Bølgevektor

I fysikk , den bølgevektor eller bølgetall vektor er en vektor som er perpendikulær til den bølgefronten av en bølge , og er dens størrelse  , der er den bølgelengde . Måleenheten for komponentene er 1 / m. I de fleste tilfeller indikerer det bølgens forplantningsretning , men retningen til Poynting-vektoren for strømmen av energi i elektromagnetiske bølger i visse medier kan avvike fra bølgevektoren. ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ lambda}$

beskrivelse

En plan bølge som forplanter seg i retningen kan skrives som: ${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = A \ cdot e ^ {i ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t)}}$

Med

• amplitude ${\ displaystyle A}$
• Eulers nummer ${\ displaystyle e}$
• imaginær enhet ${\ displaystyle i}$
• Posisjonsvektor ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$
• Vinkelfrekvens ${\ displaystyle \ omega}$
• Tid .${\ displaystyle t}$

Med komponentene i retningene x, y og z

${\ displaystyle {\ vec {k}} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$

viser bølgevektoren i 3-dimensjonalt k-rom, også kalt gjensidig rom , i en bestemt retning.

Den størrelsen av den bølgevektor er den sirkulære bølgetallet , derav navnet bølgetallet vektor: ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle k = | {\ vec {k}} | = {\ frac {\ omega} {c}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}},}$

der

• ${\ displaystyle c}$den fasehastighet og
• ${\ displaystyle \ lambda}$den bølgelengden er.

Bølgevektor og kvantetall

Uten ytterligere grensebetingelser , for eksempel i vakuum, kan bølgevektoren til en partikkel kontinuerlig anta en hvilken som helst mengde og hvilken som helst orientering. Imidlertid er bølgevektoren under visse omstendigheter en kvantisert størrelse.

Begrensningen av partikler til et begrenset rom, for eksempel i en potensiell brønn eller gitteret til et fast stoff , betyr at systemets jevne tilstand bare kan ta på seg diskrete verdier. I dette tilfellet blir bølgevektoren kvantisert, selv om den strengt tatt ikke representerer kvantetall . Snarere er bølgevektoren en funksjon av kvantetall, eller dens mulige verdier kan telles ved hjelp av kvantetall. Dette kan sees i analogi med de indre energiene til et kvantemekanisk problem med et diskret spektrum : indeksen til den diskrete energien er kvantetallet, men ikke selve energien. ${\ displaystyle E_ {n}}$${\ displaystyle n}$

Eksempel: For løsningene av Schrödingerligningen av en tredimensjonal, uendelig høy potensialbrønn, kantlengder gjelder ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ Psi _ {n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}} (x, y, z) \; = \; A \, \ sin \ left (k_ {x} \, x \ høyre) \, \ sin \ venstre (k_ {y} \, y \ høyre) \, \ sin \ venstre (k_ {z} \, z \ høyre)}$

med amplituden og forkortelsen ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle k_ {i} = {\ frac {n_ {i} \, \ pi} {a}}}$.

Det er et ikke-negativt heltall, og indeksen kan ha verdiene , eller godta. ${\ displaystyle n_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

De stasjonære tilstandene til partikkelen, så ved kvantetallene , og karakteriseres. I stedet for å navngi en tilstand ved hjelp av dette tallet trippel, kan bølgevektoren også brukes. Imidlertid må bølgevektoren eller en av komponentene ikke refereres til som et kvantetall, fordi det på den ene siden er dimensjonalt og på den andre siden er det representert med reelle tall . ${\ displaystyle n_ {x}}$${\ displaystyle n_ {y}}$${\ displaystyle n_ {z}}$${\ displaystyle {\ vec {k}} = (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$

En potensiell brønn med partikler resulterer i vektorer i gjensidig rom . Når det gjelder fermioner , er det bare et begrenset antall stasjonære tilstander per bølgevektor. Antallet av disse er resultatet av spinnmengden til de vurderte partiklene. Elektroner er partikler som mengden spinn har verdien for . En slik snurr kan bare anta to retninger med hensyn til en kvantiseringsakse . Derfor kan hver bølgevektor i den potensielle brønnen antas å ha maksimalt to elektroner. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 1/2}$

Bølgevektor og momentum

For fotoner ( Einstein-ligninger ) så vel som for materiebølger (De Broglie-forhold) er vektormomentet proporsjonalt med bølgevektoren, med den reduserte Planck- konstanten som proporsjonalitetsfaktor: ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle \ hbar}$

${\ displaystyle {\ vec {p}} = \ hbar {\ vec {k}}}$

litteratur

• Charles Kittel: Introduksjon til solid state fysikk . 15. utgave, Oldenbourg Verlag München, München 2013, ISBN 978-3-486-59755-4 .
• Bahaa EA Saleh, Malvin Carl Teich: Fundamentals of Photonics. 1. utgave, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40677-7 .

weblenker

• Derivasjon av fotonbølgevektoren (åpnet 28. desember 2015)