Pro-endelig antall

I algebra og tallteori , en per-endelig antall (også per endelig antall , per-finite heltall eller profinite (helt) tall , engelsk: profinite heltall ) blir bestemt av restene (restklasser) som den danner i alt heltall rester klasse ringer . Dette gjør det til et element i den fullstendige fullførelsen (talt: Zett-Dach) av gruppen av heltall . De (rasjonelle) heltallene kan bestemmes ved hjelp av den kanoniske injiserende homomorfismen ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ iota \ colon \ quad {\ begin {array} {lll} \ mathbb {Z} & \ hookrightarrow & {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \\ r & \ mapsto & (r + 1 \ mathbb {Z}, r + 2 \ mathbb {Z}, r + 3 \ mathbb {Z}, \ dots) \\\ end {array}}}$

legge inn de per-endte tallene. Tallet i alle gjenværende klasseringer blir kartlagt til det der . Dette "skaper" til en viss grad${\ displaystyle r: = 1 \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 1 + i \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (1 + 1 \ mathbb {Z}, 1 + 2 \ mathbb {Z}, 1 + 3 \ mathbb {Z}, \ dots)}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$

Hele tallene som er innebygd på denne måten ligger nær de pro-endelige heltallene. De er i sekvenser av resten av klasser , og med egenskapene, f.eks. Til en slik 1 eller 2 (som ofte er tilfelle i abstrakt algebra ), bare de er viktig at de er i koblingene deres. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

Den Galois-gruppen av den algebraiske nedleggelse av et avgrenset felt i løpet av dette felt er isomorf til${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$

definisjon

Den fullstendige fullføringen av gruppen av heltall er ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}: = \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}}$           (projiserende eller omvendte kalk ).

Dannelsen av en prosjektiv grense krever et såkalt prosjektivt system som består av et rettet indeks sett , som indekserer en sekvens av objekter, og overgangsmorfismer mellom disse objektene. For det rettet indeks-settet tar man de naturlige tallene som er delvis ordnet etter delingsforholdet , og som en sekvens av objekter er sekvensen til de endelige sykliske gruppene For hver og en er det gruppens homomorfisme ("restklassekartleggingen" den "naturlige overgivelsen") ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ mid),}$ ${\ displaystyle k \! \ mid \! j}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / j \ mathbb {Z}.}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k \! \ mid \! j}$

${\ displaystyle f_ {jk} \ colon \ quad {\ begin {array} {lll} \ mathbb {Z} / j \ mathbb {Z} & \ to & \ mathbb {Z} / k \ mathbb {Z} \\ r + j \ mathbb {Z} & \ mapsto & r + k \ mathbb {Z}, \ end {array}}}$

som er veldefinert på grunn av . Disse homomorfismene blir tatt som overgangsmorfier mellom gjenstandene. De kartlegger en produsent av en av og er for på en måte, nemlig ${\ displaystyle j \ mathbb {Z} \ delmengde k \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / j \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / k \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle k \! \ mid \! j \! \ mid \! i}$

${\ displaystyle f_ {ik} (r + i \ mathbb {Z}) = r + k \ mathbb {Z} = f_ {jk} (r + j \ mathbb {Z}) = f_ {jk} (f_ {ij } (r + i \ mathbb {Z}))}$ så ${\ displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij},}$

kompatibel , slik det kreves for det projiserende systemet og dannelsen av den prosjektive grensen.

I prosjektiv grense er disse familiene gruppert etter restklasser hvis komponenter er kompatible med hverandre, så å ha alt av følgende gjelder: ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + i \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle j, k}$${\ displaystyle k \! \ mid \! j}$

${\ displaystyle f_ {jk} (r_ {j} + j \ mathbb {Z}) = r_ {k} + k \ mathbb {Z},}$

hva med kongruensene

${\ displaystyle r_ {j}}$

${\ displaystyle \ equiv}$

${\ displaystyle r_ {k} \, ({\ text {mod}} k)}$

${\ displaystyle ({\ text {V}})}$

er oppfylt. Skrevet i en formel resulterer i:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rrlll} {\ widehat {\ mathbb {Z}}} &: = && \ displaystyle \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z} \\ & = & \ displaystyle {\ Big \ {} \ left (r_ {i} + i \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in & \ displaystyle \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z} \; \; {\ Big |} \; \; \ forall j, k \ in \ mathbb {N} \ ,: \, k \! \ mid \! j \ Rightarrow r_ {j} \ equiv r_ {k} \, ({\ text {mod}} k) {\ Big \}} & \ quad ({\ text {pL}}) \\\ slutt {array}}}$

En familie av elementer som oppfyller kompatibilitetskravene , det vil si en del av de projiserende Limes, blir noen ganger referert til som "fiber". ${\ displaystyle ({\ text {V}})}$

Tilsetningen, som er definert av komponent, er kontinuerlig. Det samme gjelder også for multiplikasjon. Dette blir en topologisk tilsetningsgruppe og en topologisk ring med 1. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

Den naturlige topologien er Limes-topologien , dvs. Jeg. produkttopologien indusert av de diskrete topologiene . Denne topologien er kompatibel med ringoperasjonene og kalles også Krull-topologien . Samtidig er det lukkede skallet av i produktet, noe som innebærer tettheten i . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ Pi _ {i \ in \ mathbb {N}} (\ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}),}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

Alternativ konstruksjon

Ringen av heltall kan man også i "klassisk" stil uniform struktur fullført . Vær for dette${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle U_ {N}: = \ {(x, y) \ mid xy \ i N \ mathbb {Z} \} = \ {(x, y) \ mid x \ equiv y \, ({\ text { mod}} N) \}}$

et nabolag (av orden ). Settet er et (tellbart) grunnleggende system og det tilhørende filteret ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle F: = \ {U_ {N} \ mid N \ in \ mathbb {N} \}}$

${\ displaystyle \ Phi: = \ {V \ mid \ eksisterer N \ i \ mathbb {N}: U_ {N} \ delmengde V \}}$

en enhetlig struktur for . Kravene til er lett verifiserte: ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ Phi}$

(1) Hvert nabolag og hver inneholder diagonalen${\ displaystyle U_ {N}}$${\ displaystyle V \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ {(x, x) \ mid x \ in \ mathbb {Z} \}.}$

(2) Er og , så er${\ displaystyle V \ in \ Phi}$${\ displaystyle V \ subset W}$${\ displaystyle W \ in \ Phi.}$

(3) Er , er da også${\ displaystyle V, W \ in \ Phi}$${\ displaystyle V \ cap W \ in \ Phi.}$

(4) For hver er det en med .${\ displaystyle V \ in \ Phi}$${\ displaystyle W \ in \ Phi}$${\ displaystyle W ^ {2} \ delmengde V}$

(5) Er , er da også${\ displaystyle V \ in \ Phi}$${\ displaystyle V ^ {- 1} \ in \ Phi.}$

De Sett med Cauchy-garn i er ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, \ Phi)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rrlll} {\ mathcal {C}} &: = & {\ Big \ {} \ left (r_ {j} \ right) _ {j \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {j \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} \; \; {\ Big |} \; \; \ forall N \ in \ mathbb {N} \; \ exist n_ {N } \ in \ mathbb {N} \,: n_ {N} \ mid j, k \ Rightarrow (r_ {j}, r_ {k}) \ in U_ {N} {\ Big \}} & \ quad \; ({\ text {CN}}), \\\ slutt {array}}}$

som er en gruppe med komponentmessig tillegg. Fullføringen av de hele tall med hensyn til den jevne struktur deleligheten er den faktor gruppe av Cauchy nettverkene modulo de null-sekvensene (mer presist: Sekvensene som er null nett eller Cauchy nett med limes ).${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {N}}}$ viser seg å være isomorf ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$

bevis

Vær en familie av kompatible restklasser, så ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + i \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ forall j, k: k \! \ mid \! j \ impliserer r_ {j} \ equiv r_ {k} \, ({\ text {mod}} k)}$, og være , da er for alle med${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle j, k \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle N \! \ mid \! j, k}$ ${\ displaystyle r_ {j} \ equiv r_ {N} \ equiv r_ {k} \, ({\ text {mod}} N)}$, konsekvensen av representantene er et Cauchy-nettverk. ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ Derimot, hvis en sekvens av heltall er en Cauchy netto i den forstand at den ovenfor angitte enhetlig struktur, da, for hver en , så for all med gyldig ${\ displaystyle \ textstyle \ left (s _ {\ nu} \ right) _ {\ nu \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ nu _ {k} \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ nu, \ mu \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ nu _ {k} \! \ mid \! \ nu, \ mu}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu} \ equiv s _ {\ nu} \, ({\ text {mod}} k)}$ . Hvis du tar det nå , så er det det ${\ displaystyle \ nu: = \ nu _ {k}}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu} \ equiv s _ {\ nu _ {k}} \, ({\ text {mod}} k)}$ for alle med . Subsekvensen har den samme begrensning som den opprinnelige sekvensen, slik at det representerer det samme element . Vel , da er for alle med også og vel ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ nu _ {k} \! \ mid \! \ mu}$${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {k} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}}: = \ left (s _ {\ nu _ {k}} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ i {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle k \! \ mid \! j}$${\ displaystyle \ nu _ {k} \! \ mid \! \ nu _ {j}}$${\ displaystyle s _ {\ nu _ {j}} \ equiv s _ {\ nu _ {k}} \, ({\ text {mod}} k)}$ ${\ displaystyle r_ {j} \ equiv r_ {k} \, ({\ text {mod}} k)}$ . Sekvensen av restklasser oppfyller dermed kompatibilitetskravene og er en familie ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {k} + k \ mathbb {Z} \ right) _ {k \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle ({\ text {V}})}$ ${\ displaystyle \ in \ varprojlim _ {k \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / k \ mathbb {Z} = {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ .

Resultat

Man kan bevege seg fra sekvenser av restklasser til sekvensene til deres representanter - like omvendt, ved å legge til moduler, kan man gjøre et Cauchy-nettverk av heltall til en sekvens av restklasser som utgjør det samme begrensede tallet.${\ displaystyle r_ {j} + j \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$

eiendommer

• Settet per endelige tall er utallige .${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

• ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$er en per-endite gruppe .

• Den prosjektive grensen sammen med homomorfismen${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

${\ displaystyle \ tau _ {i} \ colon \ quad {\ begin {array} {lll} {\ widehat {\ mathbb {Z}}} & \ to & \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z} \ \\ venstre (x_ {n} \ høyre) _ {n \ i \ mathbb {N}} & \ mapsto & x_ {i}, \ end {array}}}$

de kanoniske fremskrivninger (av de prosjektive Limes), har følgende universelle egenskap :

For hver gruppe og homomorfismer som gjelder for alle , er det en tydelig definert homomorfisme slik at det gjelder.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle t_ {i} \ kolon T \ til \ mathbb {Z} / i \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle t_ {j} = f_ {ij} \ circ t_ {i}}$${\ displaystyle j \! \ mid \! i}$${\ displaystyle t \ colon T \ to {\ widehat {\ mathbb {Z}}},}$${\ displaystyle t_ {i} = \ tau _ {i} \ circ t}$

• Den naturlige homomorfismen har følgende universelle egenskap :${\ displaystyle \ iota \ colon \ mathbb {Z} \ to {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

For hver homomorfisme i en begrenset gruppe er det en kontinuerlig homomorfisme med (med hensyn til Krull-topologien)${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {Z} \ to G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ hat {f}} \ colon {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ to G}$${\ displaystyle f = {\ hat {f}} \ circ \ iota.}$

• Isomorfismen følger av den entydige primfaktoriseringen i${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$

(med som er settet av naturlige primtall ) fra det direkte produkt av de p -adic det ringer til det projiserte grenser ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p},}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} = \ varprojlim _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$

er.I den omvendte funksjonen av isomorfisme kan være i hvilken som helst vektor med komponenter, arketypen (unik) ved hjelp av det kinesiske restenes teorem for å bestemme iterativet i en utvidet prosess som ligner på beviset for tettheten i artikkelen Limes (Category Theory) brakt brukt er.${\ displaystyle \ left (x_ {p} \ right) _ {p \ in \ mathbb {P}}}$${\ displaystyle x_ {p} \ in \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle x \ i {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

Som i de projiserende limene foregår tilsetning og multiplikasjon i det direkte produktet komponent for komponent. Dette betyr at det er null delere i og ikke kan ha et kvotientfelt .${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

For hvert primtall angir ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {llll} \ pi _ {p} \ colon & {\ widehat {\ mathbb {Z}}} & \ to & \ mathbb {Z} _ {p} \\\ end { array}}}$

den kanoniske projeksjonen (av det direkte produktet). Påført injeksjonen

	${\ displaystyle \ iota _ {p} \ colon}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$	${\ displaystyle \ to}$	${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \; = \; \ textstyle \ Pi _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$
		${\ displaystyle z}$	${\ displaystyle \ mapsto}$	${\ displaystyle (0, \ ldots, 0, z}$	${\ displaystyle, 0, \ ldots)}$
				${\ displaystyle \ uparrow}$
komponent ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

oppfyller det The sammensetning, på den annen side tilsvarer multiplikasjon${\ displaystyle \ pi _ {p} \ circ \ iota _ {p} = \ operatorname {id} \ mid _ {\ mathbb {Z} _ {p}}.}$ ${\ displaystyle \ iota _ {p} \ circ \ pi _ {p}}$

	${\ displaystyle \ cdot 1_ {p} \ colon}$	${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {3} \ times \ ldots}$	${\ displaystyle \ to}$	${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \; = \; \ textstyle \ Pi _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$
		${\ displaystyle x = (x_ {2}, x_ {3}, x_ {5}, \ ldots, x_ {p}, \ ldots)}$	${\ displaystyle \ mapsto}$	${\ displaystyle (0, \ ldots, 0, x_ {p}}$	${\ displaystyle, 0, \ ldots)}$	${\ displaystyle = x \ cdot 1_ {p}}$
Med
	${\ displaystyle 1_ {p}}$		${\ displaystyle: =}$	${\ displaystyle (0, \ ldots, 0, \; 1}$	${\ displaystyle, 0, \ ldots)}$	${\ displaystyle \ i {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$
				${\ displaystyle \ uparrow}$
komponent ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

• En sekvens av tall som konvergerer i konvergens konvergerer også i hver pro-endelig subring og omvendt. Konvergensen for en enkelt er imidlertid ikke nok. Eksempel: sekvensen i mot konvergerer, divergerer både for primtall lik og i grunn er den orden av den multiplikative gruppe av det endelige felt, da for alle og${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ left (2 ^ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}},}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$${\ displaystyle k: = \ operatorname {ord} _ {p} (2)}$${\ displaystyle 2 = 1 + 1}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}: \; 2 ^ {kn} \ equiv 1 \, ({\ text {mod}} p)}$${\ displaystyle 2 ^ {kn + 1} \ equiv 2 \ not \ equiv 1 \, ({\ text {mod}} p).}$

topologi

Det produkt topologi på er den groveste topologi (topologien med færrest åpne settene) med hensyn til hvilke alle projeksjoner er sammenhengende. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ pi _ {p}}$

Denne topologien sammenfaller med Limes-topologien nevnt ovenfor og kalles Krull-topologien. Siden isomorfismen som etablerer isomorfismen samtidig er kontinuerlig i begge retninger under topologiene på begge sider, er det også en homeomorfisme .

presentasjon

Utvidelsen av et per-endelig tall (som et reelt tall ) inneholder normalt et uendelig antall symboler. Algoritmene som behandler slike symbolsekvenser kan bare behandle endelige innledende stykker. I tilfelle en avslutning er det ønskelig å indikere størrelsen på feilen, i likhet med de p- store tallene, som det siste sifferet som kastes ut er nøyaktig.

Representasjon som et direkte produkt

Representasjonen av et per-endit tall som et direkte produkt ${\ displaystyle x \ i {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

${\ displaystyle x = \ left (x_ {p} \ right) _ {p \ in \ mathbb {P}} \ qquad \ in \ textstyle \ Pi _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$

er en uendelig "vektor" i to dimensjoner. I denne representasjonen er mange algebraiske tallteoretiske egenskaper klart gjenkjennelige fra egenskapene i .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Representasjon som en uendelig serie

I det projiserte Limes , den delvis rekkefølgen av den deleligheten forhold kan erstattes med en lineær rekkefølge . Vær dette med "verdien" (vekten) på stedet og med "base". Så er det${\ displaystyle ({\ text {pL}})}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ mid)}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, <)}$${\ displaystyle m_ {n} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle m_ {1} = 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b_ {n} \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle m_ {n-1} b_ {n} = m_ {n}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = {\ Big \ {} \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {n \ i \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / m_ {n} \ mathbb {Z} \; \; {\ Big |} \; \; \ forall n \ in \ mathbb {N}: x_ {n + 1} \ equiv x_ {n} \, ({\ text {mod}} m_ {n}) {\ Big \}},}$

hvert element er en uendelig familie ${\ displaystyle x = \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle =:}$

${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z} \, m_ {n + 1} \; + \ right.}$

${\ displaystyle \ left.r_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

av resten klasser er. Hver slik representant kan oppsummeres som en delsum ${\ displaystyle r_ {n} \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle r_ {n}}$	${\ displaystyle =}$	${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n}}$	${\ displaystyle z_ {i}}$	${\ displaystyle \ cdot m_ {i}}$
	${\ displaystyle =}$		${\ displaystyle z_ {n}}$	${\ displaystyle \ cdot m_ {n}}$	${\ displaystyle + \ dots + z_ {3}}$	${\ displaystyle \ cdot m_ {3}}$	${\ displaystyle + z_ {2}}$	${\ displaystyle \ cdot m_ {2}}$	${\ displaystyle + z_ {1} \; \ cdot \! 1}$
	${\ displaystyle =}$	${\ displaystyle ((}$	${\ displaystyle z_ {n}}$	${\ displaystyle \ cdot b_ {n}}$	${\ displaystyle + \ dots + z_ {3})}$	${\ displaystyle \ cdot b_ {3}}$	${\ displaystyle + z_ {2})}$	${\ displaystyle \ cdot b_ {2}}$	${\ displaystyle + z_ {1}}$	${\ displaystyle ({\ text {R}} _ {n})}$

skriv en serie “sifre”     på plassverdinotasjon med flere baser .${\ displaystyle ({\ text {R}})}$${\ displaystyle z_ {n} \ i \ mathbb {Z} \; \; \ wedge \; \; 0 \ leq z_ {n} <b_ {n + 1}}$

Indekseringen velges på en slik måte at tallet representerer en restklasse - med en indeks høyere med 1 - og det påfølgende medlemmet representerer en restklasse av "modulen" (på det tidspunktet ).${\ displaystyle z_ {n}}$${\ displaystyle {\ text {mod}} b_ {n + 1}}$${\ displaystyle r_ {n}}$${\ displaystyle {\ text {mod}} m_ {n + 1},}$${\ displaystyle n}$

algoritme

I induksjonshypotesen er for antall representasjoner allerede bestemt slik at ${\ displaystyle j \ in \ {1,2, \ dots, n-1 \}}$${\ displaystyle z_ {j} \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle \ equiv \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {j} z_ {i} \ cdot m_ {i}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} m_ {j + 1})}$ ${\ displaystyle ({\ text {R}} _ {j})}$ Kravet kommer i induksjonstrinnet ${\ displaystyle r_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv q_ {n}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} n)}$ legg til kompatibilitetsbetingelsen for alle delere${\ displaystyle g \ mid n}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv \ tau _ {g} (x)}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} g)}$ ${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {g})}$ møtte en av de kanoniske anslagene til de prosjektive Limes. Imidlertid bør de allerede etablerte kongruensene beholdes, dvs. H. ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle r_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} m_ {n})}$ være gyldig. Den utvidede euklidiske algoritmen ${\ displaystyle (g, u, v)}$ ${\ displaystyle: = \ operatorname {utvidet \ _euclid} (m_ {n}, n)}$ leverer til de to modulene og ved siden av den største fellesdeleren av to tall med ${\ displaystyle m_ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle u, v \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle = u \ cdot m_ {n} + v \ cdot n.}$ Fordi ligner på${\ displaystyle g \ mid m_ {n}}$${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {g})}$ ${\ displaystyle r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ equiv \ tau _ {g} (x)}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} g),}$ hva satt sammen ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} g)}$ resultater. Så kan og ${\ displaystyle (q_ {n} -r_ {n-1}) / g}$ ${\ displaystyle z_ {n}}$ ${\ displaystyle: = (q_ {n} -r_ {n-1}) / g \ cdot u}$ form slik at med ${\ displaystyle r_ {n}}$ ${\ displaystyle: = z_ {n} \ cdot m_ {n} + r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle ({\ text {R}} _ {n})}$ enten ${\ displaystyle r_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} m_ {n})}$ i tillegg til ${\ displaystyle r_ {n}}$ ${\ displaystyle \ equiv (q_ {n} -r_ {n-1}) / g \ cdot (u \ cdot m_ {n}) + r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ equiv (q_ {n} -r_ {n-1}) / g \ cdot (gv \ cdot n) + r_ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ equiv q_ {n}}$ ${\ displaystyle ({\ text {mod}} n)}$ gjelder som det skal være. ■ Valget av vist fører til system A003418 av den minste felles multiplum og til systemet A051451, mens et valg med den -doble modulen og noen av ledningene til avdelingen-basert system. ${\ displaystyle z_ {n}}$${\ displaystyle z_ {n}: = u \ cdot (q_ {n} -r_ {n-1}) / g + k \ cdot n / g \, ({\ text {mod}} n)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$

I hvert induksjonstrinn kombinerer algoritmen to (samtidige) kongruenser til en ny, som tilsvarer de to innledende kongruensene, ved hjelp av den kinesiske restsatsen (ved hjelp av den utvidede euklidiske algoritmen ). (Når det gjelder ikke-primære moduler, garanteres alltid løsbarhet av kompatibilitetsforholdene til det projiserende systemet.) Uavhengig av valget av det grunnleggende systemet, produserer metoden et sekvensmedlem i en uendelig serie for hvert trinn.

Omvendt, hvis sifre   er valgt med   fritt, representerer den uendelige serien dannet med dem og det gitte basissystemet et (unikt) bestemt tall . ${\ displaystyle z_ {n} \ i \ mathbb {Z} \; \; \ wedge \; \; 0 \ leq z_ {n} <b_ {n + 1}}$${\ displaystyle \ left (b_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle ({\ text {R}})}$

Medfinale-episode

Denne serien er en utvidelse av stedverdi for vilkårlig bare hvis det gitte basesystemet inneholder hvert primtall uendelig ofte, dvs. H. hvis sekvensen av modulene er cofinal i og monotont (økende). Dette er tilfelle med fakultetssystemet, de A003418- og A051451-baserte systemene. Monotonien unngår baser og vokser, siden den interessante, åpne enden av er med stort antall. ${\ displaystyle x \ i {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ left (b_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ left (m_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |)}$${\ displaystyle b_ {n} <1}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |)}$

Fakultetsbasert

I det fakultetsbaserte tallsystemet (Engl. Factorial number system ) er som moduler fakultetene og valgt som baser. Lenstra gir for sekvensen av symboler ${\ displaystyle m_ {n}: = n!}$${\ displaystyle b_ {n}: = n}$${\ displaystyle -1 \ i {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

-1 =… 10 ₁₀ 9 ₉ 8 ₈ 7 ₇ 6 ₆ 5 ₅ 4 ₄ 3 ₃ 2 ₂ 1 ₁

    = (… ¹ 0987654321) _!

og betegner dem med kallesignalet. Nummer 1 er helt til venstre som i Lenstra Profinite Fibonacci-tall. S. 297 overskrift for å uttrykke at det (muligens sammen med andre oppskriftsifre) til og med neste normalt skrevne siffer til høyre for det tilhører et desimaltall, som utgjør et enkelt siffer av representasjonen. Notasjonen i Horner-ordningen er:

    = ((((((((((( 10 ) 10 + 9 ) 9 + 8 ) 8 + 7 ) 7 + 6 ) 6 + 5 ) 5 + 4 ) 4 + 3 ) 3 + 2 ) 2 + 1 ) 1

    = 11! - 1 = 39916799 ≡ -1 (mod 39916800 = 11!).

I denne representasjonen har begrensede tall følgende utvikling i de første (høyre) tre sifrene, avhengig av deres resterende mod 24 = 4 3 2:

≡ xx (mod 24)	0	1	2	3	4. plass	5	Sjette	7.	8. plass	9	10	11	12. plass	1. 3	14. plass	15.	16	17.	18.	...
( z 3 z 2 z 1 ) !	000	001	010	011	020	021	100	101	110	111	120	121	200	201	210	211	220	221	300	...

Valget av fakultetene som moduler i den fakultetsbaserte representasjonen foretrekker produktene av små hovedfaktorer , spesielt hovedfaktor 2.

A003418- eller A051451-basert

Følgende valg av baser og moduler gir representasjoner der de naturlige tallene foretrekkes i omvendt forhold til størrelsen.

Gjør dette for hver enkelt først ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle P_ {n}: = \ operatorname {kgV} (1,2, \ dots, n)}$

( minst vanlig multiplum ) produktet av maksimal primærkraft . Beregnet i tall, med ${\ displaystyle \ leq n}$

P : = (	P 1 ,	P 2 ,	P 3 ,	P 4 ,	P 5 ,	P 6 ,	P 7 ,	P 8 ,	P 9 ,	P 10 ,	...)
= (	1 ,	1 · 2 = 2 ,	2 3 = 6 ,	6 2 = 12 ,	12 5 = 60 ,	60 1 = 60 ,	60 7 = 420 ,	420 2 = 840 ,	840 3 = 2520 ,	2520 · 1 = 2520 ,	...)

sekvensen A003418 i OEIS .

Hvis man velger representasjonen som moduler, så er de tilsvarende basene. Er ikke en primærmakt, er den imidlertid en primærmakt, for eksempel er da en primærmakt. ${\ displaystyle m_ {n}: = P_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n} = m_ {n} / m_ {n-1}.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b_ {n} = 1.}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle p ^ {k},}$${\ displaystyle b_ {n} = p}$

Eksempelet

-1 =… 10 ₁ 0 ₃ 2 ₂ 1 ₇ 6 ₁ 0 ₅ 4 ₂ 1 ₃ 2 ₂ 1 ₁

    =… ¹ 0021604121,

i Horner-ordningen

    = ((((((((((( 10 ) 1 + 0 ) 3 + 2 ) 2 + 1 ) 7 + 6 ) 1 + 0 ) 5 + 4 ) 2 + 1 ) 3 + 2 ) 2 + 1 ) 1

    = P ₁₂ - 1 = 27719 ≡ -1 (mod 27720 = P ₁₂ ),

gir representasjon av –1 (med bare sifre eller med fet skrift og basene med normal utskrift). Nummer 1 er helt til venstre som i Lenstra Profinite Fibonacci-tall. S. 297 i overskrift for å indikere at den tilhører samme posisjon som neste normalt skrevne siffer.

Hvis man utelater basene = 1 sammen med de forsvinnende sifrene som tilhører dem, har man det

til modulene
		P 9 = 2520,	P 8 = 840,	P 7 = 420,	P 5 = 60,	P 4 = 12,	P 3 = 6,	P 2 = 2,	P 1 = 1
hhv. til basene
			b 9 = 3,	b 8 = 2,	b 7 = 7,	b 5 = 5,	b 4 = 2,	b 3 = 3,	b 2 = 2
utviklingen
-1	= ...	1 0	2	1	Sjette	4. plass	1	2	1
	= ...	10 3	2 2	1 7	6 5	4 2	1 3	2 2	1 1
	= ...	10	· P 9 +   2	· P 8 +   1	· P 7 +   6	· P 5 +   4	· P 4 +   1	· P 3 +   2	· P 2 +   1
	= ...,	27719,	2519,	839,	419,	59,	11	5,	1
	= ...,	P 11 - 1,	P 9 - 1,	P 8 - 1,	P 7 - 1,	P 5 - 1,	P 4 - 1,	P 3 - 1,	P 2 - 1
	≡ 1 (mod p n ) for alle n ∈ N .

Modulene P _{n av} denne representasjonen utgjør sekvensen A051451 i OEIS (med hensiktsmessig tilpasset indeksering) .

Underringer

Direkte sum

Elementene i det direkte produktet , som bare et begrenset antall komponenter avviker fra 0, er oppsummert i den direkte summen${\ displaystyle \ Pi _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$

${\ displaystyle \ bigoplus _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}: = {\ Big \ {} \ left (x_ {p} \ right) _ {p \ in \ mathbb {P}} \ in \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p} \; {\ Big |} \; \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} \, \ forall p \ in \ mathbb {P} \ ,: \, p> n \ Rightarrow x_ {p} = 0 {\ Big \}}}$

sammen. En profinite heltall av denne type kan brukes som - ADIC utvikling av skjemaet ${\ displaystyle \ textstyle x \ in \ bigoplus _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} r_ {i} \ cdot b ^ {i}}$

med en base     og tall   fra å   bli skrevet. Det sies at basen er notert. Den representasjon kan oppnås fra de representasjoner med den kinesiske resten av setningen . ${\ displaystyle \ textstyle b: = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} ^ {x_ {p} \ neq 0} p}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, b-1 \}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$

Representasjonen er tydelig og krever ikke et tegn foran bokstavelig (tallkonstanten) . For alle baser er ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

${\ displaystyle -1 = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} (b-1) \ cdot b ^ {i}.}$

Alle disse basisrepresentasjonene er de samme som i ringen ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {b} = \ varprojlim _ {n \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / b ^ {n} \ mathbb {Z} \ cong \ prod _ {p \ i \ mathbb {P}} ^ {p \ mid b} \ mathbb {Z} _ {p},}$

som er en delring av den direkte summen.

Fra denne representasjonen kan det sees at (for en ) basen kan velges uten en firkant . ${\ displaystyle \ textstyle x \ in \ bigoplus _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle b}$

Prime makter

For hvert primtall og er ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {m}} = \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {mi} \ mathbb {Z} = \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} _ {p}}$ .

bevis

En familie av restklasser fra de prosjektive Limes${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + p ^ {mi} \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {i \ in \ mathbb {N }} \ mathbb {Z} / p ^ {mi} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {mi} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} _ {p ^ {m}}}$ oppfyller kongruensene for alle${\ displaystyle j \ geq k}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ displaystyle r_ {k} \, ({\ text {mod}} p ^ {mk})}$ ${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {p ^ {m}})}$ , Kongruenser det ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ displaystyle r_ {k} \, ({\ text {mod}} p ^ {k})}$ ${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {p})}$ trivielt antyde. Så det følger . ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + p ^ {mi} \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N }} \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {m}} \ subset \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} _ {p}}$ Omvendt, hvis en familie er fra de prosjektive Limes , så er det kongruenser for dem alle${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + p ^ {i} \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {i \ in \ mathbb {N }} \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / p ^ {i} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle j \ geq k}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle \ equiv}$ ${\ displaystyle r_ {k} \, ({\ text {mod}} p ^ {k})}$ ${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {p})}$ Oppfyller. Familiene til restklasser ${\ displaystyle \ textstyle \ left (r_ {i} + p ^ {m \ left \ lfloor {\ frac {i} {m}} \ right \ rfloor} \ mathbb {Z} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ er en grovhet av de opprinnelige familiene. Og de oppfyller vilkårene . Men siden sekvensen er medfinale , resulterer de i de samme projiserende Limes. ■ ${\ displaystyle ({\ text {V}} _ {p ^ {m}})}$${\ displaystyle \ textstyle \ left (p ^ {m \ left \ lfloor {\ frac {i} {m}} \ right \ rfloor} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ left (p ^ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$

Følgende betraktning fører til samme resultat:
starter fra -adisk representasjon ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {i = k} ^ {\ infty} r_ {i} p ^ {i}}$

med, og du kommer direkte til via delsummene${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r_ {i} \ in \ {0, \ prikker, p-1 \}}$${\ displaystyle \ textstyle s_ {j}: = \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} r_ {mj + i} \, p ^ {i}}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {j = \ left \ lfloor {\ frac {k} {m}} \ right \ rfloor} ^ {\ infty} s_ {j} p ^ {mj}}$ ,

hva om den -adic representasjon. Denne banen kan også snus - med resultatet: ${\ displaystyle s_ {j} \ in \ {0, \ prikker, p ^ {m} -1 \}}$${\ displaystyle p ^ {m}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {m}} = \ mathbb {Z} _ {p}}$

10-adic tall

De 10 adiske tallene er et eksempel på en -adisk ring der basen ikke er en hovedmakt . De kalles de projiserende limene ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b = 10 = 2 \ cdot 5}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {10} = \ varprojlim _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb {Z} / 10 ^ {i} \ mathbb {Z}}$

og er en delring av den direkte summen.

Ultrametrisk

På ringen , ja i det hele tatt , kan en ultrametrisk defineres, som blir til et metrisk rom med Krull-topologien. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {10}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} \ times \ mathbb {Q} _ {5}}$ ${\ displaystyle d_ {10}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} \ times \ mathbb {Q} _ {5}}$

bevis

Et rasjonelt tall kan skrives som et heltall og et til og primtal. For hverandre enn 0 er det en maksimal eksponent med denne egenskapen. Analogt med er en funksjon fullstendig definert som:${\ displaystyle r \ in \ mathbb {Q} ^ {\ times}}$${\ displaystyle r = \ pm {\ tfrac {p} {q}} 10 ^ {s}}$${\ displaystyle p, q, s}$${\ displaystyle 10}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q.}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2} \ times \ mathbb {Q} _ {5}}$${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi (r): = \; {\ begin {cases} \\\\\ end {cases}}}$ ${\ displaystyle 0}$ for   , ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle {\ text {e}} ^ {- s}}$ ellers. Kravene "ikke-negativitet" og "positiv definitet" fra sammensetningen av mengdefunksjonen # mengdefunksjon for kropper er lette å se. "Multiplikativiteten" kan ikke oppfylles fordi den har null delere (se seksjon # Null divisorer ). " Triangelulikheten " resulterer som følger: Hvis de 2 tallene og forskjellige eksponenter og deretter summen har eksponenten. Men hvis de er like, så er med slik at den nye eksponenten ikke kan være mindre og den nye mengden ikke kan være større. Så det er sant ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {10}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r '}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s ',}$${\ displaystyle \ min (s, s ').}$${\ displaystyle r + r '= \ pm {\ tfrac {pq' + p'q} {qq '}} 10 ^ {s}}$${\ displaystyle \ operatorname {ggT} (qq ', 10) = 1,}$ ${\ displaystyle \ psi (r + r ') \ leq \ max (\ psi (r), \ psi (r')).}$  ■ En slik ulikhet i trekanten kalles skjerpet . Den metriske definert ved hjelp av denne funksjonen${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle d_ {10} (x, y): = \ psi (xy)}$ er altså en ultrametrisk . Topologien den induserer stemmer overens med den som er definert av filtrene .

10-adic til 2-adic og 5-adic

Er videre     og respektive representanter for kosettene tilsvarer tilstanden til kongruensen${\ displaystyle \ left (x_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in \ mathbb {Z} _ {10},}$${\ displaystyle j \ leq i,}$${\ displaystyle r_ {i}, r_ {j} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x_ {i} = r_ {i} + 10 ^ {i} \ mathbb {Z}, x_ {j} = r_ {j} + 10 ^ {j} \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle r_ {j} + 10 ^ {j} \ mathbb {Z} = f_ {ij} (r_ {i} + 10 ^ {i} \ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle r_ {j} \ equiv r_ {i} \, ({\ text {mod}} 10 ^ {j}).}$

Men det følger for ${\ displaystyle p \ in \ {2.5 \}}$

${\ displaystyle r_ {j} \ equiv r_ {i} \, ({\ text {mod}} p ^ {j}),}$

slik at de samme representantene utgjør både en pro-endelig 2-adisk tallsekvens og en per-endelig 5-adic tallsekvens . ${\ displaystyle r_ {n} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ left (r_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ left (r_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ in \ mathbb {Z} _ {5}}$

(2 × 5) -adisk til 10-adic

For fritt valgt

${\ displaystyle \ textstyle y =: \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} y_ {j} 2 ^ {j} \ in \ mathbb {Z} _ {2}}$

og

${\ displaystyle \ textstyle z =: \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} z_ {j} 5 ^ {j} \ in \ mathbb {Z} _ {5}}$

det er en tydelig definert med ${\ displaystyle x = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ mathbb {Z} _ {10},}$

${\ displaystyle \ pi _ {2} (x) = y}$

og

${\ displaystyle \ pi _ {5} (x) = z}$

${\ displaystyle ({\ text {sK}} _ {\ infty}).}$

Fordi de to samtidige kongruensene

${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ equiv \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} y_ {j} 2 ^ {j} \, ({\ text {mod}} 2 ^ {i}) }$

og

${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ equiv \ sum _ {j = 0} ^ {i-1} z_ {j} 5 ^ {j} \, ({\ text {mod}} 5 ^ {i}) }$

${\ displaystyle ({\ text {sK}} _ {i})}$

kan løses (unikt) for hver med den kinesiske restsatsen på grunn av modulenees coprime-natur .   blir derved   bestemt. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ equiv \, ({\ text {mod}} \ operatorname {kgV} (2 ^ {i}, 5 ^ {i}) = 10 ^ {i})}$

Null divisor

Endelige tall (bryte tallsekvenser) i ringene og er alle i ringen av hele tall. Som kjent inneholder den sistnevnte ringen ikke nulldelere , heller ikke de pro-endige ringene og som har kvotientfelt, nemlig 2-adiske tall eller 5-adiske tall${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}, \ mathbb {Z} _ {5}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {10}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {5}.}$

eksempel 1

Som forklart i avsnittet #Properties , anslaget for en multiplikasjon med finnes to ulike primtall, så er (komponentvis multiplikasjon i ). Produktet av to perfinittall kan derfor være null, selv om begge faktorene er forskjellige fra null. ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ pi _ {p}}$${\ displaystyle 1_ {p}.}$${\ displaystyle p, q}$${\ displaystyle 1_ {p} \ cdot 1_ {q} = 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ Pi _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb {Z} _ {p}}$

Algoritmen i seksjonen Representasjon som en uendelig serie gir inn for${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle 1_ {2}}$

		til statusverdiene	2520,	840,	420,	60,	12,	6,	2,	1
den A051451 utvikling
	1 2	= ...	1	· P 9 +   1	· P 8 +   0	· P 7 +   1	· P 5 +   3	· P 4 +   1	· P 3 +   1	· P 2 +   1
		= ...,	3465,	945,	105,	105,	45,	9,	3,	1.

Betingelsene for sekvensen i siste linje er ≡1 (mod 2 ⁿ ) og delelig med (i Limes alltid høyere) krefter for alle andre primtall.

Den Resultatet er A051451 utvikling ${\ displaystyle 1_ {5}}$

1 5	= ...	8. plass	· P 9 +   2	· P 8 +   0	· P 7 +   5	· P 5 +   3	· P 4 +   0	· P 3 +   0	· P 2 +   0
	= ...,	22176,	2016,	336,	336,	36,	0,	0,	0

Betingelsene for sekvensen i siste linje er ≡1 (mod 5 ⁿ ) og deles av stadig høyere krefter av alle andre primtall.

Følgende vilkår for produktet     er delbare for å øke indekser med høyere og høyere krefter på 10, dvs. H. det er null sekvens i sin helhet${\ displaystyle 1_ {2} \ cdot 1_ {5}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$

Eksempel 2

For være og . På grunn av ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle x_ {n}: = 5 ^ {2 ^ {n}}}$${\ displaystyle y_ {n}: = 6 ^ {5 ^ {n}}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rlll} (5 ^ {2 ^ {n + 2}} - 5 ^ {2 ^ {n + 1}}) \; & / \; (5 ^ {2 ^ { n + 1}} - 5 ^ {2 ^ {n}}) & = 5 ^ {2 ^ {n + 1}} \; & + 5 ^ {2 ^ {n}} \\ && \ equiv 5 & + 5 \; \; \\ && \ equiv 2 \ cdot 5 & \ equiv 0 \ qquad \ qquad ({\ text {mod}} 10) \ end {array}}}$

er divisor av . Dette betyr at sekvensen konvergerer i ringen med 10 adiske tall. Videre er . ${\ displaystyle 10 ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {n} -x_ {n-1}}$${\ displaystyle x: = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}$${\ displaystyle x \ equiv 5 \ not \ equiv 0 \; ({\ text {mod}} 10)}$

Det samme gjelder: ${\ displaystyle y_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rlll} (6 ^ {5 ^ {n + 2}} - 6 ^ {5 ^ {n + 1}}) & / \; (6 ^ {5 ^ {n + 1}} - 6 ^ {5 ^ {n}}) & = (6 ^ {5 ^ {n}}) ^ {4 \ cdot 5} & + (6 ^ {5 ^ {n}}) ^ {4 \ cdot 4} & + (6 ^ {5 ^ {n}}) ^ {4 \ cdot 3} & + (6 ^ {5 ^ {n}}) ^ {4 \ cdot 2} & + (6 ^ { 5 ^ {n}}) ^ {4 \ cdot 1} \\ && \ equiv \; \; 6 & + \; \; 6 & + \; \; 6 & + \; \; 6 & + \; \ ; 6 \\ && \ equiv 5 \ cdot 6 & \ equiv 0 & ({\ text {mod}} 10) \ end {array}}}$

og følgelig ${\ displaystyle y: = \ lim _ {n \ to \ infty} y_ {n} \ equiv 6 \ not \ equiv 0 \; ({\ text {mod}} 10).}$

For hver av de to sekvensene kan en 10-adisk utvidelse av skjemaet gis med samme 10-adic-grense (som bare skiller seg ut med en 10-adic null-sekvens). På den annen side avviker sekvensene for alle primtall unntatt 2 og 5. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} 10 ^ {j}}$${\ displaystyle a_ {j} \ in \ {0, \ dotsc, 9 \}}$

På grunn av dette er produktet delbart med vilkårlig høy krefter på 10, slik at i${\ displaystyle x_ {n} \ cdot y_ {n} = 5 ^ {2 ^ {n}} \ cdot 6 ^ {5 ^ {n}} \ equiv 0 \; ({\ text {mod}} 10 ^ { 2 ^ {n}})}$${\ displaystyle \ textstyle x \ cdot y = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ cdot y_ {n} \ equiv 0 \; ({\ text {mod}} 10 ^ {2 ^ {n }})}$${\ displaystyle x \ cdot y = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {10}.}$

De to 10 adiske tallene er forøvrig røtter til enhet fordi og betyr at og${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} ^ {\, 2}}$${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} ^ {\, 5}}$${\ displaystyle x ^ {2} = x}$${\ displaystyle y ^ {5} = y.}$

Trivially, i og inn${\ displaystyle \ pi _ {2} (x) = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {5} (y) = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {5}.}$

Toppringer

Ringen av pro-endelige rasjonelle tall

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Q}}}}$

${\ displaystyle: =}$

${\ displaystyle \ textstyle {\ Big \ {} \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} \ in \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} \ mathbb { Q} / i \ mathbb {Z} \; \; {\ Big |} \; \; \ forall j, k \ in \ mathbb {N} \ ,: \, k \! \ Mid \! J \ Rightarrow x_ {j} \ equiv x_ {k} \, ({\ text {mod}} k) {\ Big \}}}$

inkluderer , og er også ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Q}}}}$	${\ displaystyle =}$	${\ displaystyle \ mathbb {Q} + {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \; = \; \ mathbb {Q} \ cdot {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \; \ cong \; \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$
	${\ displaystyle \ cong}$	${\ displaystyle \ textstyle {\ Big \ {} \ left (x_ {p} \ right) _ {p \ in \ mathbb {P}} \ in \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ mathbb { Q} _ {p} \; \; {\ Big |} \; \; \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} \, \ forall p \ i \ mathbb {P} \ ,: \, p> n \ Rightarrow x_ {p} \ in \ mathbb {Z} _ {p} {\ Big \}}}$

den ring av den endelige Adele .

Produktet er ringen til heltallet Adele. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ times \ mathbb {R}}$

applikasjoner

• La være et primtall og det feltet med elementer. Siden hver algebraisk utvidelse av syklusen er av grad av Galois gruppen til isomorphic si  , hvor den algebraiske nedleggelse av midler. Frobenius-automorfismen tilsvarer dette${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle {p ^ {n}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbb {F}}} _ {p} / \ mathbb {F} _ {p}) = {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {F}}} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p} \ colon {\ begin {array} {lll} {\ overline {\ mathbb {F}}} _ {p} & \ to & {\ overline {\ mathbb {F}}} _ {p} \\ x & \ mapsto & x ^ {p} \ end {array}}}$

produsenten av${\ displaystyle (1,1, \ prikker)}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}.}$

• ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ operatorname {End} (\ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}),}$den endomorphism ringen av modulen${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}.}$

• I additivgrupper kan per-endelige multipler defineres, i multiplikative per-endelige eksponenter.

• De fibonacci tall kan defineres for per-finite indekser.

Se også

• p-adic nummer
• Adelring
• Fakultetsbasert tallsystem

litteratur

• Michael D. Fried, MOSE Yarden: Feltet aritmetikk . 3.. 2008
• Hendrik Lenstra : Profinite Groups . (PDF)
• James Milne : Klassefeltsteori. (PDF)
• Paul Fjelstad: Det gjentatte heltallsparadokset . I: College Mathematics Journal . teip 26 , nei 1 , januar 1995, s. 11-15 , doi : 10.2307 / 2687285 . 
• Philippe Gille, Tamás Szamuely: Central Simple Algebras and Galois Cohomology . (PDF) doi: 10.2277 / 0521861039

weblenker

• Jon Brugger: Pro-Finite Groups . (PDF)
• Jakob Stix: Proendliche Gruppen (forelesning sommersemesteret 2016 ved Universitetet i Frankfurt )
• Hendrik Lenstra: Profinite number theory . (PDF)
• Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci-tall . (PDF)

Individuelle referanser og kommentarer

1. ↑ I #Fried s. 14 kalt Prüfer group (tysk: Prüfergruppe ). ( Se også Delbar gruppe )
2. ↑ #Gille 3. Den endelige fullføringen av${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
3. ↑ Bevis i artikkelen Limes (kategoriteori)
4. ↑ Det er likevel ingen ordning som er kompatibel med ringoperasjonene : De endelige tallene kan derfor ikke ordnes. (Dette gjelder også p -adiske tall .)${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$
5. ↑ I seksjonen pseudometrics # definisjon av et område med en uniform struktur , med utgangspunkt i en uniform struktur, her ved hjelp av tellbarheten til det grunnleggende systemet, konstrueres en pseudometrics, som igjen induserer. Imidlertid er det til og med en beregning som induserer den ensartede strukturen : ${\ displaystyle \ Phi,}$${\ displaystyle \ Phi}$
   ${\ displaystyle \ Phi}$

   Vær til det

   ${\ displaystyle v (x): = \; {\ begin {cases} \\\\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle + \ infty}$	for   , ${\ displaystyle x = 0}$
   	${\ displaystyle \ max \ {n \ in \ mathbb {N} \, \ mid \, n! | x \}}$	ellers.

   "! verdien" av en . [ måler

   nærheten til null (graden av delbarhet) av av delere av formen ( uttales: enn fakultet ) - i analogi med verdien i ringene som indikerer maksimal eksponent for delbarhet ved , eller også til (se Lenstra Profinite number teori. s. 21 ) i de arkimediske systemene.]${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p},}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle \ varepsilon \ til 0}$
   Gjelder da for med${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle v (x) \ leq v (y)}$

   ${\ displaystyle x = \ xi v (x) !, \ quad y = \ eta v (y)!}$

   med matching og fra hva Den symmetriske saken fører til Begge saker resulterer sammen ${\ displaystyle \ xi, \ eta \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x + y = v (x)! (\ xi + \ eta v (y)! / v (x)!),}$${\ displaystyle v (x + y) \ geq v (x).}$${\ displaystyle v (x) \ geq v (y)}$${\ displaystyle v (x + y) \ geq v (y).}$

   ${\ displaystyle v (x + y) \ geq \ min \ {v (x), v (y) \}.}$

   Avstandsfunksjonen ble således dannet

   ${\ displaystyle {\ text {d}} \ left (x, y \ right): = {\ text {e}} ^ {- v (xy)}}$

   oppfyller kravene til en beregning og er en ultrametrisk :

   (1) Positiv klarhet:	${\ displaystyle {\ text {d}} \ left (x, y \ right) \ geq 0}$   og   ${\ displaystyle {\ text {d}} \ left (x, y \ right) = 0 \ Lefttrightarrow x = y}$
   (2) symmetri:	${\ displaystyle {\ text {d}} \ left (x, y \ right) = {\ text {d}} (y, x)}$
   (3) Strammet ulikhet i trekanten:	${\ displaystyle {\ text {d}} (x, y) \ leq \ max \ {{\ text {d}} (x, z), {\ text {d}} (z, y) \}}$

   I likhet med den ensartede strukturen i teksten, er denne beregningen definert av graden av delbarhet, slik at de samsvarer som ensartede strukturer.

   NB: Episoden er

   medfinale i . Og hver monotone cofinalsekvens definerer en beregning med samme uniforme struktur. ${\ displaystyle \ left (n! \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |)}$
6. ↑ Fordi det er det${\ displaystyle U_ {N} ^ {2} = U_ {N}.}$
7. ↑ Disse null garn er nøyaktig de monoton seg i cofinal garn, fordi ${\ displaystyle \ left (r_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |)}$

   ${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} & \ forall N \ i \ mathbb {N} \; \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} \,: N \ mid r_ {n} \ quad \ wedge \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N}: r_ {n} \ mid r_ {n + 1} \\\ Rightarrow & \ displaystyle \ lim _ {\ infty \ leftarrow n} r_ {n} = 0 \\\ Rightarrow & \ forall N \ in \ mathbb {N} \; \ exist n_ {N} \ in \ mathbb {N} \,: n_ {N} \ mid n \ Rightarrow N \ mid r_ {n} \\\ Rightarrow & \ forall N \ i \ mathbb {N} \; \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} \,: N \ mid r_ {n} \\\ end {array}}}$

8. ↑ # Bruggers teorem 7.2.
9. ↑ se artikkelen Limes (kategoriteori)
10. ↑ En implementering for dette er #algoritmen med systemet A003418 av det minst vanlige multiple.
11. ↑ ^{a b} Typen av rekkefølge som forekommer her er ikke bare den rekkefølgen som er uendelig i to dimensjoner (rekkefølgen av primtall og sekvensen av eksponenter) ${\ displaystyle \ omega = (\ mathbb {N}, <),}$

    ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ mid) = (\ mathbb {N} _ {0}, \ leq) ^ {(\ mathbb {P})} = \ bigoplus _ {p \ in \ mathbb {P }} p ^ {\ mathbb {N} _ {0}},}$

    d. se vektorene

    ${\ displaystyle n = \ Pi p ^ {n_ {p}} \ kolon \ mathbb {P} \ til \ mathbb {N} _ {0}}$   med   for nesten alle${\ displaystyle n_ {p} = 0}$${\ displaystyle s.}$

    Bestillingsforholdet går komponent for komponent ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, \ mid)}$

    ${\ displaystyle n \ mid m \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ forall p \ in \ mathbb {P}: n_ {p} \ leq m_ {p}.}$

    Som en tellbar ordretype inneholder den kofinale undersøkelser.
12. ↑ Lenstra Prof Destinite number theory. S. 17
13. ↑ antar at for hver hovedmakt er det et mangfold blant stedverdiene,
14. ↑ Som vanlig med alle plassverdiverkninger , b -adiske så vel som p -adiske, er de små eksponentene notert på høyre side av linjen. De fleste algoritmer, spesielt tillegg og multiplikasjon, starter også der. De p- adiske og de ubegrensede tallene fortsetter til venstre mot de høyere eksponentene, potensielt til uendelig.
15. ↑ I motsetning til notasjonene med samme base, endrer basene seg fra sted til sted, men avhenger ikke av annet enn antallet på stedet. Hvis de også blir notert, er de like faste som en skalainndeling på en koordinatakse .
16. ↑ Dette er i henhold til konvensjonen for fakultet basert tallsystemer (også med Lenstra Profinite grupper eksempel 2.2).
17. ↑ ${\ displaystyle \ forall N \ in \ mathbb {N} \; \ eksisterer n \ i \ mathbb {N} \,: N \ mid m_ {n}}$
18. ↑ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}: m_ {n} \ mid m_ {n + 1}}$
19. ↑ ^{en b} Denne sekvensen er strengt monotont cofinal i${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |).}$
20. ↑ Hvis basene (eller modulene) også er notert, spesifiseres også resten av klassene som delsummen refererer til. Dette gjelder også notasjoner som basene ellers er kjent for eller kan gjøres tilgjengelige.
21. ↑ mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein "Smallest common multiple." Fra MathWorld - En Wolfram-nettressurs
22. ↑ Denne sekvensen er monotonisk cofinal i${\ displaystyle (\ mathbb {N}, |).}$
23. ↑ Lenstra Profinite Groups Eksempel 2.1
24. ↑ Stavekontrollen unngås for ikke å fremkalle tilknytning til et legeme .${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {10}}$
25. ↑ Fjelstad s. 11.
26. ↑ Det er imidlertid sant${\ displaystyle \ psi (r \ cdot r ') \ leq \ psi (r) \ cdot \ psi (r').}$
27. ↑ Stedsverdiene (eller modulene) er vektene som sifrene skal multipliseres med, f.eks. B. tallet 3 med den akkumulerte vekten 12 = 2 * 3 * 2 * 1.
28. ↑ Hvis man ser på denne serien som en hel tallsekvens av tall i ringen, er den den samme (hvis den konvergerer mot den der) 1. Den kan også forstås som en sekvens i , så konvergerer den mot (den der ) 0.${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2},}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}, \ mathbb {Z} _ {5}, \ ldots}$
29. ↑ Lenstra Prof Destinite number theory. S. 7
30. ↑ Milne, Ch. I Eksempel A. 5.
31. ↑ Lenstra Profinite Fibonacci-tall. S. 299