Tegnfunksjon

Den tegn funksjon eller signum funksjon (fra latin signum 'tegn' ) er en funksjon i matematikk som tildeler dens tegn til et reelt eller komplekst tall .

Tegnfunksjon på de reelle tallene

definisjon

Sign funksjon graf

Den virkelige tegnfunksjonen kartlegger settet med reelle tall i settet og defineres vanligvis som følger: ${\ displaystyle \ {- 1,0,1 \}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x): = {\ begin {cases} +1 & \; {\ text {falls}} \ quad x> 0 \\\; \; \, 0 & \; {\ tekst {if}} \ quad x = 0 \\ - 1 & \; {\ text {falls}} \ quad x <0 \\\ end {cases}}}$

Så den tilordner verdien +1 til de positive tallene, verdien −1 til de negative tallene og verdien 0 til 0.

Avhengig av applikasjonen, for eksempel i databehandling, brukes en alternativ definisjon for 0, dette er da det positive (sgn (0) = 1), negativt (sgn (0) = - 1), begge tallområdene enten valgfritt (sgn (+0) = + 1, sgn (-0) = - 1), eller samtidig (sgn (0) = ± 1) antall områder, eller udefinert (sgn (0) = undef) tildelt. Siden null er et null som er satt under Lebesgue-tiltaket , har dette ofte ingen betydning for praktiske anvendelser. Uavhengig av definisjonen av tegnsfunksjonen (som varierer), tilordnes vanligvis litt til tegnet i flytende punktrepresentasjon .

I tilfelle den er satt, er det følgende forhold til Heaviside-funksjonen : ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (0) = 1}$ ${\ displaystyle \ Theta (x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = 2 \ Theta (x) -1}$

Beregningsregler

Det er lett å bevise ved å skille saker:

• For de med beløpet gjelder .${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle x = | x | \ cdot \ operatorname {sgn} (x) \; {\ text {and}} \; x \ cdot \ operatorname {sgn} (x) = | x |}$

• Signum-funksjonen er en merkelig funksjon :

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (- x) = - \ operatorname {sgn} (x)}$for alle .${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

• Hvis er en konstant og en merkelig funksjon , da${\ displaystyle k \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (k \ cdot x) \ quad = f (\ operatorname {sgn} (k) \ cdot | k | \ cdot x) \ quad = \ operatorname {sgn} (k) \ cdot f (| k | \ cdot x)}$

• For overgangen til det gjensidige nummeret er kompatibelt med signum-funksjonen og endrer ikke verdien:${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x ^ {- 1}) = (\ operatorname {sgn} (x)) ^ {- 1} = \ operatorname {sgn} (x)}$for alle .${\ displaystyle 0 \ neq x \ in \ mathbb {R}}$

• Signum-funksjonen er kompatibel med multiplikasjon:

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) \ cdot \ operatorname {sgn} (y) = \ operatorname {sgn} (x \ cdot y)}$for alle .${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$

• Signum-funksjonen er idempotent :

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ operatorname {sgn} (x)) = \ operatorname {sgn} (x)}$for alle .${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

Fra de to siste beregningsreglene følger det for eksempel at signumfunksjonen i et argument sammensatt av et hvilket som helst antall faktorer kan erstattes av en faktor uten å endre funksjonsverdien: ${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x_ {j})}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} {\ bigg (} x_ {j} \ cdot \ prod _ {i} x_ {i} {\ bigg)} = \ operatorname {sgn} {\ bigg (} \ operatorname {sgn} (x_ {j}) \ cdot \ prod _ {i} x_ {i} {\ bigg)}}$for noen .${\ displaystyle x_ {i}, x_ {j} \ in \ mathbb {R}}$

Derivat og integrert

Skiltfunksjonen er ikke kontinuerlig i 0-posisjonen.

Tegnfunksjonen er ikke kontinuerlig på dette tidspunktet og kan derfor ikke klassifiseres der. For alle andre steder kan skiltfunksjonen differensieres med . Tegnfunksjonen har heller ikke noe svakt derivat . Det er imidlertid differentiable i betydningen fordelinger , og dens avledning er , hvor betegner den delta-fordeling . ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x \ neq 0}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} ^ {\ prime} (x) = 0}$${\ displaystyle 2 \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$

Gjelder videre alle ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle | x | = \ int _ {0} ^ {x} \ operatorname {sgn} (t) \, dt \,.}$

Funksjon Fortegnet er også den svake deriverte av den absoluttverdifunksjonen .

Tegnfunksjon på de komplekse tallene

definisjon

Signum med fire komplekse tall

Sammenlignet med tegnfunksjonen til reelle tall blir følgende utvidelse til komplekse tall sjelden vurdert:

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z): = {\ begin {cases} {\ frac {z} {| z |}} & \; {\ text {if}} \ quad z \ neq 0 \\ 0 & \; {\ text {if}} \ quad z = 0 \\\ end {cases}}}$

Resultatet av denne funksjonen er på enhetssirkelen og har samme argument som utgangsverdien, spesielt gjelder ${\ displaystyle z \ neq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} \ left (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi} \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ varphi}, \ qquad \ mathrm {if} \ r> 0.}$

Eksempel: (rød på bildet) ${\ displaystyle z_ {1} = 2 + 2 \ mathrm {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z_ {1}) = \ operatorname {sgn} (2 + 2 \ mathrm {i}) = {\ frac {2 + 2 \ mathrm {i}} {\ left | 2+ 2 \ mathrm {i} \ right |}} = {\ frac {2 + 2 \ mathrm {i}} {2 {\ sqrt {2}}}} = {\ frac {1+ \ mathrm {i}} { \ sqrt {2}}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} + {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ mathrm {i}}.}$

Beregningsregler

Følgende beregningsregler gjelder for den komplekse skiltfunksjonen:

For alle komplekse tall og følgende gjelder: ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle w}$

• ${\ displaystyle z = | z | \ cdot \ operatorname {sgn} z}$for alt hvor betegner den mengde av ;${\ displaystyle z,}$${\ displaystyle | z |}$${\ displaystyle z}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} ({\ bar {z}}) = {\ overline {\ operatorname {sgn} (z)}}}$hvor skråstrek betegner den komplekse bøyningen ;
• ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z \ cdot w) = \ operatorname {sgn} z \ cdot \ operatorname {sgn} w}$, spesielt
  • ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ lambda \ cdot z) = \ operatorname {sgn} z}$for positive virkelige ,${\ displaystyle \ lambda}$
  • ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ lambda \ cdot z) = - \ operatorname {sgn} z}$for negative realer ,${\ displaystyle \ lambda}$
  • ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (-z) = - \ operatorname {sgn} (z)}$;
• ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (| z |) = | \ operatorname {sgn} (z) |}$.
• Hvis det er, gjelder det også${\ displaystyle z \ neq 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z ^ {- 1}) = \ operatorname {sgn} (z) ^ {- 1} = {\ overline {\ operatorname {sgn} (z)}}}$.

litteratur

• Königsberger: Analyse 1 . 6. utgave. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-40371-X , pp. 101 . 
• Hildebrandt: Analyse 1 . 2. utgave. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25368-8 , pp. 133 . 

weblenker

• Eric W. Weisstein : Signer . På: MathWorld (engelsk).
• yark, matt, Cam McLeman: Signum-funksjon . I: PlanetMath . (Engelsk)

Individuelle bevis

1. ↑ Reise 200 . I: Wikipedia . 13. juni 2021 ( wikipedia.org [åpnet 8. juli 2021]). 
2. Ene Eugene D. Denman, Alex N. Beavers: Matriseskiltfunksjonen og beregninger i systemer . I: Anvendt matematikk og beregning . teip 2 , nei 1 . Elsevier, januar 1976, ISSN  0096-3003 , pp. 63-94 , doi : 10.1016 / 0096-3003 (76) 90020-5 . 
3. ^ Charles S. Kenney, Alan J. Laub: Matrix sign function . I: IEEE-transaksjoner med automatisk kontroll . teip 40 , nei. 8 . Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), august 1995, s. 1330-1348 , doi : 10.1109 / 9.402226 .