Komprimeringsmodul

Deformasjon under jevnt trykk

Den trykk-modul ( symbol  K ) er en intensiv og material-spesifikk fysisk variabel fra teorien om elastisitet . Den beskriver hvilket trykkendring på alle sider som er nødvendig for å få til en viss volumendring ( ingen faseovergang kan forekomme). Den SI-enhet av den kompresjonsmodulen er derfor Pascal eller Newton per kvadratmeter .

Det faktum at stoffer motarbeider motstand mot kompresjon (kompresjon, kompresjon) er hovedsakelig basert på interaksjoner mellom elektronene de inneholder.

Generell

Den kompresjon er en (all-round) komprimering av et legeme / massefylte rom, som reduserer dets volum og øker dens tetthet (massetetthet) . Kropper blir bare beskrevet som komprimerbare hvis trykkendringene som oppstår er tilstrekkelig til å forårsake merkbare endringer i tetthet, noe som vanligvis (bare) er tilfellet med gasser. Hvis det ikke er merkbare endringer i tetthet, kalles kroppen ukomprimerbar (se også ukomprimerbar væske ).

I styrke-teorien antas hvert fast stoff å være deformerbart (både i form (ren skyvekraft) og med hensyn til hydrostatiske volumendringer (komprimerbar)). Etter prosessen er kroppen komprimert (komprimert). Vanligvis er det bare elastisk deformasjon , dvs. Med andre ord, når trykket frigjøres, blir kompresjonen reversert og kroppen utvides igjen (ekspansjon). Avhengig av materialet kan det oppstå en permanent endring i konstruksjonen (f.eks. Plastisk deformasjon , smuldring av betong, omlegging av korn i fundamentet ).

Kompresjonsmodulen beskriver bare den spontant elastiske delen (den hydrostatiske delen) av volumendringen, verken plast eller bruddmekaniske eller viskoelastiske deler er inkludert, og eventuelle termiske deformasjoner blir trukket på forhånd.

Forholdet mellom volumet av et fast stoff og det ytre hydrostatiske trykket som virker på det, er beskrevet av ligningene ifølge Murnaghan og Birch .

definisjon

Kompresjonsmodulen er definert av den spontane elastiske endringen i volumet (og dermed tettheten) som et resultat av trykk eller mekanisk spenning:

${\ displaystyle K: = - V \ cdot \ underbrace {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} V}} _ {<0} = - {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} V / V}}> 0}$

De enkelte symbolene står for følgende mengder:

${\ displaystyle V}$        - Volum

${\ displaystyle \ mathrm {d} p}$       - uendelig trykkendring

${\ displaystyle \ mathrm {d} V}$      - uendelig liten volumendring

${\ displaystyle \ mathrm {d} V / V}$ - relativ volumendring.

Det negative tegnet ble valgt fordi økningen i trykk reduserer volumet ( er negativt), men bør være positivt for praktiske formål . Kompresjonsmodulen avhenger blant annet. på temperatur og trykk. ${\ displaystyle \ mathrm {d} V / \ mathrm {d} p}$${\ displaystyle K}$

Kompresjonsmodulen representerer en spenning eller det teoretiske trykket der volumet vil bli null hvis lineær elastisitet, dvs. H. , og geometrisk linearitet vil bli gitt i romlige koordinater (altså ikke i materialkoordinatene), dvs. kompresjonsmodulen vil ikke øke ved høyere trykk. ${\ displaystyle \ mathrm {d} p / \ mathrm {d} V = \ mathrm {const}}$

Kompressibilitet

Påvirkninger av tilsetning av utvalgte glasskomponenter på kompresjonsmodulen til et spesielt baseglass.

For gasser og væsker brukes dens gjensidige ofte i stedet for komprimeringsmodulen. Dette kalles komprimerbarhet (symbol: κ eller χ ) eller også komprimerbarhetskoeffisienten :

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {K}} = - {\ frac {\ mathrm {d} V / V} {\ mathrm {d} p}} = - {\ frac {1} {V }} {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} p}}}$.

Man skiller seg ut

• isotermisk kompressibilitet (ved konstant temperatur og konstant antall partikler ), derden frie energien er: ${\ displaystyle \ kappa _ {T}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle F (T, V, N)}$

  ${\ displaystyle \ kappa _ {T} = - {\ frac {1} {V}} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial p}} \ right) _ {T, N} = {\ frac {1} {V}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial V ^ {2}}} \ right) _ {T, N} ^ {- 1}}$

• adiabatisk komprimerbarhet (med konstant entropi og konstant antall partikler), hvorden indre energien er: ${\ displaystyle \ kappa _ {S}}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle U (S, V, N)}$

  ${\ displaystyle \ kappa _ {S} = - {\ frac {1} {V}} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial p}} \ right) _ {S, N} = {\ frac {1} {V}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial V ^ {2}}} \ right) _ {S, N} ^ {- 1} \;. }$

I tilnærmingen av en ideell gass beregnes

• den isotermiske kompressibiliteten i henhold til Boyle-Mariotte-loven :${\ displaystyle \ kappa _ {T} = {\ frac {1} {p}}}$
• den adiabatiske kompressibiliteten i henhold til den adiabatiske ligningen for en ideell gass :${\ displaystyle \ kappa _ {S} = {\ frac {1} {\ gamma \ cdot p}} \;,}$

der (ofte referert til som ) er den isentropiske eksponenten . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ kappa}$

Væskens kompressibilitet ble tvilet lenge til John Canton i 1761 , Jacob Perkins i 1820 og Hans Christian Oersted i 1822 kunne bevise det ved målinger.

Kompresjonsmodul for faste stoffer med isotropisk materialadferd

Forutsatt lineær-elastisk oppførsel og isotropisk materiale, kan kompresjonsmodulen beregnes fra andre elastiske konstanter: ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle K = {\ frac {E} {3-6 \ nu}} = {\ frac {GE} {9G-3E}} = {\ frac {2G (1+ \ nu)} {3 (1- 2 \ nu)}}}$

med

${\ displaystyle E}$- Youngs modul

${\ displaystyle G}$- skjærmodul

${\ displaystyle \ nu}$  - Poissons nummer

vann

Vanntrykk med og uten komprimerbarhet

Kompresjonsmodulen for vann ved en temperatur på 10 ° C under normalt trykk er 2,08 · 10 ⁹  Pa ved 0,1 MPa og 2,68 · 10 ⁹  Pa ved 100 MPa.

Hvis komprimerbarheten til vannet er inkludert i beregningen av trykket , er resultatet kompressibiliteten

${\ displaystyle \ kappa = - {\ frac {\ mathrm {d} V} {V \ cdot \ mathrm {d} p}} = 0 {,} 5 {\ frac {1} {\ mathrm {GPa}}} }$

riktig diagram.

Med en tetthet på 1000 kg / m³ på overflaten, øker vannets kompressibilitet tettheten på en dybde på 12 km til 1051 kg / m³ der. Ekstra trykket forårsaket av den høyere tettheten av vann i dypet, utgjør omtrent 2,6 prosent sammenlignet med verdien når komprimerbarheten er neglisjert. Imidlertid blir ikke påvirkningene av temperatur, gass og saltinnhold som fortsetter å herske i sjøen tatt i betraktning.

Nøytronstjerner

I nøytronstjerner kollapset alle atomskjell under tyngdekraftens trykk, og nøytroner ble opprettet fra elektroner i skallene og protonene i atomkjernene . Nøytroner er den mest ukomprimerbare materieformen som er kjent. Kompresjonsmodulen deres er 20 størrelsesordener høyere enn diamanten under normale forhold.

Konvertering mellom de elastiske konstantene av isotrope faste stoffer

Modulen ...	... resultater fra:
	${\ displaystyle (K, \, E)}$	${\ displaystyle (K, \, \ lambda)}$	${\ displaystyle (K, \, G)}$	${\ displaystyle (K, \, \ nu)}$	${\ displaystyle (E, \, \ lambda)}$	${\ displaystyle (E, \, G)}$	${\ displaystyle (E, \, \ nu)}$	${\ displaystyle (\ lambda, \, G)}$	${\ displaystyle (\ lambda, \, \ nu)}$	${\ displaystyle (G, \, \ nu)}$	${\ displaystyle (G, \, M)}$
Komprimeringsmodul ${\ displaystyle K \,}$	${\ displaystyle K}$	${\ displaystyle K}$	${\ displaystyle K}$	${\ displaystyle K}$	${\ displaystyle (E + 3 \ lambda) / 6 +}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {(E + 3 \ lambda) ^ {2} -4 \ lambda E}} {6}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {3 (1-2 \ nu)}}}$	${\ displaystyle \ lambda +}$${\ displaystyle {\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1+ \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}}$	${\ displaystyle M-}$${\ displaystyle {\ tfrac {4G} {3}}}$
elastisitetsmodul ${\ displaystyle E \,}$	${\ displaystyle E}$	${\ displaystyle {\ tfrac {9K (K- \ lambda)} {3K- \ lambda}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {9KG} {3K + G}}}$	${\ displaystyle 3K (1-2 \ nu) \,}$	${\ displaystyle E}$	${\ displaystyle E}$	${\ displaystyle E}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3 \ lambda + 2G)} {\ lambda + G}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$	${\ displaystyle 2G (1+ \ nu) \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$
1. Lamé konstant ${\ displaystyle \ lambda \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle K-}$${\ displaystyle {\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K \ nu} {1+ \ nu}}}$	${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}$	${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G \ nu} {1-2 \ nu}}}$	${\ displaystyle M-2G \,}$
Skjærmodul eller (2. Lamé-konstant) ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3 (K- \ lambda)} {2}}}$	${\ displaystyle G}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}$	${\ displaystyle (E-3 \ lambda) +}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {(E-3 \ lambda) ^ {2} +8 \ lambda E}} {4}}}$	${\ displaystyle G}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2 (1+ \ nu)}}}$	${\ displaystyle G}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$	${\ displaystyle G}$	${\ displaystyle G}$
Poissons nummer ${\ displaystyle \ nu \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K- \ lambda}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K-2G} {2 (3K + G)}}}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle - (E + \ lambda) +}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {(E + \ lambda) ^ {2} +8 \ lambda ^ {2}}} {4 \ lambda}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E} {2G}}}$${\ displaystyle -1}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
Lengdemodul ${\ displaystyle M \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$	${\ displaystyle 3K-2 \ lambda \,}$	${\ displaystyle K +}$${\ displaystyle {\ tfrac {4G} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3K (1- \ nu)} {1+ \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E- \ lambda + {\ sqrt {E ^ {2} +9 \ lambda ^ {2} + 2E \ lambda}}} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {E (1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}$	${\ displaystyle \ lambda + 2G \,}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2G (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}}$	${\ displaystyle M}$

Se også

• termisk tilstandsligning
• Kontinuummekanikk
• Elastisitetsteori

Individuelle bevis

1. ↑ Dieter Will, Norbert Gebhardt, Reiner Nollau, Dieter Herschel, Hubert Strohl: Trykk væsker . I: Dieter Will, Norbert Gebhardt (Hrsg.): Hydraulikk: Grunnleggende, komponenter, kretsløp . 5. utgave. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17243-4 , pp. 13–40, her: 21 f ., doi : 10.1007 / 978-3-642-17243-4_3 ( begrenset forhåndsvisning i Google-boksøk). 
2. ↑ Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter: Aggregerte diamant-nanoroder, den tetteste og minst komprimerbare formen for karbon . I: Applied Physics Letters . teip 87 , nr. 8. 16. august 2005, s. 083106 , doi : 10.1063 / 1.2034101 . 
3. ↑ Glassproperties.com Beregning av bulkmodulen for briller
4. ↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook . Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).