Spinor

I matematikk , og det særlig i differensialgeometri , en Spinor er en vektor i en minste representasjon av en spinn gruppe . Spinngruppen er isomorf til en delmengde av en Clifford-algebra . Hver Clifford-algebra er isomorf til en delvis algebra av en ekte, kompleks eller kvaternionisk matrisealgebra. Dette har en kanonisk representasjon ved hjelp av kolonnevektorer, spinorene. ${\ displaystyle (\ rho, V)}$

I fysikk , en er Spinor vanligvis en vektor av en to-dimensjonal kompleks representasjon av spinn-gruppen , som hører til gruppen av Lorentz-transformasjoner av de Minkowski plass . Snuoppførselen er spesielt viktig her. ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (1,3)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (1,3)}$

Historien om spinorer

I 1913 klassifiserte Élie Cartan de irredusible komplekse representasjonene av enkle Lie-grupper . I tillegg til de kjente tensorrepresentasjonene, fant han også en ny toverdifull representasjon i form av spinorer (og sa på forhånd at disse kunne bygge opp de andre representasjonene), spesielt for lineære representasjoner av de roterende gruppene. Senere dukket læreboka hans om spinorer opp. Betydningen deres spesielt i fysikk, men var først etter oppdagelsen av Dirac-ligningen av Paul Dirac (anerkjent i 1928, la dem i stand til å ligne første orden, Dirac-ligningen, som linearisering av en ligning 2. orden, Klein-Gordon-ligningen for å vinne ). Paul Ehrenfest lurte på hvorfor representasjonen i Dirac (med den relativistiske kovarianten Dirac-ligningen) var firedimensjonal, i motsetning til Pauli-ligningen av Wolfgang Pauli , der han også introduserte sine Pauli-matriser , som tidligere ble etablert for spinn innenfor rammen av ikke-relativistisk kvantemekanikk todimensjonal. Ehrenfest laget navnet Spinor for de nye typene i 1928 og ga Bartel Leendert van der Waerden i oppdrag å undersøke dem matematisk, en studie som van der Waerden publiserte i 1929.

Dirac jobbet stort sett uavhengig da han introduserte spinorene, og med sine egne ord også uavhengig av Pauli i bruken av Pauli-matriser. I 1927 mottok Pauli selv betydelig støtte i den matematiske tolkningen av ligningen fra Pascual Jordan (som påpekte sammenhengen med kvartærene).

Diracs arbeid var en del av Lorentz-gruppen, forbindelsen med spinorer i det euklidiske rommet ble etablert av Cartan i sin bok i 1938 og Richard Brauer og Hermann Weyl i et essay i 1935 (ved bruk av Clifford algebras). Claude Chevalley fortsatte den algebraiske teorien om spinorer i sammenheng med Clifford algebras i sin lærebok 1954.

De ble spesielt viktige i differensialgeometri gjennom Atiyah-Singer-indekssetningen på begynnelsen av 1960-tallet.

Spinorer av kvantefysikk

Struktur av spinngruppen (1,3)

Spinngruppen er en delmengde av den jevne delen av Clifford-algebra . Hele algebra - som et vektorrom har 16 dimensjoner - er av de fire kanoniske basisvektorene , , , av 4-dimensjonale Minkowski plass av en firkantet form (i dette koordinatsystem basis) generert. Følgelig er produktene fra forskjellige basisvektorer motpendlende; gjelder deres torg , det vil si , . ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (1,3)}$${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$ ${\ displaystyle C \ ell (1,3)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {M} ^ {4}}$${\ displaystyle Q (x) = (x ^ {0}) ^ {2} - (x ^ {1}) ^ {2} - (x ^ {2}) ^ {2} - (x ^ {3} ) ^ {2}}$${\ displaystyle v ^ {2} = - Q (v)}$${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {0}) ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}) ^ {2} = (\ mathbf {e} _ {2}) ^ {2} = (\ mathbf {e} _ {3}) ^ {2} = 1}$

(A vektorrom 8-dimensjonal) sub-algebra av de rette elementer som er generert av to-ganger-produkter som inneholder: , , . Disse motarbeider også; kvadratene deres har verdien 1 . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {1}: = \ mathbf {e} _ {0} \ mathbf {e} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {2}: = \ mathbf {e} _ {0} \ mathbf {e} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {3}: = \ mathbf {e} _ {0} \ mathbf {e} _ {3}}$

For eksempel består en base av det ene elementet, de fire elementene beskrevet nedenfor og : ${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {k}}$${\ displaystyle \ omega}$

De manglende toproduktene (dvs. de som ikke inneholder) danner en "dobbelt jevn" subalgebra som genereres av jevne produkter av : ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1}: = - \ mathbf {f} _ {2} \ mathbf {f} _ {3} = - \ mathbf {e} _ {2} \ mathbf {e} _ {3}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {2}: = - \ mathbf {f} _ {3} \ mathbf {f} _ {1} = - \ mathbf {e} _ {3} \ mathbf {e} _ {1}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {3}: = - \ mathbf {f} _ {1} \ mathbf {f} _ {2} = - \ mathbf {e} _ {1} \ mathbf {e} _ {2}}$

Kvadratene av har verdien -1 , og hver av de er (muligens opp til tegnet) produktet av de to andre, så osv. Subalgebraen som genereres av er isomorf til algebraen til kvaternionene . Med hensyn til Pauli matriser vi identifiserer , , , Flere detaljer nedenfor. ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1} \ mathbf {g} _ {2} = \ mathbf {g} _ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1} = \ mathrm {j}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {2} = \ mathrm {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {3} = \ mathrm {i}}$

Volumelementet mangler fortsatt blant basisvektorene til jevn subalgebra

${\ displaystyle \ omega = \ mathbf {e} _ {0} \ mathbf {e} _ {1} \ mathbf {e} _ {2} \ mathbf {e} _ {3} = - \ mathbf {f} _ {1} \ mathbf {g} _ {1} = - \ mathbf {f} _ {2} \ mathbf {g} _ {2} = - \ mathbf {f} _ {3} \ mathbf {g} _ { 3}.}$

Dette pendler med hele til og med subalgebra, det er sant . ${\ displaystyle \ omega ^ {2} = - 1}$

Isomorf matrisealgebra

Det er lett å se at den jevne subalgebraen genererer, og at den rare delen av algebraen er som å oppnå. Alt i alt: ${\ displaystyle (\ omega, \ mathbf {g} _ {1}, \ mathbf {g} _ {2})}$${\ displaystyle C \ ell ^ {1} (1,3) = \ mathbf {e} _ {0} C \ ell ^ {0} (1,3)}$

• ${\ displaystyle (\ omega, \ mathbf {e} _ {0})}$og generere subalgebras isomorfe til quaternions,${\ displaystyle (\ mathbf {g} _ {1}, \ mathbf {g} _ {2})}$
• disse underalgebraene pendler med hverandre og
• sammen spenner over hele algebraen.

Dette gir isomorfismen ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle C \ ell (1,3) \ simeq \ mathbb {H} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H}}$,

som begrenset en isomorfisme

${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3) \ simeq \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H}}$

resultater.

I det følgende er det alltid , hvor er en tenkt enhet av kvartærene. Da kan isomorfismen defineres som følger: ${\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [i]}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ varphi (\ omega): = \ mathrm {i} \ otimes 1, \ varphi (\ mathbf {e} _ {0}): = \ mathrm {k} \ otimes 1,}$

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {g} _ {1}): = 1 \ otimes \ mathrm {j}, \ varphi (\ mathbf {g} _ {2}): = 1 \ otimes \ mathrm {k} , \ varphi (\ mathbf {g} _ {3}): = 1 \ otimes \ mathrm {i}.}$

Som et resultat, med og${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k} = \ omega \ mathbf {g} _ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} = - \ mathbf {e} _ {0} \ mathbf {f} _ {k}}$

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {f} _ {1}): = \ mathrm {i} \ otimes \ mathrm {j}, \ varphi (\ mathbf {f} _ {2}): = \ mathrm {i } \ otimes \ mathrm {k}, \ varphi (\ mathbf {f} _ {3}): = \ mathrm {i} \ otimes \ mathrm {i},}$

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {e} _ {1}): = - \ mathrm {j} \ otimes \ mathrm {j}, \ varphi (\ mathbf {e} _ {2}): = - \ mathrm {j} \ otimes \ mathrm {k}, \ varphi (\ mathbf {e} _ {3}): = - \ mathrm {j} \ otimes \ mathrm {i}.}$

Egne spinorer

I kvantemekanikk, iboende spinors representerer de basisvektorene som beskriver spinntilstand av en partikkel. For en enkelt spinn 1/2 partikkel kan de sees på som egenvektorene til Pauli-matriser . De danner et komplett ortonormalt system.

Representasjon i kvartærene, Majorana spinors

Det er en isomorfisme som tilordner kartleggingen til et tensorprodukt . Dette er en kvaternionisk endimensjonal eller en reell firedimensjonal representasjon av hele Clifford-algebraen. Sistnevnte heter Majorana spinor-representasjon , etter Ettore Majorana . ${\ displaystyle \ rho \ colon \ mathbb {H} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H} \ to {\ mbox {Hom}} _ {\ mathbb {R}} (\ mathbb {H} , \ mathbb {H})}$${\ displaystyle a \ otimes b}$${\ displaystyle x \ mapsto \ rho (a \ otimes b) (x): = bx {\ bar {a}}}$${\ displaystyle \ rho _ {M}: = \ rho \ circ \ varphi}$

Representasjon i komplekse tall, Weyl spinors

Vi definerer et bijektivt kart som . Denne kartleggingen er ekte lineær og kompleks høyre antilinear, dvs. H. . Vær koordinatkartet. Slik definerer vi ${\ displaystyle S \ colon \ mathbb {C} ^ {2} \ to \ mathbb {H}}$${\ displaystyle S (z ^ {1}, z ^ {2}): = \ mathrm {k} \, {\ bar {z}} ^ {1} + {\ bar {z}} ^ {2}}$${\ displaystyle S (wz ^ {1}, wz ^ {2}): = S (z ^ {1}, z ^ {2}) {\ bar {w}}}$${\ displaystyle \ theta: = S ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ rho _ {W} \ kolon C \ ell ^ {0} (1,3) \ til M_ {2} (\ mathbb {C})}$, gjennom ,${\ displaystyle \ rho _ {W} (c) (z ^ {1}, z ^ {2}): = (\ theta \ circ \ rho _ {M} (x) \ circ S) (z ^ {1 }, z ^ {2})}$

d. H. ett element fra blir figuren som gjennom ${\ displaystyle \ varphi (c) = w \ otimes q}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ rho (w \ otimes q) (S (z ^ {1}, z ^ {2})) = qS (z ^ {1}, z ^ {2}) {\ bar {w}} = qS (z ^ {1} w, z ^ {2} w)}$

er gitt, tildelt. Det er z. B.

${\ displaystyle \ rho _ {W} (\ mathbf {f} _ {1}) (z ^ {1}, z ^ {2}) = \ theta (\ rho (- \ mathrm {i} \ otimes \ mathrm {j}) (S (z ^ {1}, z ^ {2})) = \ theta (\ mathrm {jk} {\ bar {z}} ^ {1} \ mathrm {i} + \ mathrm {j } {\ bar {z}} ^ {2} \ mathrm {i}) = (- z ^ {2}, - z ^ {1})}$.

Matrisen i denne figuren er den første Pauli-matrisen , og gjelder analogt og . ${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {2} \ mapsto \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {3} \ mapsto \ sigma _ {3}}$

Dette er en kompleks todimensjonal representasjon av jevn subalgebra og dermed også av gruppen. Denne representasjonen av kalles Weyl-Spinor-representasjon , oppkalt etter Hermann Weyl (se også: Pauli-matriser ). ${\ displaystyle \ rho _ {W}}$${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (1,3)}$${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$

Det er en konjugert representasjon for dette , hvor${\ displaystyle {\ bar {\ rho}} _ {W} (c) (z): = ({\ bar {\ theta}} \ circ \ rho _ {M} (x) \ circ {\ bar {S }}) (x)}$${\ displaystyle {\ bar {S}} (z_ {1}, z_ {2}) = \ mathrm {j} S (z_ {1}, z_ {2}) = {\ bar {z}} ^ {1 } \ mathrm {j} - {\ bar {z}} ^ {2}}$

Weyl, Dirac og Majorana spinorer

En ekte representasjon er en forankring av algebraen i en matrisegruppe, eller generelt i endomorfismen i et vektorrom. Elementer i spinngruppen skal kartlegges på ortogonale eller enhetlige matriser.

Følgende lemma : Hvis , er selvtilstøtende enhetlige kartlegginger med og , deretter brytes ned i isomorfe, gjensidig ortogonale underområder og . Trippelen kan kartlegges isomorf ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle A ^ {2} = B ^ {2} = I}$${\ displaystyle AB = -BA}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V _ {+}: = \ operatorname {ker} (IA)}$${\ displaystyle V _ {-}: = \ operatorname {ker} (I + A) = BV _ {+}}$${\ displaystyle (V, A, B)}$

${\ displaystyle V = \ mathbb {K} ^ {2} \ otimes V _ {+}, A = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ otimes I _ { +}, B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {+}.}$

${\ displaystyle I _ {+}}$er identiteten på . Det forekommende tensorproduktet kan også her forstås som Kronecker-produktet av matriser . ${\ displaystyle V _ {+}}$

Weyl spinors

En Weyl spinor-representasjon , oppkalt etter Hermann Weyl , er en minste kompleks representasjon av . Dette er også den minste komplekse representasjonen av jevn subalgebra . ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (1,3)}$${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$

Anta at vi hadde en kompleks representasjon av i et hermitisk vektorrom . Bildene er (for korthetens skyld vil vi utelate dette i det følgende ) enhetlige, selvtilstøtende bilder av seg selv. ${\ displaystyle (\ rho, V)}$${\ displaystyle C \ ell ^ {0} (1,3)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {f} _ {k})}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle A: = \ mathbf {f} _ {3}}$og oppfyller kravene i lemmaet, slik at vi kan bruke en isomorf representasjon ${\ displaystyle B: = \ mathbf {f} _ {1}}$

${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes V _ {+}}$med og${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {+}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {+}}$

passere over.

For å begrense formen på vurderer vi produktet og finner det på grunn av reglene for utskiftbarhet ${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {1} \ mathbf {f} _ {2}}$

${\ displaystyle (f_ {1} f_ {2}) f_ {3} = f_ {3} (f_ {1} f_ {2})}$ og ${\ displaystyle (f_ {1} f_ {2}) f_ {1} = - f_ {1} (f_ {1} f_ {2})}$

følgende skjema resulterer nødvendigvis

${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {1} \ mathbf {f} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ otimes \ mathbf {g} _ {12}}$ Med ${\ displaystyle (\ mathbf {g} _ {12}) ^ {2} = - 1.}$

Siden vektorrom er kompleks, kan vi dele det inn i innbyrdes ortogonale underrom og på hvilke hvordan eller handlinger. Begge underområdene resulterer i separate representasjoner, de minimale er komplekse konjugerte til hverandre, matrisene er de allerede nevnte Pauli-matrisene , for i så fall er ${\ displaystyle V _ {+}}$${\ displaystyle V _ {++}}$${\ displaystyle V _ {+ -}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {12}}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {-i}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {12} = \ mathrm {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ mathrm {i} \\\ mathrm {i} & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {+}. }$

I det minste tilfelle er det det , eller omvendt. Så det er to konjugerte Weyl spinor-representasjoner . ${\ displaystyle V _ {++} = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle V _ {+ -} = \ {0 \}}$

Søknad: se Weyl-ligning

Dirac spinorer

I kvanteelektrodynamikken eller Atiyah-Singer indeksteorien er Dirac operator definert. "Hvordan" er ikke viktig, bare at det er behov for en representasjon av hele Clifford-algebraen. Den Dirac-Spinor representasjon , i henhold til Paul Dirac , er den minste kompleks representasjon av når de brukes i 3 + 1 space-time dimensjoner . Imidlertid blir også høyere dimensjonale Dirac-spinnere vurdert, for eksempel i strengteori . ${\ displaystyle C \ ell (1,3)}$

Gitt en så kompleks representasjon, kan vi analysere representasjonen av jevn subalgebra som ovenfor. For å også bestemme den odde delen, la oss vurdere bildet av . Det pendler med og antikommuterer med . Som ovenfor bemerker vi det ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {1}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ otimes \ mathbf {g} _ {1}}$ Med ${\ displaystyle (\ mathbf {g} _ {1}) ^ {2} = 1.}$

Du overbeviser deg selv om at delområdene og byttes, slik at vi kan erstatte representasjonen med en enda ytterligere faktorisert: ${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1}}$${\ displaystyle V _ {++}}$${\ displaystyle V _ {+ -}}$

${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes V _ {++}}$ med bildene av generatorene

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & - \ mathrm {i} \ \\ mathrm {i} og 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}}$

Den minimale Dirac-Spinor-representasjonen er igjen den med (og hver er isomorf for den). ${\ displaystyle V _ {++} = \ mathbb {C}}$

Dirac-spinorer i 3 + 1 dimensjoner brukes innenfor rammen av kvanteelektrodynamikk for den matematiske beskrivelsen av fermioner med spin 1/2. I den Standardmodellen for partikkelfysikk, disse Dirac fermioner inkluderer alle grunnleggende fermioner.

Majorana spinorer

Den Majorana Spinor representasjon , i henhold til Ettore Majorana , både av spinn-gruppen og Clifford algebra er den minste virkelige representasjon av . Vi kan ta over analysen ovenfra og opp til det punktet hvor og er definert. Her er vi nå i stand til å demontere og , reversert både underrom, men så ${\ displaystyle C \ ell (1,3)}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {12}}$${\ displaystyle V _ {+}}$${\ displaystyle V _ {+}}$${\ displaystyle A = \ mathbf {g} _ {1}}$${\ displaystyle V _ {++}: = \ operatorname {ker} (IA)}$${\ displaystyle V _ {+ -}: = \ operatorname {ker} (I + A)}$${\ displaystyle B = \ mathbf {g} _ {12}}$${\ displaystyle B ^ {2} = - I}$

${\ displaystyle V _ {+} = \ mathbb {R} ^ {2} \ otimes V _ {++}}$med og${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}}$${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {12} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ ganger I _ {++}.}$

Etter å ha multiplisert, får vi for ${\ displaystyle V _ {++} = \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle V = \ mathbb {C} ^ {2} \ otimes \ mathbb {C} ^ {2}}$ med bildene av generatorene

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ otimes {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

I elementærpartikkelfysikk brukes de til å beskrive Majorana fermioner , som imidlertid ennå ikke er observert.

Snu atferd

Fra ovennevnte er kanskje den viktigste egenskapen til spinorer for fysikk ikke lett å gjenkjenne eller å utlede:

• For partikler med et helt tallspinn  (målt i enheter av Plancks reduserte virkningskvantum ), såkalte bosoner , multipliseres bølgefunksjonen med faktoren  for full rotasjon  med, dvs. H. den forblir uendret.${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle \ hbar \,}$${\ displaystyle 2 \ pi \! \,}$${\ displaystyle (-1) ^ {2s} = + 1 \! \,}$

• På den annen side resulterer en full rotasjon av  faktoren -1 i bølgefunksjonen for partikler med halvtallssnurr, fermionene . Dvs. Med full rotasjon endrer disse partiklene tegnet på den kvantemekaniske fasen, eller de må utføre to fulle rotasjoner for å komme tilbake til sin opprinnelige tilstand, i likhet med timeklokken.${\ displaystyle 2 \ pi \! \,}$

Hele eller heltallverdier av er de eneste mulighetene for uttrykk for spinnet. ${\ displaystyle s}$

Generalisering i matematikk

I matematikk, spesielt i differensialgeometri, forstås en spinor som en (for det meste glatt) del av spinorpakken . Spinorpakken er en vektorpakke som oppstår som følger: Fra en orientert Riemannian-manifold (M, g) , danner man en pakke P av ON-reperen. Dette består av alle orienterte ortonormale baser punkt for punkt:

${\ displaystyle P_ {x} = \ {(s_ {1}, \ prikker, s_ {n}) {\ text {orientert ortonormalt grunnlag av}} T_ {x} M \}}$

Dette er en hovedfiberbunt med strukturell gruppe . En spinnestruktur er da et par (Q, f) som består av en hovedfiberbunt Q med strukturgruppe spinn _n og et bilde som oppfyller følgende egenskaper: ${\ displaystyle SO_ {n}}$${\ displaystyle f \ colon Q \ rightarrow P}$

1. ${\ displaystyle \ pi _ {P} \ circ f = \ pi _ {Q}}$, hvor og er anslagene for de viktigste fiberbunter og${\ displaystyle \ pi _ {P} \ kolon P \ rightarrow M}$${\ displaystyle \ pi _ {Q}}$
2. ${\ displaystyle f (p \ cdot g) = f (p) \ cdot \ lambda (g)}$, hvor er det todelt overleggsbildet.${\ displaystyle \ lambda \ colon \ operatorname {Spin} _ {n} \ rightarrow SO_ {n}}$

En spinnestruktur eksisterer ikke for hver manifold. Hvis en eksisterer, kalles manifolden spin. Eksistensen av en spinnestruktur tilsvarer forsvinningen av den andre Stiefel-Whitney-klassen .

Gitt en spinnestruktur (Q, f) , er den (komplekse) spinorpakken konstruert som følger: Den irredusible representasjonen av den (komplekse) Clifford-algebraen (som er tydelig når den er begrenset til spinngruppen) brukes (sammenlign her ) og spinor-bunten er dannet som en assosiert vektorbunt ${\ displaystyle \ kappa \ colon Cl_ {n} \ rightarrow \ Delta _ {n} = \ mathbb {C} ^ {[n / 2] ^ {2}}}$

${\ displaystyle S = Q \ times _ {\ kappa} \ Delta _ {n} = (Q \ times \ Delta _ {n}) / \ sim}$,

der ekvivalensforholdet er gitt av . ${\ displaystyle (p, v) = (p \ cdot g, \ kappa (g ^ {- 1}) (v)) \, \ forall g \ in \ operatorname {Spin} _ {n}}$

Analoge konstruksjoner kan også utføres hvis den Riemanniske beregningen erstattes av en pseudoriemann. Rotorene beskrevet ovenfor er spinorer i den forstand som er beskrevet her over manifolden med den pseudo-euklidiske metriske . I dette tilfellet er spinorpakken en triviell vektorpakke. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ langle (v_ {1}, \ dots, v_ {4}), (w_ {1}, \ dots, w_ {4}) \ rangle = -v_ {1} w_ {1} + v_ {2 } w_ {2} + v_ {4} w_ {3} + v_ {4} w_ {4}}$

Se også

• Matematisk struktur av kvantemekanikken

Individuelle bevis

1. ↑ Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math. France, bind 41, 1913, s. 53-96
2. Spin Historien om spinorer presenteres for eksempel i Marcel Berger , A panoramic view of Riemannian Geometry, Springer 2003, s. 695f
3. ↑ Cartan, Theory of spinors, Hermann 1966, Dover 1981, først publisert på fransk i 1938 som Leçons sur la théorie des spineurs av Hermann i to bind
4. ↑ Martina Schneider, Between Two Disciplines. BL van der Waerden og utviklingen av kvantemekanikk, Springer 2011, s. 122
5. ↑ Van der Waerden, Göttinger Nachrichten, Spinoranalyse, Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen, 1929, s. 100. Essayet åpner med spørsmålet fra Ehrenfest.
6. ^ Pauli, Brev til Jordan 12. mars 1927, i Pauli, Briefwechsel, bind 1, Springer 1979, s. 385
7. ↑ Brauer, Weyl, Spinors in n dimensions, American Journal of Mathematics, Volum 37, 1935, s. 425-449
8. ^ Chevalley, den algebraiske teorien om spinorer. New York, Columbia University Press 1954. Gjengitt på nytt i Chevalleys Collected Works, bind 2 (Springer 1996) med et etterord av Jean-Pierre Bourguignon .
9. ↑ Berger, lok. cit. Byggingen av spinorpakker på Riemann-manifoldene var folklore ifølge Berger på 1950-tallet, og året 1963 var enestående i spinors historie, ikke bare på grunn av introduksjonen av Atiyah-Singer-indekssetningen, men også på grunn av formelen for skalar krumning. av André Lichnerowicz