Ortogonal kartlegging

I matematikk er en ortogonal kartlegging eller ortogonal transformasjon en kartlegging mellom to virkelige skalære produktområder som mottar skalarproduktet . Ortogonale kartlegginger er alltid lineære , injiserende , normbevarende og avstandsbevarende . I det euklidiske rommet kan ortogonale kart representeres av ortogonale matriser og beskrive kongruenskart , for eksempel rotasjoner eller refleksjoner . De bijektive ortogonale avbildninger av et skalar produkt plass i seg selv danner en undergruppe av den automorphism gruppen av den plass med sekvensiell utførelse som en kobling . De egenverdiene av en slik kartlegging er ikke nødvendigvis reell, men de har alle de komplekse beløpet en.

En bijektiv ortogonal kartlegging mellom to Hilbert-mellomrom kalles også en ortogonal operatør . De tilsvarende kolleger for komplekse skalære produktområder er enhetskart og enhetsoperatører . Det må skilles mellom ortogonale kartlegginger og gjensidig ortogonale funksjoner, for eksempel ortogonale polynomer , som forstås som vektorer i et funksjonsrom og er preget av det faktum at deres skalære produkt er null.

definisjon

En kartlegging mellom to virkelige indre produktrom og kalles ortogonal hvis for alle vektorer ${\ displaystyle f \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle (V, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {V})}$ ${\ displaystyle (W, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {W})}$ ${\ displaystyle u, v \ in V}$

{\ displaystyle \ langle f (u), f (v) \ rangle _ {W} = \ langle u, v \ rangle _ {V}}

gjelder. En ortogonal kartlegging er derfor karakterisert ved at den mottar det skalære produktet av vektorer. Spesielt kartlegger en ortogonal kartlegging gjensidig ortogonale vektorer og (det vil si vektorer hvis skalære produkt er null) på gjensidig ortogonale vektorer og . ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle f (v)}$ ${\ displaystyle f (w)}$

Eksempler

Det samme bildet

{\ displaystyle f \ kolon V \ til V, \, x \ mapsto x}

er trivielt ortogonalt. I det euklidiske rommet har ortogonale kartlegginger rett i form ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}, \, x \ mapsto Q \ cdot x}

,

hvor er en ortogonal matrise . I rommet av kvadratisk oppsummerbare reelle tallsekvenser , for eksempel riktig skift ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

{\ displaystyle f \ colon \ ell ^ {2} \ rightarrow \ ell ^ {2}, \, (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) \ mapsto (0, a_ {1 }, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}

representerer et ortogonalt kart. Andre viktige ortogonale kartlegginger er integrerte transformasjoner av formen

{\ displaystyle f \ colon L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ to L ^ {2} (\ mathbb {R}), \, g \ mapsto \ int _ {\ mathbb {R}} K ( x, \ cdot) \, g (x) ~ dx}

med en passende valgt integrert kjerne . Eksempler er sinus- og cosinustransformasjonene , Hilbert-transformasjonene og wavelet-transformasjonene . Orthogonaliteten til slike transformasjoner følger av Plancherels teorem og dens varianter. ${\ displaystyle K}$

egenskaper

I det følgende utelates tilleggene til skalarproduktene, ettersom argumentet gjør det klart hvilket rom som er involvert. ${\ displaystyle V, W}$

Lineæritet

Et ortogonalt kart er lineært , det vil si for alle vektorer og tall gjelder ${\ displaystyle u, v \ in V}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f (au + bv) = af (u) + bf (v)}

.

Dette er fordi det gjelder på grunn av bilineariteten og symmetrien til skalarproduktet

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ langle f (u + v) -f (u) -f (v), f (u + v) -f (u) -f (v) \ rangle = \\ & = \ langle f (u + v), f (u + v) \ rangle -2 \ langle f (u + v), f (u) \ rangle -2 \ langle f (u + v), f (v ) \ rangle + \ langle f (u), f (u) \ rangle +2 \ langle f (u), f (v) \ rangle + \ langle f (v), f (v) \ rangle = \\ & = \ langle u + v, u + v \ rangle -2 \ langle u + v, u \ rangle -2 \ langle u + v, v \ rangle + \ langle u, u \ rangle +2 \ langle u, v \ rangle + \ langle v, v \ rangle = \\ & = \ langle u + v, u + v \ rangle -2 \ langle u + v, u + v \ rangle + \ langle u + v, u + v \ rangle = 0 \ end {align}}}

som for eksempel

{\ displaystyle {\ begin {justert} & \ langle f (au) -af (u), f (au) -af (u) \ rangle = \ langle f (au), f (au) \ rangle -2 \ langle f (au), af (u) \ rangle + \ langle af (u), af (u) \ rangle = \\ & = \ langle f (au), f (au) \ rangle -2a \ langle f ( au), f (u) \ rangle + a ^ {2} \ langle f (u), f (u) \ rangle = \ langle au, au \ rangle -2 \ langle au, au \ rangle + \ langle au, au \ rangle = 0. \ end {align}}}

Tilsetningsevnen og homogeniteten til kartleggingen følger deretter av den positive definiteten til det skalære produktet.

Injektivitet

Den kjernen av en ortogonal kartet inneholder kun den nullvektoren fordi for holder ${\ displaystyle v \ in \ operatorname {ker} f}$

{\ displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle f (v), f (v) \ rangle = \ langle 0,0 \ rangle = 0}

og det følger av den positive definiteten til skalarproduktet . En ortogonal kartlegging er derfor alltid injiserende . Hvis og er endelig-dimensjonale med samme dimensjon, gjelder, basert på rangeringen ${\ displaystyle v = 0}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle W}$

{\ displaystyle \ dim V = \ dim \ mathrm {ker} (f) + \ dim \ mathrm {im} (f) = \ dim \ mathrm {im} (f)}

og dermed er også surjective og dermed bijective . Imidlertid trenger ikke ortogonale kartlegginger mellom uendelig-dimensjonale rom ikke nødvendigvis å være overveiende; et eksempel på dette er riktig skift. ${\ displaystyle f}$

Standard vedlikehold

En ortogonal kartlegging mottar den skalære produktnormen til en vektor, det vil si

{\ displaystyle \ | f (v) \ | = \ | v \ |}

,

fordi det gjelder

{\ displaystyle \ | f (v) \ | ^ {2} = \ langle f (v), f (v) \ rangle = \ langle v, v \ rangle = \ | v \ | ^ {2}}

.

Omvendt er hver lineær kartlegging mellom to virkelige skalære produktområder som inneholder skalarproduktnormen ortogonal. På den ene siden gjelder det på grunn av bilineariteten og symmetrien til det skalære produktet

{\ displaystyle \ | f (u + v) \ | ^ {2} = \ | u + v \ | ^ {2} = \ langle u + v, u + v \ rangle = \ langle u, u \ rangle + 2 \ langle u, v \ rangle + \ langle v, v \ rangle = \ | u \ | ^ {2} +2 \ langle u, v \ rangle + \ | v \ | ^ {2}}

og med lineariteten til kartleggingen derimot

{\ displaystyle {\ begynn {justert} \ | f (u + v) \ | ^ {2} & = \ | f (u) + f (v) \ | ^ {2} = \ langle f (u) + f (v), f (u) + f (v) \ rangle = \\ & = \ | f (u) \ | ^ {2} +2 \ langle f (u), f (v) \ rangle + \ | f (v) \ | ^ {2} = \ | u \ | ^ {2} +2 \ langle f (u), f (v) \ rangle + \ | v \ | ^ {2}. \ end { justert}}}

Ved å ligne de to ligningene, følger deretter ortogonaliteten til kartleggingen.

Isometri

På grunn av vedlikeholdet av standarden og lineariteten inneholder en ortogonal kartlegging også avstanden mellom to vektorer, fordi beregningen indusert av standarden gjelder ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle d (f (u), f (v)) = \ | f (u) -f (v) \ | = \ | f (uv) \ | = \ | uv \ | = d (u, v )}

.

En ortogonal kartlegging representerer altså en isometri.Omvendt er hver kartlegging (a priori ikke nødvendigvis lineær) mellom to skalære produktrom som inneholder avstander og kartlegger nullvektoren på nullvektoren ortogonal. En slik kartlegging er nemlig pga

{\ displaystyle \ | f (u) \ | = \ | f (u) -0 \ | = \ | f (u) -f (0) \ | = \ | u-0 \ | = \ | u \ | }

opprettholde normer og følger deretter fra polarisasjonsformelen

{\ displaystyle 2 \ langle f (u), f (v) \ rangle = \ | f (u) \ | ^ {2} + \ | f (v) \ | ^ {2} - \ | f (u) -f (v) \ | ^ {2} = \ | u \ | ^ {2} + \ | v \ | ^ {2} - \ | uv \ | ^ {2} = 2 \ langle u, v \ rangle }

og dermed ortogonaliteten. Hvis det er en bijektiv ortogonal kartlegging mellom to skalære produktområder, er de to mellomrommene isometrisk isomorfe . En bijektiv ortogonal kartlegging mellom to Hilbert-mellomrom kalles også en ortogonal operatør .

Ortogonale endomorfier

Gruppe eiendommer

En ortogonal kartlegging representerer en endomorfisme . Utførelsen av to ortogonale endomorfismer bak hverandre er igjen ortogonal fordi den gjelder ${\ displaystyle f \ kolon V \ til V}$ ${\ displaystyle f \ circ g}$

{\ displaystyle \ langle (f \ circ g) (u), (f \ circ g) (v) \ rangle = \ langle f (g (u)), f (g (v)) \ rangle = \ langle g (u), g (v) \ rangle = \ langle u, v \ rangle}

.

Hvis en ortogonal endomorfisme er bijektiv, skyldes dens inverse ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

{\ displaystyle \ langle f ^ {- 1} (u), f ^ {- 1} (v) \ rangle = \ langle f (f ^ {- 1} (u)), f (f ^ {- 1} (v)) \ rangle = \ langle u, v \ rangle}

også ortogonal. De bijektive ortogonale endomorphisms for å danne en undergruppe av den automorphism gruppe . Hvis rommet er endelig dimensjonalt med dimensjonen , er denne gruppen isomorf til den ortogonale gruppen . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (V)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$

Eigenverdier

De egenverdiene til et ortogonalt kartet er ikke nødvendigvis alle reelle. Hvis det imidlertid er en egenverdi av (forstått som et komplekst kart) med en tilknyttet egenvektor , gjelder følgende ${\ displaystyle f \ kolon V \ til V}$ ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle v}$

{\ displaystyle \ | v \ | = \ | f (v) \ | = \ | \ lambda v \ | = | \ lambda | \, \ | v \ |}

og med det . Egenverdiene til en ortogonal kartlegging har således alle den komplekse mengden en og er følgelig av formen ${\ displaystyle | \ lambda | = 1}$

{\ displaystyle \ lambda = e ^ {it}}

med . En ortogonal kartlegging har derfor på det meste de reelle egenverdiene . De komplekse egenverdiene virker alltid komplekse konjugert i par , fordi med skyldes ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle f ({\ bar {v}}) = {\ overline {f (v)}} = {\ overline {\ lambda v}} = {\ bar {\ lambda}} {\ bar {v}} }

også en egenverdi av . ${\ displaystyle {\ bar {\ lambda}} = e ^ {- it}}$ ${\ displaystyle f}$

Kartleggingsmatrise

Den kartlegging matrise av en ortogonal kartlegging med hensyn til en ortonormal basis for alltid ortogonale , det vil si ${\ displaystyle A_ {f}}$ ${\ displaystyle f \ kolon V \ til V}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ dotsc, e_ {n} \}}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle A_ {f} ^ {T} A_ {f} = I}

,