Möbius stripe

Möbius stripe laget av papir

Möbius stripe laget av granitt: Skulptur uendelig løkke av Max Bill laget av Tranas granitt ; Stadtgarten Essen (på Hohenzollernstrasse)

Möbius-stripe , Möbius-løkke eller Möbius'sches-bånd beskriver en overflate som bare har en kant og en side. Det er ikke orienterbart , det vil si at man ikke kan skille mellom under og over eller mellom innsiden og utsiden.

Möbius-stripen ble beskrevet uavhengig i 1858 av Göttingen- matematikeren og fysikeren Johann Benedict Listing og Leipzig- matematikeren og astronomen August Ferdinand Möbius .

beskrivelse

Spill av mediefilen

Kuler på kanten av en Möbius-stripe bytter side

En Möbius-stripe er enkel å lage ved å lime en lang stripe papir med begge ender sammen i en ring, men vri den ene enden 180 ° før den limes sammen. Slike Möbius-striper har en midtlinje som ikke kan okkupere en sirkel - med mindre stripen er lokalt strukket. Formen som et slikt bånd kan anta utstrakt, er fullstendig beskrevet av løpet av midtlinjen. Möbius-striper, hvis midtlinje er en sirkel selv i avslappet tilstand, kan ikke lages av en rett todimensjonal papirstripe - de har ujevnt formede underelementer langs omkretsen, som de kan tenkes å være montert.

Möbius-striper er chirale .

Möbius-stripen smelter sammen i seg selv på en slik måte at hvis du begynner å fargelegge overflaten på en av de tilsynelatende to sidene, har du til slutt farget hele gjenstanden.

Möbius stripe spaltet en gang

Möbius stripe spaltet to ganger

Andre interessante effekter oppstår hvis du tegner en midtlinje eller to linjer parallelt med midtlinjen på båndet og kutter båndet langs denne linjen (e), dvs. det ser ut til å være halvert eller tredeler. I det første tilfellet, dvs. når du skjærer langs midtlinjen, opprettes en dobbel vridd ring (tvunnet 720 °) med to sider og to kanter. I det andre tilfellet opprettes en dobbelt vridd ring fra de ytre tredjedeler, som i det første tilfellet resulterer den midterste tredjedelen i at en ny Möbius-stripe henger i den. Dette spillet kan fortsettes med et hvilket som helst antall små divisjoner: hvis du "kvarterer" båndet, får du to dobbeltkronede bånd som ikke bare henger sammen, men som også blir krøllet oftere; Hvis du “femter” den, blir resultatet den samme figuren med en ekstra indre Möbius-stripe som henger i de to ringene; Hvis du "sjetter" båndet, får du to ringer, som er krøllet rundt hverandre to ganger og blir krøllet rundt to ganger av en annen ring, den ytre og de to indre ringene er utskiftbare etter behov; Hvis du “syvende” den igjen, tilsettes en Möbius-stripe som henger i de tre ringene osv. Hvis nevneren til brøkdelen som stripen tilsynelatende er delt i, er rett , så får du ringer; hvis det er rart, blir en Möbius-stripe også løkket gjennom ringene. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r + 1}$

Fra et matematisk synspunkt er Möbius-stripen en ikke-orienterbar manifold . Et annet område som faller inn i denne kategorien er Klein-flasken ; en Klein-flaske kan deles i to deler slik at to Möbius-strimler opprettes av den.

I naturen

• Ladede partikler fanget i jordens magnetfelt kan bevege seg på en Möbius-stripe.
• Det sykliske proteinet Kalata B1, aktiv ingrediens i Oldenlandia- planten . O. affinis , som et naturlig middel z. B. for induksjon av arbeidskraft, har en Möbius-topologi.

I kunst og litteratur

Möbius fargevalg som en modifisering av firefargesettet

Möbius skjerf

Möbius-skulptur - Möbius-striper, hver så tykk som den er bred, firkantet tverrsnitt, 180 ° vri.

Logo for det tyske EU-rådsformannskapet 2020

Det er berømte fremstillinger av Möbius-stripen i kunsten . B. av M. C. Escher (Möbius bind I og II, 1963) og mer nylig av Gideon Möbius-Sherman . Den argentinske spillefilmen Moebius tar også for seg emnet. Mobius strimmel er også omtalt i litteraturen: Strukturen av John Barth kort historie serie Tapt i Funhouse er basert på det endeløse eller repetisjon prinsipp (for eksempel manglende sentrum) av Mobius strimmel (Eng "Ambrose im Juxhaus".). En Möbius-stripe følger også med boken, som gjenspeiler postmoderne litterære tilnærminger ("frame-tale"). Det er merket: "Det var en gang en historie som begynte en gang ...". Denne formen for egenreferanse er typisk for såkalte rare loops . I diktet Topologik refererer tekstforfatteren Erich Fried til Möbius-stripen: "Jeg har skapt et Möbius-hjerte som skjærer seg i håpløse striper." Fra 1930-tallet og utover laget Max Bill en rekke skulpturer som tilsvarer de visuelle representasjonene av Möbius- stripen : z. B. Infinite Loop (1935/37), Continuity (Zurich Lake; 1947, ødelagt 1948) eller Infinite Loop (Stadtgarten Essen, på Hohenzollernstrasse; 1974). Imidlertid representerer skulpturen hans Continuity (1986) ikke en Möbius-stripe, i motsetning til populær tro.

Logoen designet for Tysklands seks måneders presidentskap for EUs råd 1. juli 2020, viser en Möbius-stripe og symboliserer et "integrerende og innovativt Europa der de mest forskjellige mennesker og interesser kommer sammen for å danne en felles helhet" , ifølge erklæringen fra selskapets side den føderale regjeringen i sammenheng med presentasjonen.

Möbius- stripen spiller også en viktig rolle i Necroscope- serien av romaner av den engelske forfatteren Brian Lumley , som har eksistert siden 1986 . Det er symbolet på noen karakterer, men spesielt viktig for hovedpersonen Harry Keogh. Han lærer seg evnen til å reise gjennom tiden ved hjelp av det såkalte Möbius-kontinuumet, som oppfører seg likt Möbius-stripen.

Möbius-stripen er også et tema i Perry-Rhodan-serien og danner her den tredimensjonale modellbeskrivelsen for de to sidene av det dimensjonale universet (arresum og paresum). ${\ displaystyle n}$

Lars Gustafsson videreutvikler Möbius- stripen i romanen Frau Sorgedahls vakre hvite armer til en Möbius- tidsflaske der vi er fanget. Utenfor livet vårt er det ingenting.

I mangaserien Angel Sanctuary sammenlignes skjebnen til den høye engelen Alexiel og den konstante gjenfødelsen av hans sjel i menneskekroppene, for hvilken en grusom og blodig skjebne er forutbestemt, med en Möbius-løkke.

I 2011, utgitt i en tysk språkroman The Map and the Territory of Michel Houellebecq , er en Moebius-stripe gravert inn på gravplaten til den fiktive karakteren Michel Houellebecq.

I 2011 opprettet robotikkstudenten Aaron Hoover ved University of California, Berkeley, en Möbius-girkasse som en teknisk gimmick ved hjelp av 3D-utskrift .

Möbius-sjakken er en variant av sylinderschaken , der man også tenker å vri spillfeltet når man "kobler" langsidene.

I videospillet Mario Kart 8 representerer Marios Piste veddeløpsbane en Möbius-stripe. De 8 i logoen viser også en Möbius-stripe.

Möbius skjerf er også designet på mote.

I stykket Solaris basert på Stanislaw Lem av Bettina Bruinier og Katja Friedrich ved Münchner Volkstheater (2011) er en Möbius-stripe som en modellbil kjører på, en viktig del av produksjonen (scenografi: Markus Karner).

Logoen til Commerzbank og den tyske bygningsrengjøringsbransjen viser en Möbius-stripe.

DDR Avantgarde Band AG. Geige viet en sang til Möbius-bandet på albumet Trickbeat fra 1989 .

I teknologi

mekanikk

• Beltet til en beltedrift kan utformes som et Möbius- belte . På girkasser med remskiver med parallelle akser gjør det det lettere å trekke beltet av og på. Transposisjonen på 180 ° skal da ligge i den tomme tråden , og kan føres forsiktig i beltets lengdesenter med to ruller i sidestilling. Som et resultat av denne vridningen strekkes sonene nær beltekanten litt mer. Hvis flagringen forandrer seg, kommer "begge sider av beltet" i inngrep, og beltematerialet blir buet i en retning i løpet av en omdreining og i motsatt retning i løpet av den neste.

Forbrukerelektronikk

• I tilfellet med Tefifon kan lydbåndet skannet av en pickupnål utformes som et Möbius-bånd, men dette har vist seg å være upraktisk.

Elektroteknikk

• Den krets analog av en Möbius strimmel er en ringteller med en inversjon ( Johnson teller ): En bit-sekvens når den opprinnelige tilstand etter to sykluser, slik at minneceller kan brukes for å telle opp til; Teller pulser i rask rekkefølge.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$
• Som en kompakt resonator med resonansfrekvensen til halvparten av de identiske lineære spolene.
• Som en induksjonsfri motstand, som også er kjent som Möbius-motstanden .

fysikk

• Som en superleder med høy overgangstemperatur.
• Den stellarator er en form for kjernefysisk fusjonsreaktor hvori plasmaet bringes på en Mobius-formet bane ved hjelp av tilsvarende utformede feltspolene.

kjemi

• Som "knute molecules" med spesielle egenskaper ( knotaner , chiralitet ).

nanoteknologi

• Som molekylære motorer.
• Som et grafenbånd (nanografitt) med nye elektroniske egenskaper som spiralformet magnetisme.

I matte

Parametrisk representasjon

Plott av en Möbius-stripe

3D-visninger av en
Möbius-snegl

Möbius-stripen kan tegnes som en overflate ved hjelp av følgende parameterrepresentasjon :

${\ displaystyle x (r, \ alpha) = \ cos (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }$

${\ displaystyle y (r, \ alpha) = \ sin (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }$

${\ displaystyle z (r, \ alpha) = {\ frac {r} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}$

med og . Dette skaper en Möbius-stripe med en bredde på 1, hvis midtlinje sammenfaller med enhetssirkelen til xy-planet . Hjørnet har toppunktet i midten; når den endres, fører variasjonen av til overflaten som spenner mellom den ene kanten. Som det lett kan ses på bildet til høyre, er det ikke en Möbius-stripe som skal lages av en papirstripe - i den horisontale delen ligner underelementene symmetriske trapeser . ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha <2 \ pi}$${\ displaystyle -1 \ leq r \ leq 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle r}$

Ved hjelp av sylindriske koordinater kan Möbius-stripen gå gjennom ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$

${\ displaystyle \ log (r) \ cdot \ sin (\ theta / 2) = z \ cdot \ cos (\ theta / 2)}$

å bli beskrevet.

topologi

Möbius stripe som et kvotientrom

De topologi tilbyr en matematisk metode for fremstilling av en Möbius 'bånd ved liming endene av en papirstrimmel sammen i motsatte retninger. Der er en Möbius-stripe et kvotientrom av kvadratet som er definert, hvor to motsatte sider av ekvivalensforholdet for hver identifiserte er. Diagrammet til høyre illustrerer dette. ${\ displaystyle (x, y) \ in [0.1] \ times [0.1]}$ ${\ displaystyle (0, y) \ sim (1,1-y)}$${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 1}$

Möbius-stripen er en kompakt topologisk manifold av dimensjon 2.

geometri

I området med differensialgeometri forstås en Möbius-stripe som en ikke-orienterbar overflate med et hull . Det kan være innebygd i. Båndet er standardeksemplet på en ikke-orienterbar overflate. Möbius-stripen muliggjør en differensierbar struktur . Imidlertid er det ikke en Riemann-overflate , siden ikke-orienterbare overflater ikke tillater komplekse strukturer .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Papirmodellen til Möbius-stripen diskutert i første avsnitt kan utvikles på flyet . Derfor forsvinner den gaussiske krumningen av slike Möbius-striper. Som vist i avsnittet om parameterisering av en Möbius-stripe, er det også Möbius-strips som ikke kan utvikles på flyet. I følge teoremet egregium er således ikke alle Möbius-striper isometrisk isomorfe til hverandre .

Beregning av variasjoner

Nye funn om den matematiske beskrivelsen av en Möbius-stripe ble publisert i 2007 av forskerne EL Starostin og GHM van der Heijden . Spesielt har de matematisk beregnet formen som en Möbius-stripe laget av en stripe prøver å adoptere av seg selv for å anta den laveste energitilstanden.

litteratur

• Rainer Herges: Möbius, Escher, Bach - Det uendelige båndet i kunst og vitenskap. I: Naturwissenschaftliche Rundschau . 58, 6, 2005, s. 301-310.
• Clifford A. Pickover: The Möbius Strip: Dr. August Möbius fantastiske band i matematikk, spill, litteratur, kunst, teknologi og kosmologi. New York 2006.

weblenker

• Eric W. Weisstein : Moebius Strip . På: MathWorld (engelsk).
• Möbius strip - en webside med filmer (engelsk).
• Bind Möbius-stripen (PDF; 271 kB; engelsk).
• Logo for Tysklands EU-rådsformannskap 2020 - "et sterkt bånd for et samlet Europa"

Individuelle bevis

1. ^ JJ O'Connor, EF Robertson: Johann Benedict Listing. Biografi. I: mathshistory.st-andrews.ac.uk. Hentet 10. april 2020.
2. ↑ ^{a b} Holger Dambeck: Teller. Mysteriet om Möbius-stripen løst. I: Spiegel.de . 19. juli 2007, åpnet 10. april 2020.
3. H SC Hsu, PM Bellan: Studie av magnetisk helisitetsinjeksjon via plasmabehandling ved hjelp av et høyhastighets digitalkamera . I: IEEE Transactions on Plasma Science . teip 30 , nei 1 , februar 2002, s. 10-11 , doi : 10.1109 / TPS.2002.1003898 . 
4. ^ VB Gerritsen: Proteinet med en topologisk vri. I: Protein Spotlight 20. utgave 20. mars 2002, åpnet 10. april 2020.
5. ↑ F.eks. Anne Schloen: Renessansen av gull. Gull i 1900-tallets kunst. (PDF; 1,8 MB). I: Uni-Koeln.de. Avhandling ved det filosofiske fakultetet ved Universitetet i Köln, kapittel 2.2. Köln 2006, åpnet 10. april 2020.
6. ↑ Den føderale regjeringen presenterer motto, nettside og logo. I: eu2020.de. 29. mai 2020, åpnet 12. april 2021 . 
7. ↑ Angel Sanctuary . Volum 3. Carlsen Comics, 1995, s. 92.
8. ↑ Charlie Sorrel: Real Möbius Gear Will Melt Your Mind. I: Wired.com. 4. juli 2011, åpnet 10. april 2020 . 
9. ↑ Lavendelheks: Möbius skjerf. I: Lavendelhexe.net. 31. desember 2009, åpnet 10. april 2020 . 
10. ^ Anne Steiner: Produksjonen på Volkstheater - Bettina Bruinier (regi). I: Solaris etter Stanislaw Lem - materialer for iscenesettelse. 27. november 2011.
11. ↑ Patent DE400399 : Enhet for fotografisk innspilling av lyder og reproduksjon av dem. Publisert 6. august 1924 , søker: Dr. Lee de Forest. ‌
12. ↑ NTZ. Utgave 1, januar 1964, s. 24-34.
13. ^ W. Hilberg: En 500 Mc Twisted Ring Counter hvis oppløsning er begrenset kun av gateomkoblingshastighet . I: Nukleære instrumenter og metoder . teip 33 , 1965, s. 322-324 , doi : 10.1016 / 0029-554X (65) 90064-9 . 
14. ↑ JM Pond: Mobius dual-mode resonators og bandpass filters . I: IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. teip 48 , 2000, s. 2465-2471 , doi : 10.1109 / 22.898999 . 
15. ↑ Patent US3267406 : Ikke-induktiv elektrisk motstand. Publisert 16. august 1966 , Oppfinner: Richard L. Davis. ‌
16. ^ R. Pérez-Enríquez: En strukturell parameter for høy Tc superledningsevne fra en Octahedral Moebius-stripe i RBaCuO: 123 perovskitter . I: pastor Mex. F skarp. 48, supplement 1, mars 2002, s. 262-267 , arxiv : cond-mat / 0308019 . 
17. On Gaston R. Schaller, Rainer Herges: Möbius-molekyler med vendinger. I: Chem. Comm. 2013, s. 1254-1260.
18. ^ Oleg Lukin, Fritz Vögtle : Knotting and Threading of Molecules: Chemistry and Chirality of Molecular Knots and Their Assemblies . I: Angew. Chem. Int. Ed. teip 44 , 2005, s. 1456-1477 , doi : 10.1002 / anie.200460312 . 
19. ↑ Atsushi Yamashiro, Yukihiro Shimoi, Kikuo Harigaya, Katsunori Wakabayashi: Nye elektroniske stater i grafenbånd - konkurrerende spinn- og ladeordrer . I: Physica E . teip 22 , 2006, s. 688-691 , doi : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 , arxiv : cond-mat / 0309636v1 . 
20. ^ Manfredo Perdigão do Carmo: Differensiell geometri av kurver og overflater. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 , s. 106 ( PDF; 18,7 MB ).
21. ↑ Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic: Anvendt differensiell geometri. En moderne introduksjon . World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-614-0 , pp. 18 . 
22. ↑ Möbius stripe . I: Guido Walz (red.): Matematikkleksikon . 1. utgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
23. ↑ EL Starostin, GHM van der Heijden: Formen på en Möbius strimmel. 2007, abstrakt. I: Nature Materials ( PDF; 442 kB ).