Fradragssats

Under begrepet deduksjonssats er det kjent to nært relaterte teoremer som er viktige i matematisk logikk . En variant av teoremet, også kjent som inferenssetningen , retter seg mot forestillingen om semantisk inferens . Den andre varianten, som brukes innen kalkulasjoner , gjør den ( syntaktiske ) avledningen til utgangspunkt i stedet for den ( semantiske ) slutningen . I begge tilfeller etableres et forhold til den materielle implikasjonen .

Trekksetningen for semantiske slutninger (⊨)

Den semantiske versjonen av deduksjonssatsen er som følger:

En formel er en semantisk konsekvens av settet med formler med , formell , hvis og bare hvis implikasjonen ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T = \ {A_ {1}, A_ {2}, ..., A_ {n} \}}$${\ displaystyle T \ modeller B}$

${\ displaystyle A_ {1} \ land A_ {2} \ land ... \ land A_ {n} \ rightarrow B}$

generell , d. H. er en tautologi (i klassisk logikk er dette tilfelle hvis og bare hvis implikasjonen er sant for enhver mulig tolkning ).

Generelt, i klassisk logikk, er en formel en semantisk konsekvens av settet med formler , dvs. H. , hvis for hver tolkning som alle formler for formelsettet er sanne for, er formelen også sant. Slutningssetningen relaterer denne generelle definisjonen av semantisk slutning til implikasjon. Den danner således en av de viktigste mekanismene for å gjøre det semantiske begrepet inferens i datasystemer håndterbart gjennom rent formelle manipulasjoner (se avledning innen informatikk ). Det er derfor nært knyttet til imøtegåelse teorem . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T \ modeller B}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle B}$

Trekksetningen for derivater (⊢)

I området calculi brukes en annen definisjon av deduksjonssatsen, som beveger seg rent på det syntaktiske nivået. Denne varianten av deduksjonssatsen ble funnet og bevist allerede i 1930 av Jacques Herbrand og (uavhengig av ham og nesten samtidig) av Alfred Tarski . I motsetning til den semantiske slutningen er den (syntaktiske) avledningen i sentrum for denne definisjonen . Som i fradragssatsen beskrevet ovenfor, er dette knyttet til implikasjonen:

Hvis

${\ displaystyle T, A \ vdash B,}$

deretter

${\ displaystyle T \ vdash A \ rightarrow B.}$

David Hilbert og Paul Bernays sa det slik: "Hvis en formel B kan avledes fra en formel A på en slik måte [...], kan formelen A → B avledes uten å bruke formelen A"

Det motsatte gjelder også i mange kalkulasjoner. Det vil si at hvis formelen A → B kan avledes fra et sett, så også formelen B ved hjelp av tilleggshypotesen A. Hvis modus ponens gjelder i en beregning , er denne endelige retningen triviell.

Individuelle bevis

1. ↑ David Hilbert, Paul Bernays: Fundamentals of Mathematics , bind 2, Berlin: 1939, side 387.

Se også

• Modellteori
• Kunnskapsrepresentasjon med logikk
• Negasjon , for logisk polaritet se bytte av algebra
• Metascience

litteratur

• Franz von Kutschera , Alfred Breitkopf: Introduksjon til moderne logikk , 8. utgave (2007), ISBN 978-3-495-482711 , s. 72-75 (bevis på trekksetningen)