Tautologi (logikk)
En tautologi ( gammelgresk ταυτολογία fra ταὐτό t'autó [fra τὸ αὐτό] "den samme" og logikk ), også kalt verum ( latinsk verum "sann"), er en generelt gyldig uttalelse i logikken , det vil si en uttalelse som består av logiske grunner er alltid sant. Eksempler på tautologier er utsagn som "Hvis det regner, så regner det" eller "Været endrer seg eller det blir som det er."
Noen ganger brukes begrepet tautologi for alle typer generelle utsagn, noen ganger er det begrenset til utsagn som generelt er gyldige i toverdige, klassiske proposisjonslogikk. I sistnevnte, proposisjonell-logiske forstand, er en sammensatt uttalelse en tautologi hvis og bare hvis den er sant, uavhengig av om de delvise utsagnene den består av, i seg selv er sanne eller falske.
Formelt settes uttalelsen om at en uttalelse generelt er gyldig eller en tautologi som.
Forklaring
En proposisjonell tautologi er for eksempel adskillelsen "Enten det regner eller det regner ikke": Uansett om utsagnet "Det regner" er sant eller ikke, er hele utsagnet sant: Er "Det regner" sant , så "Det regner eller det regner ikke" er sant fordi den første paragrafen for disjunksjonen er sant. Men hvis "Det regner" er falskt, så er "Det regner ikke" sant. Men dette er igjen den andre underklausulen til disjunksjonen, slik at hele klausulen også gjelder i dette tilfellet.
Hvis begrepet tautologi brukes i bredere forstand, inkluderer det også utsagn som, selv om de ikke er i proposisjonslogikk, generelt er gyldige i andre logiske systemer som predikatlogikk eller modalogikk . I denne forstand er for eksempel predikatlogikken generelt gyldig utsagn "Alle sauer er sauer" en predikatlogisk tautologi, modalogikken generelt gyldig utsagn "Det er mulig at det regner eller det er mulig at det ikke regner" er en modal logikk tautologi.
I flerverdige logikker , det vil si i ikke-klassisk logikk der det er mer enn to sannhetsverdier, mister begrepet tautologi sin - antatte eller faktiske - dagligdags naturlighet og må omdefineres. En mulighet for å ta i bruk begrepet tautologi i flervurdert logikk er å velge en eller flere av sannhetsverdiene og tildele dem spesiell betydning. Disse blinket ut pseudo-sannhetsverdier kalles utpekt pseudo-sannhetsverdier. Man definerer at alle disse utsagnene er tautologier som gir en angitt sannhetsverdi for hver evaluering av atomene som forekommer i dem. Med denne løsningen forblir selve tautologikonseptet toverdig, det vil si at en uttalelse enten er en tautologi eller at den ikke er en tautologi.
Avgrensninger og sammenhenger
- Tautologi og teorem
- Begrepet tautologi er et semantisk begrep, dvs. definert fra betydningen av en uttalelse. Det må skilles tydelig fra det syntaktiske begrepet teorem: En uttalelse kalles en teorem hvis den kan avledes innenfor en logisk kalkulator ved hjelp av aksiomer og inferensregler i denne kalkylen. Generelt sett prøver man imidlertid å formulere den på en slik måte at setningene som kan utledes av den, er tautologier når man setter opp en kalkulator for logiske formål. I dette tilfellet snakker man om en korrekt kalkyle. Hvis en kalkulator er konstruert på en slik måte at alle tautologier kan hentes fra den, kalles den fullstendig. For klassisk proposisjonslogikk og for førsteordens predikatlogikk er det mulig å gi kalkulasjoner som er både riktige og komplette. For predikatlogikk på andre nivå, sier Trachtenbrot-teoremet at de generelle uttalelsene ikke kan telles opp .
- Tautologi og motsetning
- En motsetning er en påstand som alltid er falsk. I klassisk logikk er således en uttalelse en tautologi hvis og bare hvis dens negasjon er en motsetning, og en uttalelse er en motsetning hvis og bare hvis dens negasjon er en tautologi.
- Tautologi og tilfredshet
- Et utsagn som kan bli sant, dvs. det er ikke en motsetning, kalles tilfredsstillende . En proposisjon er en tautologi hvis og bare hvis negasjonen ikke kan oppfylles.
- Tautologi og analytisk sanne setninger
- I tradisjonell filosofisk terminologi er tautologier i logisk forstand en underklasse av analytisk sanne proposisjoner. De er i kontrast til syntetiske formler.
Eksempler på tautologier i toverdig proposisjonslogikk
- For hver uttalelse A er "Hvis A , så A " en tautologi - i formell notasjon:
- For hver påstand A er "A eller ikke A " en tautologi, siden utsagnet A alltid er sant eller usant - i formell notasjon:
- For alle utsagn A, B, C , “Hvis, gitt at A er tilfelle, er B en tilstrekkelig betingelse for C , så er det faktum at A er en tilstrekkelig betingelse for at B er tilstrekkelig for at A skal være en tilstrekkelig betingelse for C er, og omvendt, "en tautologi - i formell notasjon:
- Følgende feil kan tenkes i programmeringen: IF (varText "Hello") ELLER (varText "Hello") THEN ...; vil levere verdien SANN for alle sannhetens muligheter . En slik uttalelse blir ofte snakket i hverdagsspråk med a eller , men det som menes er det logiske og ( sammenhengen ). På dette punktet vises det til De Morgans lover .
Tautologi test
Av sentral betydning for logikken er metoder for å sjekke om utsagn er betinget (det vil si at sannheten deres avhenger av sannhetene eller forfalskningene i deres grunnleggende byggesteiner) eller tautologiske (sant i alle fall).
Selv om en slik sjekk i prinsippet er mulig ved hjelp av en hvilken som helst metode som sannheten eller falsken i en uttalelse kan bestemmes for i alle mulige tilfeller, er den såkalte tremetoden av spesiell betydning, da ikke hvert enkelt tilfelle må være sjekket her.
I klassisk proposisjonslogikk sammenfaller oppgaven med tautologiprøven med det praktisk betydningsfulle og intenst undersøkte tilfredsstillelsesproblemet med proposisjonslogikk , fordi en uttalelse er en tautologi nettopp når negasjonen er utilfredsstillende: Å sjekke om en uttalelse er en tautologi sammenfaller med den for å sjekke om negasjonen deres kan oppfylles.