Velordnet forslag

Den godt for teorem , noen ganger også kalt godt for prinsippet , er en uttalelse av mengdelære og sier:

Ethvert beløp kan være godt organisert .

Denne setningen gjør det mulig å bruke transfinitt induksjon på ethvert sett. Teori for velordnet er ekvivalent med det valgte aksiomet .

Georg Cantor , grunnleggeren av mengdeteorien, betraktet velordnet setning som en "grunnleggende tankelov". Mange matematikere syntes imidlertid det var vanskelig å forestille seg at en ordning skulle eksistere på settet med reelle tall . Så i 1904 mente Julius König at han hadde tilbakevist dette; Litt senere fant Felix Hausdorff imidlertid en feil i tilbakevisningsforsøket. Ernst Zermelo introduserte valgaksiomet som et ”harmløst logisk prinsipp” for å bevise det velordnede prinsippet; Imidlertid viste dette seg raskt å være ekvivalent med ordenssatsen. Valgets aksiom og dermed den velordnede teorem er uavhengig av mengdeteorien Zermelo-Fraenkel , dvs. H. Både proposisjonen og dens motsatte kan antas uten motsigelse hvis man forutsetter konsistensen av alle andre aksiomer. Faktisk kan det vises at i det minste aksiomene i Zermelo-Fraenkel mengde teori alene (inkludert aksiomet du velger) ikke tillater eksplisitt konstruksjon av en slik ordning.

Eiendom av naturlige tall

Noen ganger beskriver velordningsteorem eller velordningsprinsippet egenskapen til settet med naturlige tall som skal ordnes :

Hvert ikke-tomme sett med naturlige tall inneholder et minste tall.

Dette utnyttes i tilfelle bevis ved uendelig nedstigning eller metoden til den minste kriminelle: for å vise at et sett inneholder alle naturlige tall, kan man først anta at det ikke inneholder hvert tall. På grunn av velferdsprinsippet er det et minste naturlige tall som ikke er inkludert (et minste moteksempel ). Hvis du da viser at det er et enda mindre moteksempel, får du en motsetning til antatt antagelse. Alternativt kan man også vise at man for hvert moteksempel kan finne en mindre, og dermed kan gå ned uendelig ofte, noe som ikke er mulig i naturlige tall. ${\ displaystyle S}$

Dette beviset er en reversering av full induksjon (som det er logisk ekvivalent med ), men er basert på den samme velordnede egenskapen til naturlige tall. ${\ displaystyle \ neg B \ Rightarrow \ neg A}$ ${\ displaystyle A \ Rightarrow B}$

Søknadseksempel

Et eksempel på denne bevisingsmetoden er følgende utsagn:

De undergrupper av tilsetnings gruppe av heltall er nøyaktig de undergrupper med . ${\ displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$ ${\ displaystyle m \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle m \ geq 0}$

Bevis:

Det er enkelt å verifisere at disse delmengdene er undergrupper. Nå være en hvilken som helst undergruppe av . Inneholder ikke et positivt heltall, så er det . Ellers, la det minste positive heltallet være i . La ethvert element være av , vi må vise at det er for et heltall . For dette formålet deler vi med resten av , så , med heltall og . Fordi i løgner, ville det være en motsetning i å velge det minste positive elementet av , så er og . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U = \ left \ {0 \ right \} = 0 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x = mq}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle x = mq + r}$ ${\ displaystyle q, r}$ ${\ displaystyle 0 \ leq r <m}$ ${\ displaystyle r = x-mq}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle 0 <r <m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle x = mq}$