Sfærisk trekant

Sfærisk trekant

To hjørner for en klode av Martin Waldseemüller (rundt 1470–1522)

En lune , også sfærisk Zweieck , Kugelzweiseit , gusset eller bare Zweieck ( Digon kalt), er i sfærisk geometri (sfærisk geometri) et sett med punkter på en sfære som halvparten av to store sirkler er begrenset.

Eventuelle to store sirkler på en sfære krysser alltid på nøyaktig to motsatte punkter. De deler hverandre i to halvsirkler og sammen den sfæriske overflaten i fire sfæriske tang. Når det gjelder kloder , for eksempel sfæriske modeller av kloden , danner området omsluttet av to meridianer en sfærisk tohjørnet form, med nord- og sørpolen på kloden som hjørnene.

De to hjørnene av en hvilken som helst sfærisk trekant er nøyaktig motsatt på den sfæriske overflaten. Sidelengdene er hver halve omkretsen av en stor sirkel. De to innvendige vinklene er like store. Volumet vedlagt en sfærisk trekant er en sfærisk kil . En tredje stor sirkel, som ikke går gjennom hjørnene, deler den sfæriske trekanten i to sfæriske trekanter .

formel

Det følgende gjelder for det område av det sfærisk trekant ( er overflaten av den hele kule): ${\ displaystyle 4 \, \ pi \, r ^ {2}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {\ gamma} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot 4 \, \ pi \, r ^ {2} = {\ frac {\ gamma} {90 ^ {\ circ} }} \ cdot \ pi \, r ^ {2}}$

Stå her

• ${\ displaystyle \ gamma}$for størrelsen på en innvendig vinkel (i grader )
• r for sfærens radius .

Hvis den er gitt i radianer , kan formelen også skrives som: ${\ displaystyle \, \ gamma}$

${\ displaystyle A = {\ frac {\ gamma} {2 \, \ pi}} \ cdot 4 \, \ pi \, r ^ {2} = \ gamma \ cdot 2 \, r ^ {2}}$

Eksempel: På den idealiserte kloden har en sfærisk trekant som er avgrenset av to nærliggende meridianer (dvs.  = 1 °) arealet ${\ displaystyle \, \ gamma}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1 ^ {\ circ}} {90 ^ {\ circ}}} \ cdot \ pi \, (6370 \ \ mathrm {km}) ^ {2} = 1 {,} 4 \ \ mathrm {million \ km} ^ {2}}$

litteratur

• Bronstein-Semendjajew: Paperback of mathematics . Verlag Harri Deutsch, 2000, s. 167, ISBN 3-8171-2005-2

weblenker

Individuelle bevis

1. ↑ Se definisjon av det sfæriske topunktet i Guido Walz (red.): Lexikon der Mathematik . teip 4 . Springer-Verlag GmbH Tyskland, 2017, ISBN 978-3-662-53499-1 .