Elliptisk delvis differensialligning

Elliptiske partielle differensiallikninger er en spesiell klasse av partielle differensiallikninger (PDG). De er formulert ved hjelp av elliptiske differensialoperatører . Løsningene til en elliptisk delvis differensialligning har visse egenskaper, som blir forklart mer detaljert her. Den Laplace-operator er sannsynligvis den mest kjente elliptisk differensialoperator , og Poisson-ligningen er den tilhørende partielle differensialligninger. ${\ displaystyle Pu = f}$

Fysisk tolkning

Den elliptiske differensiallikningen er en generalisering av Laplaces ligning og Poissons ligning. En annen ordens elliptisk differensialligning har formen

${\ displaystyle P (u) (x) = \ sum _ {i, j} ^ {n} a_ {ij} (x) \ partial _ {x_ {i}, x_ {j}} ^ {2} u ( x) + \ sum _ {i} ^ {n} b_ {i} (x) \ delvis _ {x_ {i}} u (x) + c (x) u (x) = f (x)}$,

der koeffisienten fungerer , og må tilfredsstille passende forhold. ${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle c}$

Slike differensialligninger forekommer vanligvis i forbindelse med stasjonære (tidsuavhengige) problemer. De beskriver ofte en tilstand av minimal energi. Ovennevnte Laplace- og Poisson-ligninger beskriver temperaturfordelingen i en kropp eller den elektrostatiske ladningsfordelingen i en kropp. Andre elliptiske differensialligninger brukes for eksempel til å studere konsentrasjonen av visse kjemiske stoffer. Betingelsene for rekkefølge to beskriver diffusjonen . Førsteordensbetegnelsene beskriver transporten, og nullbestillingsbetegnelsen beskriver den lokale økningen og nedgangen.

Ikke-lineære elliptiske differensiallikninger forekommer også i beregningen av variasjoner og differensialgeometri .

definisjon

Elliptisk differensialoperatør

En differensialoperatør , oppført i flerindeksnotasjon , rekkefølgen i et område kalt punktet elliptisk, hvis det er sant ${\ displaystyle \ textstyle P (u) (x) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} (x) \ partial _ {x} ^ {\ alpha} u (x)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle y \ in \ Omega}$${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ tilbakeslag \ {0 \}}$

${\ displaystyle P_ {m} (y, \ xi): = \ sum _ {| \ alpha | = m} a _ {\ alpha} (y) \ xi ^ {\ alpha} \ neq 0 \.}$

Man kaller det viktigste symbolet på . En differensialoperatør kalles elliptisk hvis den er elliptisk for alle . ${\ displaystyle \ P_ {m}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle y \ in \ Omega}$

Elliptisk differensialligning

La være en elliptisk differensialoperator og en funksjon, så kalles ligningen ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle Pu = f}$

elliptisk differensialligning og er funksjonen vi ser etter i denne differensiallikningen. ${\ displaystyle u}$

Ensartet elliptisk differensialoperatør

En differensialoperatør kalles ensartet elliptisk i hvis det er en slik at ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle c> 0}$

${\ displaystyle | P_ {m} (y, \ xi) | \ geq c | \ xi | ^ {m}}$

gjelder alle . ${\ displaystyle (y, \ xi) \ i U \ times \ mathbb {R} ^ {n}}$

Hypo-elliptisk differensialoperatør

En operatør med konstante koeffisienter kalles hypo-elliptisk hvis det er en slik som for alle med og alle : ${\ displaystyle \ textstyle P (D) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} a _ {\ alpha} D ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle a _ {\ alpha} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle C> 0}$${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle | \ xi | \ geq C}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$

• ${\ displaystyle P (\ xi) \ neq 0}$ og
• ${\ displaystyle | D ^ {\ alpha} P (\ xi) | \ leq C | P (\ xi) | \ cdot | \ xi | ^ {- | \ alpha |}}$.

Mer generelt kalles en differensialoperatør på et åpent sett med ikke nødvendigvis konstante koeffisienter hypo-elliptisk , hvis det er åpent for hvert sett , avgrenset og hver fordeling implikasjonen ${\ displaystyle P (D)}$${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ displaystyle U '\ delmengde U}$ ${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {D}} (U ')}$

${\ displaystyle Pu \ i C ^ {\ infty} (U ') \ quad \ Rightarrow \ quad u \ i C ^ {\ infty} (U')}$

gjelder. Med ord: Hvis bildet er uendelig differensierbart i distribusjonsforstanden til differensialoperatøren , gjelder dette allerede arketypene. ${\ displaystyle P}$

I motsetning til den ensartede elliptiske differensialoperatøren, er den hypo-elliptiske differensialoperatøren en generalisering av den elliptiske differensialoperatøren. Dette kravet til differensialoperatøren er derfor svakere. Se regelmessighetsteorien til elliptiske operatører nedenfor.

Navnets opprinnelse

Adjektivet elliptisk i navnet elliptisk delvis differensialligning kommer fra teorien om kjeglesnitt . I denne teorien, i tilfelle den løsningen satt , ligningen ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0}$

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$

Kalt en ellips . Hvis vi nå ser på den homogene differensiallikningen

${\ displaystyle A \ partial _ {x_ {1}, x_ {1}} ^ {2} u (x) + B \ partial _ {x_ {1}, x_ {2}} ^ {2} u (x) + C \ delvis _ {x_ {2}, x_ {2}} ^ {2} u (x) + D \ delvis _ {x_ {1}} u (x) + E \ delvis _ {x_ {2}} u (x) + Fu (x) = 0}$

andre rekkefølge i to dimensjoner med konstante koeffisienter, så er dette jevnt elliptisk hvis og bare hvis det gjelder. ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0}$

Eksempler

• Det viktigste eksemplet på en ensartet elliptisk differensialoperatør er Laplace-operatøren

${\ displaystyle \ Delta u (x) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ partial _ {x_ {j} x_ {j}} ^ {2} u (x),}$

hvis hovedsymbol er. Funksjoner som tilfredsstiller Laplace-ligningen kalles harmoniske og har noen spesielle egenskaper, for eksempel det faktum at de kan differensieres et hvilket som helst antall ganger. Man har nå håp om at disse egenskapene kan overføres til "lignende" differensialoperatører.${\ displaystyle P_ {2} (y, \ xi) = ((- 1) \ cdot \ xi _ {1} ^ {2} + \ ldots + (- 1) \ cdot \ xi _ {n} ^ {2 }) = - | \ xi | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta u = 0}$

• Den Cauchy-Riemann operatør

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ bar {z}}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + i {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right)}$

er ensartet elliptisk fordi hovedsymbolet er .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left (i \ xi _ {1} - \ xi _ {2} \ right)}$

• Den parabolske delvise differensialoperatøren er hypo-elliptisk, men ikke ensartet elliptisk. Den parabolske differensialligningen kalles varmeledningsligningen .${\ displaystyle P = D_ {t} - \ Delta _ {x}}$ ${\ displaystyle Pu = 0}$

Teori om elliptiske differensiallikninger av andre orden

I det følgende vises de viktigste setningene for elliptiske differensialoperatører av ordre to i dimensjoner. Så vær ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle P (u) (x) = \ sum _ {i, j} ^ {n} a_ {ij} (x) \ partial _ {x_ {i}, x_ {j}} ^ {2} u ( x) + \ sum _ {i} ^ {n} b_ {i} (x) \ delvis _ {x_ {i}} u (x) + c (x) u (x)}$

en elliptisk differensialoperatør av ordre to. I tillegg, la det være en åpen , koblet , avgrenset delmengde med en Lipschitz-grense . ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

Eksistenserklæring

Koeffisientfunksjonene er alle målbare og begrensede funksjoner. Så for hver det er en unik svak løsning av den Dirichlet randverdiproblem${\ displaystyle a_ {ij}, b_ {i}, c}$${\ displaystyle f \ in L ^ {2} (U)}$ ${\ displaystyle u \ i H_ {0} ^ {1} (U)}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {cc} Pu = f & {\ text {in}} \ U \\ u = 0 & {\ text {in}} \ \ partial U, \ end { array}} \ høyre.}$

hvis den bilineære formen som er knyttet til differensialoperatøren, er tvangsmessig . Her er definert kapasitet ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: H_ {0} ^ {1} (U) \ times H_ {0} ^ {1} (U) \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (u, \ varphi): = \ int _ {U} \ left (- \ sum _ {i, j} ^ {n} a_ {ij} (x) \ partial _ {x_ {i}} u (x) \ partial _ {x_ {j}} \ varphi (x) \ right) + \ left (\ sum _ {i} ^ {n} b_ {i} (x) \ partial _ {x_ {i}} u (x) \ varphi (x) \ right) + c (x) u (x) \ varphi (x) {\ rm {d}} x}$.

Med Lax-Milgram-lemmaet trekker man frem eksistensen og unikheten til løsningen fra den bilinære formen . Hvis det er ensartet elliptisk, er den tilknyttede bilineære formen alltid tvangsmessig. Hvis en Neumann-grensetilstand brukes i stedet for en Dirichlet-grensetilstand , så hvis den tilknyttede bilineære formen igjen er tvangsmessig, er det nøyaktig en løsning av den delvise differensiallikningen, som kan bevises nesten på samme måte. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Regelmessighet

Vær for alle , og i tillegg være og en svak løsning av den elliptiske differensialligningen ${\ displaystyle a_ {ij}, b_ {i}, c \ in C ^ {\ infty} (U)}$${\ displaystyle i, j}$${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U)}$${\ displaystyle u \ i H ^ {1} (U)}$

${\ displaystyle Pu = f \ {\ text {in}} \ U}$.

Da gjelder . ${\ displaystyle u \ i C ^ {\ infty} (U)}$

Maksimalt prinsipp

Et maksimalt prinsipp gjelder elliptiske differensialoperatører av andre orden . Vær i og vær . ${\ displaystyle c \ geq 0}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle u \ i C ^ {2} (U) \ cap C ({\ overline {U}})}$

1. Hvis

${\ displaystyle Pu \ leq 0 \ {\ text {in}} \ U}$

holder og antar et ikke-negativt maksimum i et indre punkt av , er da konstant. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle {\ overline {U}}}$${\ displaystyle u}$

2. Hvis

${\ displaystyle Pu \ geq 0 \ {\ text {in}} \ U}$

holder og antar et ikke-positivt minimum i et indre punkt av , så er konstant. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle {\ overline {U}}}$${\ displaystyle u}$

Eigenverdiproblemer

Tenk på grenseverdiproblemet

${\ displaystyle Pu = \ lambda u \ {\ text {in}} \ U}$

${\ displaystyle \ u = 0 \ {\ text {in}} \ \ partial U,}$

hvor er en egenverdi av differensialoperatøren . I tillegg, la oss være en symmetrisk differensialoperatør. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

1. Da er alle egenverdier reelle. ${\ displaystyle P}$

2. I tillegg har alle egenverdier samme tegn og har bare en begrenset mangfold.

3. Til slutt er det et ortonormalt grunnlag for med som egenfunksjon av egenverdien . ${\ displaystyle \ {w_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle L ^ {2} (U)}$${\ displaystyle w_ {k} \ i H_ {0} ^ {1} (U)}$${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$

Teori om elliptiske pseudodifferensielle operatører

definisjon

En pseudo differensialoperatør kalles elliptisk hvis symbolet faktisk bæres og det homogene hovedsymbolet er jevnt elliptisk - eller tilsvarende hvis ulikheten for en konstant for og holder i et konisk nabolag av for det virkelige symbolet .${\ displaystyle p \ i S_ {cl} ^ {m} (X)}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle (x_ {0}, \ xi _ {0})}$${\ displaystyle | a (x, \ xi) | \ geq {\ tfrac {1} {C}} (1+ | \ xi |) ^ {m}}$${\ displaystyle C> 0}$${\ displaystyle (x, \ xi) \ i V}$${\ displaystyle | \ xi | \ geq C}$

Inverterbarhet

La være en elliptisk pseudodifferensiell operatør, og da eksisterer det en faktisk båret pseudodifferensiell operatør slik at ${\ displaystyle P \ in \ Psi _ {\ rho, \ delta} ^ {m} (X)}$${\ displaystyle \ rho> \ delta}$${\ displaystyle Q \ in \ Psi _ {\ rho, \ delta} ^ {- m} (X)}$

${\ displaystyle (P \ circ Q) (u) = (Q \ circ P) (u) = I (u) + R (u)}$

gjelder. Den identitet operatør er , og er en operatør som kartlegger hver distribusjon til en glatt funksjon. Denne operatøren kalles Parametrix . Operatøren kan derfor være invertert modulo . Denne egenskapen gjør den elliptiske pseudo-differensialoperatøren og dermed, som et spesielt tilfelle, den elliptiske differensialoperatøren, en Fredholm-operatør . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R \ in \ Psi _ {\ rho, \ delta} ^ {- \ infty} (X)}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ rho, \ delta} ^ {- \ infty} (X)}$

Enkel transportør

La igjen være en elliptisk pseudodifferensialoperatør og . Gjelder da for hver distribusjon${\ displaystyle P \ in \ Psi _ {\ rho, \ delta} ^ {m} (X)}$${\ displaystyle \ rho> \ delta}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {D}} '(X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {sing \ supp} (Pu) = \ operatorname {sing \ supp} (u).}$

Den entall bærer av en fordeling endres ikke.

litteratur

• Gerhard Dziuk: Theory and Numerics of Partial Differential Equations , de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5 , side 151-181.
• Lawrence Craig Evans : Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2 .
• Alain Grigis & Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators , Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3 .

Individuelle bevis

1. ↑ Alain Grigis, Johannes Sjöstrand - Mikrolokalanalyse for differensialoperatører . Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3 , s.41 .