} ^ {n} \ to T_ {p} M}$

Forhold på tensorpakken

La være en lineær forbindelse på manifolden . En klar forbindelse kan induseres på tensorbunten , som også er notert og som oppfyller følgende egenskaper: ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T_ {l} ^ {k} M}$${\ displaystyle \ Gamma (TM) \ times \ Gamma (T_ {l} ^ {k} M) \ to \ Gamma (T_ {l} ^ {k} M)}$${\ displaystyle \ nabla}$

1. Up er enig i den gitte konteksten.${\ displaystyle TM \ cong T_ {0} ^ {1} M}$${\ displaystyle \ nabla}$
2. Auf er det vanlige retningsavledede av funksjoner:${\ displaystyle T ^ {0} M}$${\ displaystyle \ nabla}$
   ${\ displaystyle \ nabla _ {X} f = Xf.}$
3. Den følgende produkt regelen gjelder for${\ displaystyle \ nabla}$
   ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (F \ otimes G) = (\ nabla _ {X} F) \ otimes G + F \ otimes (\ nabla _ {X} G).}$
4. Forholdet pendler med tensor-avsmalningen , altså${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr}}$
   ${\ displaystyle \ nabla _ {X} (\ operatorname {tr} F) = \ operatorname {tr} (\ nabla _ {X} F).}$

Dette forholdet kalles også kovariant avledning. ${\ displaystyle T_ {l} ^ {k} M}$

Kompatibilitet med Riemannian-beregninger og symmetri

La være en Riemannian eller en pseudo-Riemannian manifold . Et forhold kalles kompatibelt med beregningen av denne manifolden, hvis ${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle X (g (Y, Z)) = g (\ nabla _ {X} Y, Z) + g (Y, \ nabla _ {X} Z)}$

gjelder. Ligningen er hentet med den tredje egenskapen fra seksjonen Relationships on the tensor bundle

${\ displaystyle (\ nabla _ {X} g) (Y, Z) = X (g (Y, Z)) - g (\ nabla _ {X} Y, Z) -g (Y, \ nabla _ {X } Z)}$

og derfor er kompatibilitetsbetingelsen ekvivalent med

${\ displaystyle (\ nabla _ {X} g) (Y, Z) = 0.}$

Et forhold kalles symmetrisk eller vridningsfritt hvis torsjonstensoren forsvinner, det vil si den holder

${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y].}$

Disse to egenskapene fremstår som naturlige, siden de allerede er oppfylt av en indusert forbindelse på et reelt underrør. En forbindelse på en (abstrakt) manifold som oppfyller disse to egenskapene er unikt bestemt. Denne uttalelsen kalles hovedsetningen til Riemannian geometri, og det unikt bestemte forholdet kalles Levi-Civita eller Riemannian forholdet. Et forhold som er kompatibelt med Riemannian-beregningen kalles et metrisk forhold . En Riemannian manifold kan generelt ha flere forskjellige metriske forhold.

kjennetegn

• La og være to vektorfelt slik at i et nabolag av . Deretter følger for alle vektorfelt${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle Y_ {1}, Y_ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Y_ {1} = Y_ {2}}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (\ nabla _ {X} Y_ {1}) (p) = (\ nabla _ {X} Y_ {2}) (p).}$

Mer generelt trenger og ikke engang være det samme i et helt miljø. Spesifikt: Hvis det er en jevn kurve som (for en passende ), slik at , og og, hvis alt er gyldig, følger allerede . Dette betyr at de to vektorfeltene og bare trenger å matche langs en passende jevn kurve. ${\ displaystyle Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$${\ displaystyle \ gamma: (- \ epsilon, \ epsilon) \ subset \ mathbb {R} \ to M}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ gamma (0) = p}$${\ displaystyle \ gamma '(0) = X_ {p}}$${\ displaystyle (Y_ {1}) _ {\ gamma (t)} = (Y_ {2}) _ {\ gamma (t)}}$${\ displaystyle | t | <\ epsilon}$${\ displaystyle (\ nabla _ {X} Y_ {1}) (p) = (\ nabla _ {X} Y_ {2}) (p)}$${\ displaystyle Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$

• Analogt med den nettopp nevnte egenskapen: La to vektorfelt være slik at . Så for alt det .${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle (X_ {1}) _ {p} = (X_ {2}) _ {p}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle (\ nabla _ {X_ {1}} Y) (p) = (\ nabla _ {X_ {2}} Y) (p).}$

Representasjon i koordinater: Christoffelsymboler

Hvis de lokale vektorfeltene danner et grunnlag for tangentområdet på hvert punkt, defineres Christoffel-symbolene av ${\ displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X_ {i}} X_ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ Gamma _ {ij} ^ {k} X_ {k} \ quad}$eller i Einsteins summeringskonvensjon .${\ displaystyle \ quad \ nabla _ {X_ {i}} X_ {j} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} X_ {k} \ quad}$

Ha vektorfeltene og på grunnlag av figuren, og deretter for komponentene i${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X = x ^ {i} X_ {i}}$${\ displaystyle Y = y ^ {j} X_ {j}}$${\ displaystyle z ^ {k}}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = z ^ {k} X_ {k}}$

${\ displaystyle z ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} x ^ {i} y ^ {j} + x ^ {i} X_ {i} (y ^ {k})}$ ,

hvor betegner retningsderivatet av funksjonen i retning av vektoren . ${\ displaystyle X_ {i} (y ^ {k})}$${\ displaystyle y ^ {k}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

Hvis man spesifikt velger vektorfeltene gitt av et kart som grunnleggende vektorfelt , får man koordinatrepresentasjonen ${\ displaystyle \ partial _ {1}, \ dots, \ partial _ {n}}$

${\ displaystyle z ^ {k} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} x ^ {i} y ^ {j} + x ^ {i} \ partial _ {i} y ^ {k}}$.

Dette resultatet tilsvarer produktregelen: I tilfelle uendelige endringer endres både basisvektorene og komponentfunksjonene i produktet, og summen av begge endringene oppstår. ${\ displaystyle Y_ {k} y ^ {k}}$${\ displaystyle Y_ {k}}$${\ displaystyle y ^ {k} \ ,,}$

applikasjoner

I fysikk er de sentrale begrepene i denne artikkelen knyttet til den generelle relativitetsteorien og måle-teorier (f.eks. som kvanteelektrodynamikk , kvantekromodynamikk og Yang-Mills teori ) av høyenergifysikk, så vel som i faststoffysikk, BCS-teorien om superledningsevne . Felles for disse teoriene er at "forbindelse" og "covariant derivasjon" genereres av vektorpotensialer som oppfyller visse kalibreringsbetingelser, og at de eksplisitt er inkludert i systemets energifunksjon på en bestemt måte.

Se også

• Parallell transport
• Tilkobling (hovedpakke)

litteratur

• John M. Lee: Riemannian manifolds. En introduksjon til krumning (= Graduerte tekster i matematikk 176). Springer, New York NY et al. 1997, ISBN 0-387-98322-8 .

weblenker

Manifold Atlas