Sannhetstreet

I logikk, en sannhet tre eller tre-metoden er en metode for å sjekke uttalelser for å se om de er tautologier .

Hovedartikkel: Tree calculus

Tremetoden er en form for reductio ad absurdum : antagelsen om at en uttalelse er sann i alle tilfeller ( tautologi ) er bevist ved å vise at det motsatte aldri kan forekomme. Et sannhetstre begynner derfor med å tilordne sannhetsverdien 0 ( falsk ) til en påstand . Deretter er utsagnet strukturert på en slik måte at hvert tilfelle mottar sin egen gren for forekomst av sannhetsverdien, og på slutten er det alle delvise forhold med tilsvarende sannhetsverdier. Den samme prosedyren brukes med endene på disse grenene inntil en motsetning kan bestemmes innenfor en gren. Når dette skjer, er det vist at dette tilfellet ikke er mulig, og grenen er lukket (vanligvis med en x på enden av grenen). Hvis ingen filialer forblir konsistente til slutten av sammenbruddet, har det vist seg at den opprinnelige uttalelsen faktisk alltid er feil. Dette beviser at uttalelsen er en tautologi.

To eksempler

En enkel tautologi

Uttalelsen er ment å tjene som et enkelt eksempel på tautologi . Åpenbart blir det alltid sant fordi negasjonen ( ) reverserer sannhetsverdien til A. Hovedoperatøren er eller ( ). Det blir sant hvis minst ett av de to koblede elementene er sanne. ${\ displaystyle A \ lor \ neg A}$${\ displaystyle \ neg}$${\ displaystyle \ lor}$

Så vi antar nå at utsagnet er usant (1 betyr sant, 0 usant).

${\ displaystyle A \ lor \ neg A}$: 0

Nå må uttalelsen brytes ned på en slik måte at hvert tilfelle der hovedoperatøren mottar den angitte sannhetsverdien, inngår i en gren. Dette er mulig i tilfelle eller bare i ett tilfelle: begge deler er feil.

${\ displaystyle A \ lor \ neg A}$: 0

| : 0 : 0 X
${\ displaystyle A}$
${\ displaystyle \ neg A}$

Det var en direkte motsetning: Hvis A er falsk, må A ikke nødvendigvis være sant og omvendt. Dette lukker den eneste grenen og viser at det motsatte av antagelsen om at utsagnet er sant, aldri kan være sant.

Betinget sannhet

Tremetoden kan ikke også brukes til å sjekke om en påstand er en tautologi eller inkonsekvent (blir aldri sant). Strengt tatt betyr dette at kontingensen til en uttalelse ikke kan kontrolleres i en enkelt prosedyre. I prinsippet er det imidlertid mulig å starte sannhetstreet med sannhetsverdien 1 og dermed utføre en inkonsistensprøve.

Imidlertid er en sak for en tautologiprøve med et negativt resultat vist nedenfor. Uttalelsen er tilsynelatende ikke en tautologi. Uttalelsen er bare sant hvis A og B har samme sannhetsverdi. ${\ displaystyle (A \ lor B) \ rightarrow (A \ land B)}$

Implikasjonen (høyre pil) er hovedoperatøren. Det blir bare falsk hvis forgjengeren (første del) er sann og den påfølgende (andre delen) er falsk.

${\ displaystyle (A \ lor B) \ rightarrow (A \ land B)}$ : 0

| :1
${\ displaystyle (A \ lor B)}$

${\ displaystyle (A \ land B)}$ : 0

Det er to muligheter for denne saken: Enten A er sant og B er usant eller A er usant og B er sant (fordi: A eller B er sant, men A og B er usann).

${\ displaystyle (A \ lor B) \ rightarrow (A \ land B)}$ : 0

| : 1 : 0 / \ | | A : 1       A : 0 B : 0       B : 1
${\ displaystyle (A \ lor B)}$
${\ displaystyle (A \ land B)}$

Ingen av de to resulterende grenene inneholder en motsetning. Så det er to tilfeller der utsagnet blir falskt.