Presentasjon for en gruppe

I matematikk er presentasjonen (eller presentasjonen ) av en gruppe gitt av et sett med elementer som skaper gruppen og et sett med forhold som eksisterer mellom disse produsentene . For eksempel er den sykliske gruppen av ordren opprettet av et element med forholdet . En slik presentasjon kalles derfor også representasjon av produsenter og relasjoner. Mer detaljert betyr dette følgende: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g ^ {n} = 1}$

• Hvert element i gruppen kan skrives som produktet til de spesifiserte produsentene (og deres omvendte sider).
• Enhver to slike stavemåter av samme element skiller seg bare ut i de spesifiserte forholdene (og deres konsekvenser).

Enhver gruppe kan presenteres på denne måten, og presentasjoner er dermed et universelt verktøy for å konstruere og utforske grupper. Mange uendelige grupper tillater en endelig presentasjon og dermed en effektiv beskrivelse. Den kombinatoriske gruppeteorien studerte grupper ved hjelp av presentasjonene sine, og dette gir omfattende teknikker.

Motivasjon og historie

For å gjøre noe praktisk regning i en gruppe, er det ofte nyttig å stole på et godt valgt antall produsenter. Dette gjelder spesielt hvis gruppen er stor og komplisert (eller til og med uendelig), men genereres av et lite, klart sett (i beste fall endelig). Den tilsvarende ideen for vektorrom over en kropp fører til konseptet med basen , som er viktig for lineær algebra .

Generelt kan man ikke forvente en så enkel struktur for noen grupper: For å bestemme beregningsreglene i gruppen, må man spesifisere forholdet mellom produsentene. Disse avhenger av gruppen som blir vurdert og kan være så kompliserte som ønsket. I denne praktiske forstand har begrepet presentasjon blitt brukt siden begynnelsen av gruppeteorien, om enn i utgangspunktet uten en presis definisjon. Beregninger med generatorer og relasjoner finnes i andre halvdel av 1800-tallet, for eksempel i verk av Arthur Cayley , Henri Poincaré og Walther von Dyck . Først på 1900-tallet ble praksis av gruppene endelig presentert utvidet til en teori, den kombinatoriske gruppeteorien, som i stor grad ble initiert av Max Dehn .

Innledende eksempler

Det enkleste tilfellet med en presentasjon er oppnådd for gruppen av hele tall med deres tillegg. Denne gruppen kan opprettes fra et enkelt element , nemlig eller . I dette tilfellet er det ingen relasjoner, og dette skrives som ${\ displaystyle C = (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle s = -1}$

${\ displaystyle C = \ langle s \ mid - \ rangle}$.

Hvert element i er tydelig skrevet som med . I fravær av noen relasjoner snakker man også om den frie gruppen over de gitte generatorene. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle s ^ {k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$

Hvis vi nå setter inn forholdet , hvor , får vi gruppen ${\ displaystyle s ^ {n} = 1}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle C_ {n} = \ langle s \ mid s ^ {n} = 1 \ rangle}$

Også her kan hvert element skrives som med . Det gjelder imidlertid også , og som en konsekvens for alle . Det følger at gruppen har nøyaktig elementer. Det kalles den sykliske ordensgruppen , og den er isomorf . ${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle s ^ {k}}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle s ^ {n} = 1}$${\ displaystyle s ^ {k} = s ^ {k + n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C_ {n} = \ {s, s ^ ​​{2}, s ^ ​​{3}, \ dotsc, s ^ ​​{n} = 1 \}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

Universell konstruksjon

Hvis du gir deg selv vilkårlige generatorer og relasjoner , er det i utgangspunktet ikke klart om og hvordan en gruppe kan defineres. Følgende konstruksjon løser dette problemet ved å definere gruppen som vises som kvotienten til en gratis gruppe: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

Gitt et sett , elementene vi ønsker å bruke som generatorer i det følgende. La den frie gruppen komme over . Dette består av alle reduserte ord med faktorer , hvor for alle , og eksponenter , hvor for alle . Videre er mange slike ord over . Vi betegner settet med alle konjugerte elementer der og . La det være undergruppen som genereres av settet . Man kaller settet med alle konsekvensene av forholdet . Det kan også beskrives som normal divisor generert av, og begrepet brukes om dette . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F = F (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle s_ {1} ^ {e_ {1}} s_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots s_ {n} ^ {e_ {n}}}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ dotsc, s_ {n} \ in S}$${\ displaystyle s_ {i} \ neq s_ {i + 1}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ dotsc, e_ {n} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle e_ {i} \ neq 0}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle R \ delsett F}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R ^ {F}}$${\ displaystyle r ^ {x}}$${\ displaystyle r \ i R}$${\ displaystyle x \ i F}$${\ displaystyle K = \ langle R ^ {F} \ rangle}$${\ displaystyle R ^ {F}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle K = \ langle \ langle R \ rangle \ rangle}$

Ifølge konstruksjonen, er en normal divisor av den frie gruppen . Så vi får en gruppe som kvotienten ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle: = F / K}$

og kaller dette gruppen med produsenter og relasjoner . Mer presist, er paret heter det presentasjonen, og den gruppen presenteres av .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle (S, R)}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle (S, R)}$

Måte å snakke på

I ovennevnte konstruksjon blir elementene av vanligvis sett på som elementer i gruppen . Fra et formelt synspunkt er de imidlertid elementer i den frie gruppen og ikke i kvotienten . Imidlertid er det ofte mer praktisk å bruke kvotient homomorfisme til å betrakte dem som produsenter av . Hvis det ikke er noen risiko for forvirring, skilles det ikke mellom elementet og dets bilde i . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle F = F (S)}$${\ displaystyle F / K}$${\ displaystyle \ varphi \ colon F \ til F / K}$${\ displaystyle F / K}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle {\ bar {s}} = \ varphi (s)}$${\ displaystyle F / K}$

Skrivemåter

Hvis og er endelige sett, kalles presentasjonen endelig. I dette tilfellet er gruppen som presenteres på denne måten også ganske enkelt skrevet . ${\ displaystyle S = \ {s_ {1}, s_ {2}, \ dotsc, s_ {m} \}}$${\ displaystyle R = \ {r_ {1}, r_ {2}, \ dotsc, r_ {n} \}}$${\ displaystyle (S, R)}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle \ langle s_ {1}, s_ {2}, \ dotsc, s_ {m} \ mid r_ {1}, r_ {2}, \ dotsc, r_ {n} \ rangle}$

Ofte skrives også en relasjon i form for å understreke at den er kartlagt til det nøytrale elementet i kvotienten . På en noe mer generell måte brukes den mer praktiske notasjonen i stedet for forholdet . ${\ displaystyle r \ i F}$${\ displaystyle r = 1}$${\ displaystyle F / K}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle u = v}$${\ displaystyle uv ^ {- 1} = 1}$

Universell eiendom

Vær mye og vær mange ord over . Gruppen som således presenteres har følgende universelle eiendom: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R \ delsett F (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

For hver kartlegging i en gruppe som oppfyller betingelsen , er det nøyaktig en gruppe homomorfisme som fortsetter, dvs. oppfyller for alle .${\ displaystyle f \ colon S \ to G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f (R) = \ {1 \}}$${\ displaystyle h \ colon \ langle S \ mid R \ rangle \ to G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h ({\ bar {s}}) = f (s)}$${\ displaystyle s \ in S}$

Med andre ord er gruppen den "friest mulige" gruppen opprettet av de gitte relasjonene . Denne universelle kartleggingsegenskapen tilsvarer definisjonen gitt i begynnelsen. En av de to karakteriseringene kan derfor brukes som definisjon av gruppen , og begge tilnærminger finnes i litteraturen. Den andre karakteriseringen er da en konsekvens. ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

Presentasjon til en gitt gruppe

Gitt en gruppe , kan vi velge et genererende system av elementer . Den gratis gruppen via tillater da en surjectiv gruppe homomorfisme med for alle . For det andre kan vi nå velge et delsett som kjernen oppretter som en normal undergruppe. Dette gir oss en gruppe isomorfisme . Dette presenterer den gitte gruppen gjennom produsentene og forholdet mellom dem . Legg merke til trikset at forholdene uttrykkes i gratisgeneratorene , som her fungerer som variabler eller plassholdere for de faktiske gruppeelementene i . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (g_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle g_ {i} \ in G}$${\ displaystyle F = F (S)}$${\ displaystyle S = \ {s_ {i} \ mid i \ i I \}}$${\ displaystyle h \ colon F \ to G}$${\ displaystyle h (s_ {i}) = g_ {i}}$${\ displaystyle i \ i I}$${\ displaystyle R = \ {r_ {j} \ mid j \ in J \}}$${\ displaystyle K = \ ker (h)}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle = F / K \ to G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (g_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle (r_ {j}) _ {j \ i J}}$${\ displaystyle r_ {j}}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle (g_ {i}) _ {i \ i I}}$${\ displaystyle G}$

Hvis man kan velge et endelig genereringssystem , kalles det endelig generert. Hvis man også kan velge et endelig sett med relasjoner, kalles det endelig presentert.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle G}$

Eksempler

Koblingstabell for en begrenset gruppe

Hvis en endelig gruppe er i orden , kan vi tolke forbindelsestabellen som en presentasjon av generatorer og relasjoner. Produsentene er elementene i den gitte gruppen , og hvert produkt definerer en sammenheng i den gratis gruppen . Generelt tillater det imidlertid også mye kortere presentasjoner, som eksemplene nedenfor viser. ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n ^ {2}}$${\ displaystyle a, b, c, \ dotsc}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle a \ cdot b = c}$${\ displaystyle abc ^ {- 1}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Sykliske grupper

Presentasjonene og er allerede presentert ovenfor som innledende eksempler. Hver presentasjon med bare en produsent definerer en isomorf gruppe. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ langle s \ mid - \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n = \ langle s \ mid s ^ {n} = 1 \ rangle}$

Presentasjoner med to produsenter kan derimot være overraskende kompliserte. To spesielt enkle eksempler er gitt av dihedralgruppen og quaternion-gruppen .

Dihedrale grupper

Den dihedral gruppe av størrelsesorden er den isometriske gruppe av en regulær hjørne i planet. Den genereres av to tilstøtende refleksjoner, og presentasjonen er oppnådd ${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s_ {0}, s_ {1}}$

${\ displaystyle D_ {n} = \ langle s_ {0}, s_ {1} \ mid s_ {0} ^ {2} = s_ {1} ^ {2} = (s_ {0} s_ {1}) ^ {n} = 1 \ rangle}$.

Quaternion-grupper

Den generaliserte kvaternionsgruppen for ordre for er gitt av presentasjonen ${\ displaystyle Q_ {4n}}$${\ displaystyle 4n}$${\ displaystyle n \ geq 2}$

${\ displaystyle Q_ {4n} = \ langle x, y \ mid x ^ {2n} = 1, x ^ {n} = y ^ {2}, yxy ^ {- 1} = x ^ {- 1} \ rangle }$.

For den mottar fra dette Hamilton-kvartalet med lenken${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle Q_ {8} = \ {\ pm 1, \ pm i, \ pm j, \ pm k \}}$

${\ displaystyle i \ cdot i = j \ cdot j = k \ cdot k = i \ cdot j \ cdot k = -1}$.

I dette tilfellet staving og og i tillegg er historisk vanlig. ${\ displaystyle i = x}$${\ displaystyle j = y}$${\ displaystyle k = xy}$${\ displaystyle x ^ {2} = y ^ {2} = - 1}$

Symmetriske grupper

Den symmetriske gruppen er skapt av transposisjonene , hvor . Man beregner direkte at følgende forhold gjelder mellom disse generatorene: ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle t_ {i} = (i, i + 1)}$${\ displaystyle i = 1,2, \ dotsc, n-1}$

• ${\ displaystyle t_ {i} ^ {2} = 1}$ for alle ${\ displaystyle i}$
• ${\ displaystyle t_ {i} t_ {j} = t_ {j} t_ {i}}$ hvis ${\ displaystyle | ij | \ geq 2}$
• ${\ displaystyle t_ {i} t_ {j} t_ {i} = t_ {j} t_ {i} t_ {j}}$ hvis ${\ displaystyle | ij | = 1}$

Gruppen presenterte på denne måten

${\ displaystyle G = \ left \ langle s_ {1}, s_ {2}, \ dotsc, s_ {n-1} {\ Big |} {\ begin {matrix} s_ {i} ^ {2} = 1 { \ mbox {for}} i = 1,2, \ dotsc, n-1 \\ s_ {i} s_ {j} = s_ {j} s_ {i} {\ text {if}} | ij | \ geq 2 \\ s_ {i} s_ {j} s_ {i} = s_ {j} s_ {i} s_ {j} {\ text {if}} | ij | = 1 \ end {matrix}} \ høyre \ rangle}$

tillater således en surjectiv gruppe homomorfism dyd . Først er det ikke åpenbart at dette også er injiserende, at de spesifiserte forholdene allerede genererer alle relasjoner. Imidlertid kan man ved hjelp av de ovennevnte relasjonene vise at det inneholder mest elementer, og dermed holder . ${\ displaystyle G \ til S_ {n}}$${\ displaystyle s_ {i} \ mapsto t_ {i}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle G \ cong S_ {n}}$

Merk at på grunn av de ovennevnte forholdene, kan man også skrive det om som ${\ displaystyle s_ {i} ^ {2} = 1}$

• ${\ displaystyle (s_ {i} s_ {j}) ^ {2} = 1}$for ,${\ displaystyle | ij | \ geq 2}$
• ${\ displaystyle (s_ {i} s_ {j}) ^ {3} = 1}$for .${\ displaystyle | ij | = 1}$

Denne tilsvarende notasjonen finnes også ofte i litteraturen.

Coxeter grupper

Refleksjonsgrupper er grupper som er opprettet av refleksjoner, dvs. elementer av ordenen . Refleksjonsgrupper spiller en viktig rolle i klassisk geometri, for eksempel i klassifiseringen av vanlig polyhedra. De har blitt studert i dybden av den britiske matematikeren Harold Scott MacDonald Coxeter , hvis ære de også kalles Coxeter-grupper . ${\ displaystyle 2}$

For å tydelig skrive ned alle relasjoner til en slik gruppe velger vi en symmetrisk matrise hvis oppføringer er naturlige tall eller uendelige, dvs. for . Vi antar også det og for alle . En slik matrise kalles da Coxeter-matrisen og definerer følgende Coxeter-gruppe: ${\ displaystyle M = (m_ {ij})}$${\ displaystyle m_ {ij} \ in \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle i, j = 1, \ dotsc, n}$${\ displaystyle m_ {ii} = 1}$${\ displaystyle m_ {ij} \ geq 2}$${\ displaystyle i \ neq j}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {M} = \ langle s_ {1}, s_ {2}, \ dotsc, s_ {n} \ mid (s_ {i} s_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 \ rangle}$

I så fall blir den tilsvarende forholdet rett og slett utelatt. ${\ displaystyle m_ {ij} = \ infty}$

For eksempel er den tosidede gruppen Coxeter-gruppen til matrisen ${\ displaystyle D_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & n \\ n & 1 \ end {pmatrix}}}$

Den symmetriske gruppen er Coxeter-gruppen til matrisen ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle (n-1) \ times (n-1)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 3 & 2 & \ prikker & 2 \\ 3 & 1 & 3 & \ ddots & \ vdots \\ 2 & 3 & 1 & \ ddots & 2 \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & 3 \\ 2 & \ dots & 2 & 3 & 1 \ end { pmatrix}}}$

Slike matriser kan vises tydelig og klassifiseres som Dynkin-diagrammer .

Områdegrupper

Den grunnleggende gruppen av den lukkede , orienterbare overflaten av kjønn har presentasjonen ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} S_ {g} = \ langle a_ {1}, b_ {1}, \ dotsc, a_ {g}, b_ {g} \ mid \ Pi _ {i = 1} ^ { g} \ left [a_ {i}, b_ {i} \ right] = 1 \ rangle}$.

Tietze transformasjoner

Det er alltid et uendelig antall forskjellige presentasjoner for en gitt gruppe . For eksempel endrer følgende transformasjoner presentasjonen, men ikke den presenterte gruppen : ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (S, R)}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

Legge til eller fjerne et overflødig forhold

Hvis det er en konsekvens av relasjonene , resulterer forholdene i en ny presentasjon , men en isomorf gruppe .${\ displaystyle r \ i F (S)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R ^ {*} = R \ cup \ {r \}}$${\ displaystyle (S, R ^ {*})}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R ^ {*} \ rangle \ cong \ langle S \ mid R \ rangle}$

Legge til eller fjerne en overflødig generator

For og du får en ny presentasjon med generatorene og relasjonene , men en isomorf gruppe .${\ displaystyle s \ notin S}$${\ displaystyle w \ in F (S)}$${\ displaystyle S ^ {*} = S \ cup \ {s \}}$${\ displaystyle R ^ {*} = R \ cup \ {sw ^ {- 1} \}}$${\ displaystyle (S ^ {*}, R ^ {*})}$${\ displaystyle \ langle S ^ {*} \ mid R ^ {*} \ rangle \ cong \ langle S \ mid R \ rangle}$

Tietzes teorem sier at disse transformasjonene allerede uttømmer alle muligheter:

Hvis og er to endelige presentasjoner, representerer de isomorfe grupper hvis og bare hvis de kan omdannes til hverandre ved en endelig sekvens av de to transformasjonene ovenfor.${\ displaystyle (S_ {1}, R_ {1})}$${\ displaystyle (S_ {1}, R_ {2})}$

De tre Dehnian-problemene

På begynnelsen av 1900-tallet hadde den tyske matematikeren Max Dehn en avgjørende innflytelse på kombinatorisk gruppeteori med sitt grunnleggende arbeid. Spesielt fremhevet han tre generelle problemer som er grunnleggende for å jobbe med presentasjoner, både praktisk og teoretisk.

Ordet problem

Det første problemet er det mest åpenbare: Hvis du vil gjøre konkrete beregninger i gruppen , må du kunne sammenligne elementer og bestemme om de er like eller forskjellige. Siden alle elementene kan skrives som ord over genereringssettet , fører dette direkte til følgende ordproblem: ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle S}$

Gitt en endelig presentasjon av gruppen .${\ displaystyle (S, R)}$${\ displaystyle G = \ langle S \ mid R \ rangle}$

For gitte ord, avgjør om de representerer det samme elementet i .${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2} \ in F (S)}$${\ displaystyle G}$

Følgende problem tilsvarer dette ved hjelp av : ${\ displaystyle w = w_ {1} w_ {2} ^ {- 1}}$

For et gitt ord, avgjør om gruppen representerer det nøytrale elementet.${\ displaystyle w \ in F (S)}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle G}$

Etter å ha konstruert , må du bestemme om det er i normal skillelinje eller ikke. Selv med et lite sett av forhold er den normale skillelinjen som genereres på denne måten enorm. I det minste kan man oppregne settet systematisk, og dermed er ordproblemet alltid halvbestemmelig : Hvis det gjelder, så finner man dette etter en begrenset lang tid som en konsekvens av forholdet. Hvis det imidlertid gjelder , slutter ikke listen over . ${\ displaystyle G = F / K}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle K = \ langle R ^ {F} \ rangle}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle w \ in K}$${\ displaystyle w \ notin K}$${\ displaystyle K}$

Novikov-Boones teorem sier at ordproblemet generelt er algoritmisk uløselig.

Bøyningsproblemet

Bøyningsproblemet ligner på ordet problem, men det er generelt vanskeligere:

Gitt en endelig presentasjon av gruppen .${\ displaystyle (S, R)}$${\ displaystyle G = \ langle S \ mid R \ rangle}$

For gitte ord, avgjør om de representerer konjugerte elementer i .${\ displaystyle w_ {1}, w_ {2} \ in F (S)}$${\ displaystyle G}$

Med en inneholder ordet problem som et spesialtilfelle. ${\ displaystyle w_ {2} = 1}$

I likhet med ordet problem er konjugasjonsproblemet bare halv-avgjørelig og generelt algoritmisk uløselig.

Isomorfismeproblemet

Det tredje og vanskeligste av Dehns problemer er isomorfismeproblemet:

La to endelige presentasjoner og .${\ displaystyle (S_ {1}, R_ {1})}$${\ displaystyle (S_ {2}, R_ {2})}$

Bestem om gruppene og gruppene som er presentert slik, er isomorfe.${\ displaystyle G_ {1} = \ langle S_ {1} \ mid R_ {1} \ rangle}$${\ displaystyle G_ {2} = \ langle S_ {2} \ mid R_ {2} \ rangle}$

Tietze-transformasjonene forklart ovenfor beskriver hvordan presentasjoner kan transformeres til hverandre. Basert på en gitt presentasjon kan man derfor telle opp alle tilsvarende presentasjoner. Akkurat som ord- og konjugasjonsproblemet, er isomorfismeproblemet bare halvdefinerbart og generelt algoritmisk uløselig.

litteratur

• Roger C. Lyndon , Paul E. Schupp : Kombinatorisk gruppeteori. Opptrykk av 1977-utgaven. Klassikere i matematikk. Springer-Verlag, Berlin, 2001. ISBN 3-540-41158-5 .
• Joseph J. Rotman: En introduksjon til teorien om grupper. Fjerde utgave. Graduate Texts in Mathematics, 148. Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94285-8 .
• Max Dehn : Artikler om gruppeteori og topologi. Oversatt fra tysk og med introduksjoner og vedlegg av John Stillwell. Med et vedlegg av Otto Schreier. Springer-Verlag, New York, 1987. ISBN 0-387-96416-9 .
• Wilhelm Magnus , Abraham Karrass, Donald Solitar : Combinatorial Group Theory. Presentasjoner av grupper i form av generatorer og relasjoner. Interscience, New York 1966, 2. utgave, Dover 1976.

weblenker

• Martin Bridson : Geometrisk og kombinatorisk gruppeteori