Maksimalt prinsipp (matematikk)

Illustrasjon av maksimalprinsippet: Både maksima og minima for denne funksjonen (rød) ligger på kanten av definisjonsområdet (blå).

I matematikk er det maksimale prinsippet en egenskap som oppfylles av løsninger av visse partielle differensiallikninger . Hvis maksimumsprinsippet gjelder for en funksjon, kan det gjøres omfattende uttalelser om dens oppførsel selv om denne funksjonen ikke er kjent. Grovt sett tilfredsstiller en funksjon det maksimale prinsippet hvis og bare hvis den antar sitt (globale) maksimum på kanten av domenet.

Det sterke maksimalprinsippet sier at en funksjon som antar sitt maksimale innenfor definisjonsdomenet, må være konstant. Det svake maksimalprinsippet sier at det maksimale antas på kanten, men ytterligere maksimale poeng kan eksistere i det indre av definisjonsdomenet. I tillegg er det andre, enda svakere maksimalprinsipper. Som regel gjelder utsagn som er analoge med maksimumsprinsippet også minimumsfunksjonen; disse blir da referert til som minimumsprinsippet .

Maksimumsprinsippet kan defineres ikke bare for funksjoner med virkelig verdi , men også for funksjoner med kompleks verdi eller vektor . I disse tilfellene vurderes det maksimale for mengden eller normen for funksjonsverdiene. Det mest kjente eksemplet på dette er klassen av holomorfe funksjoner .

historie

Det første maksimale prinsippet ble etablert av Bernhard Riemann i sin avhandling for klassen av harmoniske funksjoner . Eberhard Hopf utvidet deretter dette til løsningene av elliptiske differensiallikninger av andre orden. For harmoniske funksjoner kan det maksimale prinsippet avledes veldig raskt fra gjennomsnittsverdien for disse funksjonene. Heinz Bauer utvidet denne ideen til et generelt maksimalprinsipp for konvekse kjegler av oppover semi-kontinuerlige funksjoner i kompakte rom. Fra dette abstrakte maksimumsprinsippet følger det blant annet at oppover halvkontinuerlige, konvekse funksjoner på kompakte, konvekse sett tar sitt maksimum på de ekstreme punktene i det konvekse settet.

Fysisk motivasjon

Løsning av en todimensjonal varmeledningsligning

La være en funksjon som gir temperaturen til et fast stoff som en funksjon av sted og tid, så . er tidsavhengig fordi termisk energi spres over materialet over tid. Det fysiske, selvfølgelige faktum at varme ikke oppstår fra ingenting, gjenspeiles matematisk i maksimalprinsippet: Maksimumsverdien over tid og romtemperatur er enten i begynnelsen av det vurderte tidsintervallet ( se også: initialverdiproblem ) i utkanten av det vurderte romlige området ( se også: Grenseverdiproblem ). ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u = u (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, t)}$${\ displaystyle u}$

applikasjoner

Når det gjelder delvise differensiallikninger, er maksimalprinsippet av særlig interesse med hensyn til Dirichlet-grenseforhold . Spesielt følger det unike og stabiliteten med hensyn til små forstyrrelser i løsningene på dette problemet.

I tillegg gjelder maksimumsprinsippet for:

• Løsninger av parabolske differensiallikninger av 2. orden (f.eks. Varmeledningsligningen ),
• ikke-lineære elliptiske systemer med kvadratisk vekst i gradienten under antagelse om en liten tilstand.

Funksjonsteori

Den matematiske formuleringen av maksimalprinsippet er:

La det være holomorf i området . La det være et poeng slik at det har et lokalt maksimum, dvs. det vil si, det er et nabolag av med . Da er konstant i .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c \ in G}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle U \ delmengde G}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | f (c) | = \ sup _ {z \ in U} | f (z) |}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

Den andre varianten av setningen er:

La det være et begrenset område, og la det være en kontinuerlig og holomorf funksjon. Da antar funksjonen sitt maksimale på kanten av : for alle .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ bar {G}} = G \ kopp \ delvis G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | f |}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup _ {\ zeta \ in \ partial G} | f (\ zeta) |}$${\ displaystyle z \ i {\ bar {G}}}$

Teoremets anvendelse fører direkte til minimumsprinsippet: ${\ displaystyle 1 / f}$

La det være holomorf i . La det være et poeng som i har et lokalt minimum, dvs. det vil si, det er et nabolag av med . Da holder enten eller er konstant i .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c \ in G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle U \ delmengde G}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | f (c) | = \ inf _ {z \ in U} | f (z) |}$${\ displaystyle f (c) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

litteratur

• Lawrence C. Evans : Partielle differensiallikninger. Gjengitt med rettelser. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 ( Høgskolestudier i matematikk 19).
• David Gilbarg , Neil S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. 2. utgave, revidert 3. trykk. Springer, Berlin et al. 1998 ISBN 3-540-13025-X ( Basic Teachings of Mathematical Sciences 224).
• Erhard Heinz , Günter Hellwig: Partielle differensiallikninger. 25.2. til 3/3/1973. Foredrag på Georg-August-Universität Göttingen. Mathematical Research Institute, Oberwolfach 1973 ( Mathematical Research Institute Oberwolfach. Conference Report 1973, 7, ZDB -ID 529790-4 ).
• Murray H. Protter , Hans F. Weinberger: Maksimale prinsipper i differensiallikninger. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1967 ( Prentice-Hall delvise differensialligningsserier ).
• Friedrich Sauvigny : Delvise differensialligninger av geometri og fysikk. 2 bind. Springer, Berlin et al. 2004–2005, ISBN 3-540-20453-9 .
• I Vekua : Generelle analytiske funksjoner. Akademie Verlag, Berlin 1963.
• Reinhold Remmert , Georg Schumacher: Funksjonsteori 1. 5. utgave, Springer Verlag, 2001.