Avkortet pyramide

Skifer avkortet pyramide

Mesh av den avkortede pyramiden til en vanlig firkantet pyramide . Nettverket består av en kvadratisk base og toppflate samt en lateral overflate av fire kongruente isosceles trapeser .

En avkortet pyramide er et geometriuttrykk som beskriver en spesiell type polyhedron ( polyhedron ). En avkortet pyramide opprettes ved å kutte en mindre, lignende pyramide (tilleggspyramide) fra en pyramide ( startpyramide ) parallelt med basisområdet på sideflatene .

De to parallelle ansiktene til en avkortet pyramide ligner på hverandre. Jo større av disse to områdene kalles basisareal , jo mindre toppareal . Den avstand mellom bunnen og toppoverflaten kalles høyden av den avkortede pyramide.

Den volumet av en avkortet pyramide, kan beregnes ved hjelp av følgende formel:

${\ displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ cdot \ left (A _ {\ text {1}} + {\ sqrt {A _ {\ text {1}} \ cdot A _ {\ text {2}}}} + A _ {\ text {2}} \ høyre)}$

Her står for området på basen , for arealet av overflaten og for høyden av den avkortede pyramiden. ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle h}$

For fra trapeser sammensatte mantelflate er det ingen enkel formel. Jo mer skrått - med samme høyde - pyramiden eller den avkortede pyramiden er, desto større er den respektive ytre overflaten.

bevis

volum

For beregning av volumet av den avkortede pyramiden er høyden på startpyramiden og høyden på den supplerende pyramiden definert slik at følgende gjelder. Fra den sentriske utvidelsen følger det ${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h_ {2}}$${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} = h}$

${\ displaystyle {\ frac {h_ {1}} {h_ {2}}} = k}$og derfor også .${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = k ^ {2}}$

Her er avkastningsfaktoren til den sentrale utvidelsen. ${\ displaystyle k}$

Volumet av den avkortede pyramiden skyldes forskjellen mellom volumet av den innledende pyramiden og volumet av den supplerende pyramiden:

${\ displaystyle V = V_ {1} -V_ {2} = {\ frac {A_ {1} \ cdot h_ {1}} {3}} - {\ frac {A_ {2} \ cdot h_ {2}} {3}}}$.

Ut og følger . ${\ displaystyle {\ frac {h_ {1}} {h_ {2}}} = k}$${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = k ^ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {h_ {1}} {h_ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {A_ {1}}} {\ sqrt {A_ {2}}}}}$

Bytte gir og . ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h_ {1}} {\ sqrt {A_ {1}}}}}$${\ displaystyle h_ {1} = \ lambda \ cdot {\ sqrt {A_ {1}}}}$${\ displaystyle h_ {2} = \ lambda \ cdot {\ sqrt {A_ {2}}}}$

Dette kan brukes til å omskrive volumet:

${\ displaystyle V = {\ frac {A_ {1} \ cdot \ lambda \ cdot {\ sqrt {A_ {1}}}} {3}} - {\ frac {A_ {2} \ cdot \ lambda \ cdot { \ sqrt {A_ {2}}}} {3}} = {\ frac {\ lambda \ cdot ({A_ {1}} ^ {\ frac {3} {2}} - {A_ {2}} ^ { \ frac {3} {2}})} {3}}}$.

Ved å bruke formelen som brukes på og er volumet ${\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) \ cdot (a ^ {2} + a \ cdot b + b ^ {2})}$${\ displaystyle a = {\ sqrt {A_ {1}}}}$${\ displaystyle b = {\ sqrt {A_ {2}}}}$

${\ displaystyle V = {\ frac {\ lambda} {3}} \ cdot \ left ({\ sqrt {A_ {1}}} - {\ sqrt {A_ {2}}} \ right) \ cdot \ left ( {\ sqrt {A_ {1}}} ^ {2} + {\ sqrt {A_ {1}}} \ cdot {\ sqrt {A_ {2}}} + {\ sqrt {A_ {2}}} ^ { 2} \ høyre)}$

eller lettere

${\ displaystyle V = {\ frac {\ lambda} {3}} \ cdot \ left ({\ sqrt {A_ {1}}} - {\ sqrt {A_ {2}}} \ right) \ cdot \ left ( A_ {1} + {\ sqrt {A_ {1}}} \ cdot {\ sqrt {A_ {2}}} + A_ {2} \ høyre)}$.

Faktoren er høyden : ${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ left ({\ sqrt {A_ {1}}} - {\ sqrt {A_ {2}}} \ right)}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ lambda \ cdot \ left ({\ sqrt {A_ {1}}} - {\ sqrt {A_ {2}}} \ right) = \ lambda \ cdot {\ sqrt {A_ {1}}} - \ lambda \ cdot {\ sqrt {A_ {2}}} = h_ {1} -h_ {2} = h}$.

Dette resulterer i

${\ displaystyle V = {\ frac {h} {3}} \ cdot \ left (A _ {\ text {1}} + {\ sqrt {A _ {\ text {1}} \ cdot A _ {\ text {2}}}} + A _ {\ text {2}} \ høyre)}$.

Grensesaker

Hvis basen og toppflaten nærmer seg en sirkel , oppnås en avkortet kjegle som den samme volumformelen gjelder for. Hvis høyden på startpyramiden nærmer seg uendelig , nærmer området seg området og du får et prisme hvis volumformel er forenklet på grunn av det . Hvis A ₂ nærmer seg 0, får du en pyramide . ${\ displaystyle A_ {2}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1} = A_ {2}}$

Vanlig avkortet pyramide

En vanlig avkortet pyramide har hver en vanlig polygon som base og toppoverflate. Den ytre overflaten består av kongruente likebenede trapeser . Den midten av toppoverflaten er vinkelrett på midten av bunnen.

Formler

Firkantede avkortede pyramidestørrelser
uten solide vinkler i hjørnene${\ displaystyle \ Omega}$

Størrelser på en vanlig avkortet pyramide (vanlig n hjørne med sidelengde a 1 som basisareal, vanlig n hjørne med sidelengde a 2 som toppareal og høyde h )
	Generell sak	Firkantet avkortet pyramide
volum	${\ displaystyle V = {\ frac {n \ cdot (a_ {1} ^ {3} -a_ {2} ^ {3}) \ cdot h} {12 \ cdot (a_ {1} -a_ {2}) }} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) = {\ frac {n \ cdot (a_ {1} ^ {2} + a_ {1} \ cdot a_ {2 } + a_ {2} ^ {2}) \ cdot h} {12}} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$	${\ displaystyle V = {\ frac {(a_ {1} ^ {3} -a_ {2} ^ {3}) \ cdot h} {3 \ cdot (a_ {1} -a_ {2})}} = {\ frac {(a_ {1} ^ {2} + a_ {1} \ cdot a_ {2} + a_ {2} ^ {2}) \ cdot h} {3}}}$
Flateareal	${\ displaystyle O = {\ frac {n} {4}} \ cdot \ left ((a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2}) \ cdot \ cot \ left ({\ frac { \ pi} {n}} \ right) + (a_ {1} + a_ {2}) \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + (a_ {1} -a_ {2}) ^ { 2} \ cdot \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} \ right)}$	${\ displaystyle O = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + (a_ {1} + a_ {2}) \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + ( a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}}}}$
Areal av basisområdet	${\ displaystyle A_ {1} = {\ frac {n \ cdot a_ {1} ^ {2}} {4}} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$	${\ displaystyle A_ {1} = a_ {1} ^ {2}}$
Areal på toppflaten	${\ displaystyle A_ {2} = {\ frac {n \ cdot a_ {2} ^ {2}} {4}} \ cdot \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}$	${\ displaystyle A_ {2} = a_ {2} ^ {2}}$
Areal av sideoverflaten	${\ displaystyle M = {\ frac {n \ cdot (a_ {1} + a_ {2})} {4}} \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2} \ cdot \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}}$	${\ displaystyle M = (a_ {1} + a_ {2}) \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}}}}$
Bratt kantlengde	${\ displaystyle l = \ left (h ^ {2} + {\ frac {(a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}} {4 \ cdot \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$	${\ displaystyle l = {\ sqrt {h ^ {2} + {\ frac {(a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}} {2}}}}}$
Innvendig vinkel på den vanlige basen	${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {n-2} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$
Basevinkelen til de likebenede trapesene	${\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {a_ {1} -a_ {2}}} \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2} \ cdot \ cot ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} \ right) }$	${\ displaystyle \ alpha _ {1} = \ alpha _ {2} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {a_ {1} -a_ {2}}} \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} + (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}}} \ høyre)}$
Vinkel mellom basen og likebenede trapeser	${\ displaystyle \ beta _ {1} = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot h \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)} {a_ {1} -a_ {2}}} \ høyre)}$	${\ displaystyle \ beta _ {1} = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot h} {a_ {1} -a_ {2}}} \ right)}$
Dihedral vinkel mellom likebenede trapeser	${\ displaystyle \ beta _ {2} = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {1} {2 \ cdot h}} \ cdot \ left ({\ frac {4 \ cdot h ^ {2} \ cdot \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) + (a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}} {\ tan ^ {2} \ left ( {\ frac {\ pi} {n}} \ høyre) - \ sin ^ {2} \ venstre ({\ frac {\ pi} {n}} \ høyre)}} \ høyre) ^ {\ frac {1} {2}} \ høyre)}$	${\ displaystyle \ beta _ {2} = 2 \ cdot \ arctan \ left ({\ frac {1} {2 \ cdot h}} \ cdot {\ sqrt {4 \ cdot h ^ {2} +2 \ cdot ( a_ {1} -a_ {2}) ^ {2}}} \ høyre)}$
Vinkel mellom kant og sokkel	${\ displaystyle \ gamma = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot h \ cdot \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)} {{\ sqrt {2}} \ cdot \ left (a_ {1} -a_ {2} \ right)}} \ right)}$	${\ displaystyle \ gamma = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ cdot h} {{\ sqrt {2}} \ cdot \ left (a_ {1} -a_ {2} \ right)}} \ right) }$
Solid vinkel på basen	${\ displaystyle \ Omega _ {1} = 4 \ cdot \ arctan \ left ({\ sqrt {\ tan \ left ({\ frac {2 \ cdot \ beta _ {1} + \ beta _ {2}} {4 }} \ høyre) \ cdot \ tan \ venstre ({\ frac {2 \ cdot \ beta _ {1} - \ beta _ {2}} {4}} \ høyre) \ cdot \ tan ^ {2} \ venstre ({\ frac {\ beta _ {2}} {4}} \ right)}} \ right)}$

Se også

• Avkortet kjegle
• Dobbel pyramide

litteratur

• Rolf Baumann: Geometri for 9./10. Klasse . Sentrisk strekking, Pythagoras teorem, sirkel og kroppsberegninger. 4. utgave. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9 , pp. 95 ff . 

weblenker

Wiktionary: avkortet pyramide  - forklaringer på betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser

• Eric W. Weisstein : Pyramidal Frustum . På: MathWorld (engelsk).
• Avkortet pyramidekalkulator (webapplikasjon for beregning)
• Avkortet pyramide (prøveoppgaver)