Opptaksprosedyre

Den opptaksmetode , selv enkel opptaksmetoden ( engelsk (single) opptaksmetode ), er en numerisk metode for å grenseverdiproblemer med ordinære differensialligninger som skal løses. Den grunnleggende ideen med metoden er å redusere problemet til løsningen av et innledende verdiproblem .

Prosessen minner om nullstilling i artilleri , en metode for å treffe et fjernt mål med et prosjektil. Prosjektilet er avfyrt med en viss starthøyde. Du varierer denne første skråningen til du treffer målet. Det er her begrepet skytemetode kommer fra .

Fremgangsmåte

Grenseverdiproblemet til andre orden med funksjonen som er søkt og til høyre${\ displaystyle \, y (t)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {1}) = a, \ quad y (t_ {2}) = b}$

er omformulert til et innledende verdiproblem

${\ displaystyle y '' (t) = f (t, y (t), y '(t)), \ quad y (t_ {1}) = a, \ quad y' (t_ {1}) = c }$

Den andre ukjente startverdien kan velges fritt. Startverdiproblemet er integrert avhengig av parameter c til tilstanden ved den andre kanten er oppfylt. Løsningen på startverdiproblemet kan gjøres med en numerisk metode, f.eks. B. Runge-Kutta kan løses. avhenger av startverdien . Definer en funksjon F for dette${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ quad y (t_ {2}) = b}$${\ displaystyle y (t \,; c)}$${\ displaystyle y (t \,; c)}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle F (c): = y (t_ {2}, c) -b \ quad}$

Dette ofte ikke-lineære ligningssystemet kan løses numerisk, for eksempel med Newton-metoden eller halveringsmetoden . Løsningen av den opprinnelige verdi problemet er en løsning av grenseverdien problem hvis og bare hvis F har en null i c :

${\ displaystyle 0 = y (t_ {2}, c) -b \ quad \ Leftrightarrow \ quad y (t_ {2}, c) = b}$

I praksis, av stabilitetshensyn, brukes den såkalte multi - target-varianten av skytemetoden, der løsninger beregnes stykke for bit i delintervaller av et rutenett , som løsningen deretter består av. ${\ displaystyle \ Delta = \ left \ {t_ {1} = x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}, x_ {n} = t_ {2} \ right \}}$${\ displaystyle [a, b]}$

litteratur

• J. Stoer, R. Bulirsch : Introduksjon til numerisk analyse. Springer, New York 1980
• A. Willers: Metoder for praktisk analyse. 2. utgave. De Gruyter, Berlin 1950
• L. Collatz: Numerisk behandling av differensiallikninger. Springer, Berlin 1951
• M. Hermann : Numerikk av vanlige differensiallikninger. Volum 1: Innledende verdiproblemer og lineære grenseverdiproblemer. 2., revidert og utvidet utgave. Walter de Gruyter Verlag, Berlin og Boston 2017. ISBN 978-3-11-050036-3
• M. Hermann : Numerikk av vanlige differensiallikninger. Volum 2: Problemer med ikke-lineære grenseverdier. 2., revidert og utvidet utgave. Walter de Gruyter Verlag, Berlin og Boston 2018. ISBN 978-3-11-051488-9