Fredholm-operatør

I funksjonell analyse , en gren av matematikk , er klassen til Fredholm-operatører (ifølge EI Fredholm ) en viss klasse av lineære operatorer som kan "nesten" inverteres. Hver Fredholm operatør er tilordnet et helt tall, og dette kalles Fredholm indeks , analytisk indeks eller indeks for kort .

definisjon

En avgrenset lineær operator mellom to Banach-mellomrom og kalles Fredholm-operatøren, eller kort sagt: " er Fredholm", hvis ${\ displaystyle A \ kolon X \ til Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle A}$

• ${\ displaystyle \ ker A}$har endelig dimensjon og
• ${\ displaystyle \ mathrm {ran} \, A}$har endelig kodestørrelse i .${\ displaystyle Y}$

Det er en kjerne av , slik at mengden og det bilde av , så delmengden . ${\ displaystyle \ ker A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {x \ i X: Ax = 0 \}}$${\ displaystyle \ mathrm {ran} \, A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ {Ax \ mid x \ i X \} \ subseteq Y}$

Antallet

${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A) = \ dim (\ ker A) - \ mathrm {codim} (\ mathrm {ran} \, A, Y) \ in \ mathbb {Z}}$

kalles Fredholm-indeksen av . ${\ displaystyle A}$

kjennetegn

Bildet er et lukket underområde

Bildet av en Fredholm-operatør er et lukket underområde. ${\ displaystyle \ mathrm {ran} \; (A)}$

struktur

Hvis en Fredholm-operatør, har det endelige dimensjonale underområdet et lukket komplementært rom i , dvs. dvs. det gjelder . Begrensningen av er så åpenbart en bijektiv operatør, hvis inverse også er avgrenset i henhold til teoremet for den kontinuerlige inversen . Operatøren er kontinuerlig inverterbar "bortsett fra et endelig antall dimensjoner". Det kan bevise mange av følgende egenskaper. ${\ displaystyle A \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle \ ker (A)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X = \ ker (A) \ oplus W}$${\ displaystyle {\ widetilde {A}} \ colon W \ to \ operatorname {ran} (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

sammensetning

Sammensetningen av to Fredholm-operatører og er igjen en Fredholm-operatør og gjelder for indeksen${\ displaystyle A \ circ B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A \ circ B) = \ operatorname {ind} (A) + \ operatorname {ind} (B)}$.

Dobbel operatør

La være operatøren dobbel til Fredholm- operatøren . Så og . Derfor er det også en Fredholm-operatør og holder for indeksen .${\ displaystyle A '\ colon Y' \ to X '}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ dim (\ ker A ') = \ operatorname {codim} (\ mathrm {ran} (A))}$${\ displaystyle \ operatorname {codim} (\ mathrm {ran} (A ')) = \ dim (\ ker A)}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (T ') = - \ operatorname {ind} (T)}$

Atkinsons teorem

I følge Atkinsons teorem er en operatør en Fredholm-operatør hvis og bare hvis det er operatører og kompakte operatører som holder og holder, det vil si hvis modulo kompakte operatører er inverterbare. Spesielt er en avgrenset operatør en Fredholm-operatør hvis og bare hvis klassen er inverterbar i Calkins algebra . ${\ displaystyle A \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$${\ displaystyle AB_ {1} = I_ {Y} -K_ {1}}$${\ displaystyle B_ {2} A = I_ {X} -K_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A \ kolon X \ til X}$${\ displaystyle [A] _ {{\ mathcal {C}} (X)}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X) / {\ mathcal {C}} (X)}$

Kompakt forstyrrelse

For hver Fredholm operatør og hver kompakt operatør det er også en Fredholm operatør med samme Fredholm indeksen . Derfor sies det at indeksen til en Fredholm-operatør er uforanderlig under kompakte forstyrrelser. Spesielt er hver kompakt identitetsforstyrrelse , dvs. hver operatør av skjemaet for en kompakt operatør, en Fredholm-operatør med indeks 0. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A + K}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I + K}$${\ displaystyle K}$

Eiendommer til Fredholm-indeksen

Settet med Fredholm-operatører mellom Banach-rommene og er åpent i settet med avgrensede operatører . På hver tilkoblet komponent av indeksen er konstant: for alle . Kartleggingen er faktisk bijektiv. Dette resulterer umiddelbart i følgende egenskaper for indeksen: ${\ displaystyle \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X, Y)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A) = n_ {U} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle A \ in U}$${\ displaystyle U \ mapsto n_ {U}}$

• Indekskartleggingen er kontinuerlig.${\ displaystyle \ operatorname {ind} \ colon \ Phi (X, Y) \ to \ mathbb {Z}}$
• Indeksen er invariant etter små forstyrrelser, det vil si, det er så for all of gjelder følgende: .${\ displaystyle A \ in \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle S \ in L (X, Y)}$${\ displaystyle \ | S \ | <\ varepsilon}$${\ displaystyle \ operatorname {ind} (A + S) = \ operatorname {ind} (A)}$
• Indeksen er et homotopy-invariant tall.: Er kontinuerlig og har samme indeks.${\ displaystyle \ psi \ colon [0,1] \ to \ Phi (X, Y)}$${\ displaystyle \ psi (0)}$${\ displaystyle \ psi (1)}$

Fredholm indeks surjectivity

Fredholm-indeksen, som en kartlegging av settet av Fredholm-operatører til settet med heltall, er antatt .

Punktert nabolagssetning

Hvis en Fredholm-operatør er det, er det ifølge Punctured Neighborhood Theorem en , slik at for alle med${\ displaystyle A \ kolon X \ til X}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 0 <| \ lambda | <\ varepsilon}$

1. ${\ displaystyle \ dim \ ker (A- \ lambda I) \ equiv \ mathrm {const} \ leq \ dim \ ker A}$ og
2. ${\ displaystyle \ mathrm {codim} \, \ mathrm {ran} (A- \ lambda I) \ equiv \ mathrm {const} \ leq \ mathrm {codim} \, \ mathrm {ran} A}$

gjelder. Spesielt er Fredholm-operatør. Siden Fredholm-indeksen er kontinuerlig, følger den . The Punctured Neighborhood Theorem ble bevist av Israel Gohberg .${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A- \ lambda I) = \ mathrm {ind} (A)}$

Elliptiske operatører

Hver jevnt elliptiske differensialoperatør er en Fredholm-operatør.

Vær og et område med en Lipschitz-grense . Deretter defineres den svake elliptiske differensialoperatøren med homogene Neumann-grensebetingelser av ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle A \ colon H ^ {1,2} (\ Omega) \ to H ^ {1,2} (\ Omega) '}$

${\ displaystyle A (u) (v): = \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i, j} \ partial _ {i} va_ {ij} \ partial _ {j} u}$

for en Fredholm-operatør. ${\ displaystyle u, v \ in H ^ {1,2} (\ Omega)}$

Eksempler

Skiftoperatør

Integrert operatør

Et klassisk eksempel på en Fredholm-operatør er operatøren

${\ displaystyle A: = I + T}$,

der identitetsoperatøren og er en kompakt operatør . På Banach-rommet til kontinuerlige funksjoner eller på kvadratintegrerbare funksjoner , er operatøren av formen ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle C ([a, b])}$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([a, b])}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle (A \ phi) (x) = \ phi (x) + \ int _ {a} ^ {b} k (x, y) \ phi (y) \ mathrm {d} y}$,

der den integrerte kjernen er en kontinuerlig eller kvadratisk integrerbar funksjon. Denne Fredholm-operatøren har indeksen 0. I Fredholm-teorien blir ligninger av typen undersøkt. Den Fredholm alternativt som en sentral følge av Fredholm teori gir et svar på de betingelser under hvilke ligninger av denne type kan løses. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A \ phi (x) = f (x)}$

Laplace-operatør

Laplace-operatøren

${\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ partial ^ {2} f \ over \ partial x_ {k} ^ {2}}}$

definert på Sobolev-rommet til de to svakt differensierbare kvadratiske integrerbare funksjonene, er en kontinuerlig elliptisk operator. Derfor er han også Fredholm-operatør. Siden den også er selvtilstøtende , har den Fredholm Index 0. ${\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Tatt i betraktning den Laplace operatør i fordelings forstand på , er han ikke en kontinuerlig operatør og dermed ingen Fredholm operatør med hensyn til ovennevnte definisjon. Når det gjelder ubegrensede operatører, som det vil bli forklart senere i artikkelen, er det fortsatt en Fredholm-operatør. ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

Elliptisk operatør på manifold

Den sirkel (som tanke) kan forstås som en en-dimensjonal lukket manifold . En kontinuerlig elliptisk differensialoperatør av første orden på de glatte funksjonene fra sirkelen til de komplekse tallene er gjennom ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle D = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} - 2 \ pi i \ lambda}$

gitt for en kompleks konstant . Kjernen til er plassen som spennes av vilkårene i skjemaet , hvis og 0 i de andre tilfellene. Kjernen til den tilstøtende operatøren er et lignende rom, bare det erstattes av det komplekse konjugatet. Fredholm-operatøren har således indeksen 0. Dette eksemplet viser at kjernen og kjernen til en elliptisk operator kan hoppe diskontinuerlig hvis den elliptiske operatoren varieres slik at de ovennevnte begrepene er inkludert. Siden hoppene i dimensjonene til kjernen og cola er de samme, endres deres forskjell, indeksen, kontinuerlig . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ exp (i2 \ pi \, \ lambda \, x)}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle D}$

Ubegrenset Fredholm-operatører

Så langt i denne artikkelen har Fredholm-operatører bare blitt ansett som spesielle begrensede operatører. For eksempel, i indeksteorien om elliptiske operatører over ikke-kompakte rom, er det fornuftig å utvide definisjonen av Fredholm-operatøren til ubegrensede operatører. Med unntak av den nødvendige nærheten til operatøren, er definisjonen identisk med den i begrenset tilfelle:

Be og to Banach mellomrom og et underrom av . En (ubegrenset) operatør kalles en Fredholm-operatør, hvis ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A \ colon X \ supset {\ mathcal {D}} (A) \ to Y}$

• ${\ displaystyle A}$ fullført er,
• dimensjonen til kjernen er endelig,${\ displaystyle \ operatorname {ker} (A)}$
• kodedimensjonen til in er endelig.${\ displaystyle \ operatorname {ran} (A)}$${\ displaystyle Y}$

Noen forfattere krever også at domenet er tett , noe som åpenbart er helt uavhengig av den faktiske Fredholm-eiendommen. Som i tilfellet med avgrensede operatører, er Fredholm-indeksen gjennom ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A)}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mathrm {ind} (A) = \ dim (\ ker A) - \ mathrm {codim} (\ mathrm {ran} (A)) \ in \ mathbb {Z}}$

Er definert.

Hvis domenet til en lukket operatør er gitt den såkalte grafnormen , er det et Banach-rom og , betraktet som en operatør fra til , en avgrenset operatør. Følgelig kan en ubegrenset Fredholm-operatør alltid reduseres til en avgrenset Fredholm-operatør. Følgelig holder mange eiendommer ovenfra også for ubegrensede Fredholm-operatører. Så sammenkoblingen av ubegrensede Fredholm-operatører er igjen en Fredholm-operatør, som ovennevnte indeksformel gjelder for; Atkinsons teorem holder også, og Fredholm-indeksen over ubegrensede Fredholm-operatører er også uforanderlig under kompakte forstyrrelser og lokalt konstant (ordet "lokal" refererer her til den såkalte gapmetriske). Endelig gjelder The Punctured Neighborhood Theorem også for ubegrensede Fredholm-operatører. Imidlertid er det ingen forbindelse til Calkin-algebra for ubegrensede Fredholm-operatører.${\ displaystyle {\ mathcal {D}} (A) \ delmengde X}$${\ displaystyle A \ kolon X \ til Y}$${\ displaystyle \ | x \ | _ {A}: = \ | x \ | _ {X} + \ | Ax \ | _ {Y}}$${\ displaystyle X_ {A}: = ({\ mathcal {D}} (A), \ | \ cdot \ | _ {A})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X_ {A}}$${\ displaystyle Y}$

Se også

• Essensielt spektrum

litteratur

• Dirk Werner : Funksjonsanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 .

Individuelle bevis

1. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Lineary Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 159 . 
2. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Lineary Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 156 . 
3. ↑ Masoud Khalkhali: Grunnleggende ikke-kommutativ geometri . 2. utgave. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6 , pp. 201 . 
4. ↑ Jürgen Appell, Martin Väth : Element av funksjonell analyse . Springer / Vieweg, 2005, ISBN 3-322-80243-4 , pp. 164-165 . 
5. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Lineary Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 171, 293-294 . 
6. ↑ Vladimir Müller: Spectral Theory of Lineary Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras . Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0 , s. 231 . 
7. ^ Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum . (på nett)