Ordspråklig fullføring

I den matematiske grenen av gruppeteori er den endelige fullføringen en konstruksjon som informasjonen om alle begrensede faktorgrupper i en gruppe kan oppsummeres.

definisjon

For en (diskret) gruppe vurderer vi det inverse systemet , der det går over alle normale deler av endelig indeks og deretter definerer den endelige fullføringen av som den inverse grensen for dette systemet ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ left \ {G / \ Gamma \ right \} _ {\ Gamma}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ delmengde G}$ ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle {\ widehat {G}} = \ varprojlim G / \ Gamma}$

i kategorien topologiske grupper .

Universell eiendom

Pro-endite ferdigstillelse er en per-endite gruppe . Naturlig homomorfisme har følgende universelle egenskap : for hver homomorfisme i en bestemt gruppe er det en kontinuerlig homomorfisme med . ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle i \ kolon G \ til {\ widehat {G}}}$ ${\ displaystyle f \ kolon G \ til H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ hat {f}} \ kolon {\ widehat {G}} \ til H}$${\ displaystyle f = {\ hat {f}} \ circ i}$

Andre egenskaper

• Hvis genereres endelig , så er hver undergruppe av endelig indeks åpen og .${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H \ subset {\ widehat {G}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ widehat {G}}} = {\ widehat {G}}}$
• Hvis genereres begrenset, gjelder det for alle begrensede grupper${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} ({\ widehat {G}}, H) = \ mathrm {Hom} (G, H)}$.

• For en gruppe betegner du settet med alle endelige faktorgrupper på . Deretter for begrenset genererte grupper og :${\ displaystyle G}$${\ displaystyle Q (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle {\ widehat {G}} \ simeq {\ widehat {H}} \ Longleftrightarrow Q (G) = Q (H)}$.

Eksempler

Den fullstendige fullføringen av gruppen av heltall er ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$.

Det er isomorft til produktet av p-adiske tall over alle primtall : ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ Pi _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}$.

• La være den grunnleggende gruppen av en kompleks prosjektiv variasjon . Da er isomorf til den algebraiske grunnleggende gruppen av :${\ displaystyle G = \ pi _ {1} X}$${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ widehat {G}} \ cong \ pi _ {1} ^ {alg} (X)}$.

• Den naturlige homomorfismen

${\ displaystyle G \ til {\ widehat {G}}}$

er injeksjonsmiddel hvis og bare hvis rest er endelig . Restbegrensede grupper er viktige i mange deler av matematikken.${\ displaystyle G}$

litteratur

Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel: Profittgrupper. Andre utgave. Resultater av matematikk og dets grenseområder. 3. episode. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 40. Springer-Verlag, Berlin, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7

weblenker

• Resultatgjennomføring av en gruppe (nLab)

Individuelle bevis

1. ↑ Ribes-Zalesskii, op.cit., Proposisjon 3.2.2
2. ↑ Nikolov, Nikolay; Segal, Dan: På begrensede genererte grupper. I. Sterk fullstendighet og ensartede grenser. Ann. of Math. (2) 165 (2007), nr. 1, 171-238.
3. ↑ Ribes Zalesskii, op.cit., Resultat 3.2.8