Lot (matematikk)

Loddelinje fra ett punkt til en rett linje med loddpunkt${\ displaystyle l}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle L}$

I geometri, en perpendikulær er et segment eller rett linje som er vinkelrett i forhold til en gitt rett linje eller plan . Avhengig av om det er en rett linje eller en linje, snakker man om en vinkelrett linje eller en vinkelrett linje . Skjæringspunktet mellom vinkelrett og gitt rett linje eller plan kalles vinkelrett base . Loddeboben kan konstrueres geometrisk på forskjellige måter med kompass og linjal . Det kan beregnes ved å bestemme en normal vektor av den rette linjen eller planet eller ved ortogonal projeksjon av et punkt utenfor den rette linjen eller planet. Den lengde av loddlinjen er da bare den avstand (normal avstand) til et punkt fra den rette linje eller plan.

definisjon

Et segment eller en rett linje kalles vinkelrett på en rett linje eller et plan , hvis ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle l \ perp g}$   eller.   ${\ displaystyle l \ perp E}$

gjelder hvis den er vinkelrett på rett linje eller plan og dermed danner en rett vinkel med den. Lodlinjen er da skjæringspunktet eller vinkelrett på den rette linjen eller planet. ${\ displaystyle l \ cap g}$${\ displaystyle l \ cap E}$

Geometriske konstruksjoner

Rørledningen kan enkelt konstrueres i to dimensjoner på en rett linje med kompass og linjal . Avhengig av om et gitt punkt ligger på rett linje eller utenfor, snakker man om å montere eller felle loddrett. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$

Å bygge tomten

Hvis det er et punkt på den rette linjen , kan den vinkelrette linjen gjennom dette punktet bli funnet som følger: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$

Kompasset settes inn i punktet, og ved å tegne en hvilken som helst bue av en sirkel, blir to punkter bestemt på samme avstand fra . Deretter forstørrer du kompassets vinkel, gjennomborer det i et av de to punktene som er funnet, og ved å tegne to buer finner du et punkt (med to mulige) utenfor den rette linjen med samme avstand fra de to punktene. Den rette linjen som går gjennom dette punktet og det gitte punktet er da vinkelrett på gjennom . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$

Et alternativ til å sette loddrett på en rett linje gjennom punktet med begrenset plass er vist på bildet til høyre. Den enkle konstruksjonen kan beskrives på følgende måte: Du tegner en bue med radien rundt et fritt valgbart punkt til det krysser den rette linjen inn (f.eks. Kan du velge slik at en imaginær linje fra til til rett linje danner en vinkel på ca. 45 °). En linje trekkes deretter gjennom til den krysser sirkelbuen . Den endelige linjen som går gjennom og er deretter vinkelrett på gjennom . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ overline {MP}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$

Å etablere en vinkelrett vinkelrett på to punkter.		Bygger mye ved hjelp av Thaleskreis . Punktets posisjon kan velges fritt.${\ displaystyle M}$

Felling Lot

Felling Lot

Alternativ metode for å felle loddbobben

Er et punkt utenfor den rette linjen gitt, så finner man ved loddet på som følger: Det gjennomborer sirkelen i punktet og bestemmes ved å tegne en sirkelbue med en stor radius som tilsvarer to punkter like langt fra . Deretter gjennomborer du ett av de to punktene som er funnet, og ved å tegne to buer (med tilstrekkelig stor radius) finner du et annet punkt med samme avstand fra de to punktene. Den rette linjen som går gjennom dette punktet og det gitte punktet er deretter loddlinjen til gjennom og skjæringspunktet mellom denne loddlinjen med er loddlinjen . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle F}$

En alternativ konstruksjon for å slippe vinkelrett på en rett linje fra et gitt punkt er å sette inn kompasset på et hvilket som helst to punkter og på den rette linjen og å tegne sirkelen som går gjennom det gitte punktet . Disse to sirklene krysser seg deretter på et annet punkt utenfor den rette linjen og linjen som går gjennom og er deretter vinkelrett gjennom . Denne konstruksjonen kan også brukes til refleksjoner . ${\ displaystyle M_ {1}}$${\ displaystyle M_ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle P}$

beregning

I analytisk geometri , punkter i den euklidske plan eller i er euklidsk rom representeres ved posisjons vektorer ved hjelp av et kartesisk koordinatsystem

${\ displaystyle {\ vec {OP}} = (x, y)}$   eller.   ${\ displaystyle {\ vec {OP}} = (x, y, z)}$

beskrevet. Rette linjer i planet er vanligvis i parametrisk form av en rettlinjeligning

${\ displaystyle g: {\ vec {x}} = {\ vec {a}} + r \ cdot {\ vec {u}}}$

gitt, posisjonsvektoren til et rett linjepunkt (støttevektor), en retningsvektor for den rette linjen og en ekte rett linje- parameter . Fly i rommet kan gis som en planligning i parametrisk form. ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle E: {\ vec {x}} = {\ vec {a}} + r \ cdot {\ vec {u}} + s \ cdot {\ vec {v}}}$

gitt, hvor og er reelle planparametere, og og to spennvektorer av planet som ikke er kollinære . To vektorer og i planet eller i rommet danner en rett vinkel hvis deres skalære produkt gjelder. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}} = 0}$

Å bygge tomten

En retningsvektor vinkelrett på en gitt rett linje eller et plan er en normal vektor av rett linje eller plan. I det todimensjonale tilfellet oppnås en normalvektor av en rett linje ved å bytte de to komponentene i retningsvektoren og reversere tegnet på en av de to komponentene , f.eks. B. til ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, u_ {2})}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} = (u_ {2}, - u_ {1})}$.

En normal vektor av et plan kan bli funnet gjennom kryssproduktet av to ikke-kollinære spennvektorer ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}}$

å beregne. Hvis det er et punkt med posisjonsvektoren på den rette linjen, er ligningen vinkelrett${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle h: {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + r \ cdot {\ vec {n}}}$,

der parameteren krysser alle reelle tall. En rett linje i rommet har ikke en særegen normal retning , men har et vinkelrett plan ved hvert rette linjepunkt , hvis normale vektorer er i linje med retningsvektorene til de rette linjene. ${\ displaystyle r}$

Felling Lot

Den vinkelrette linjen fra et punkt med posisjonsvektoren til en rett linje i det todimensjonale tilfellet eller et plan i det tredimensjonale tilfellet beregnes ved hjelp av normalvektoren${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle h: {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + r \ cdot {\ vec {n}}}$.

Loddlinjen kan beregnes som skjæringspunktet til med , eller . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$

For en rett linje i et tredimensjonalt rom brukes den normale vektoren til et hjelpeplan som inneholder punktet og er vinkelrett på den rette linjen. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle P}$

Alternativt får man direkte nadirpunktet til posisjonsvektoren til planet eller i rommet med normalvektoren som den ortogonale projeksjonen${\ displaystyle {\ vec {OF}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ displaystyle {\ vec {OF}} = {\ vec {p}} - {\ frac {({\ vec {p}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}}} {{\ vec {n}} \ cdot {\ vec {n}}}} \, {\ vec {n}}}$, hvor er støttevektoren til , og .${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$

Det er også mulig å slippe vinkelrett fra et punkt i rommet til en rett linje i rommet. Hvis en retningsvektor er den rette linjen og støttevektoren, oppnås posisjonsvektoren til loddlinjen gjennom ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {OF}}}$

${\ displaystyle {\ vec {OF}} = {\ vec {a}} + {\ frac {({\ vec {p}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {u}}} {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}} \, {\ vec {u}}}$.

Rørledningen er punktet på den rette linjen eller på flyet som har den minste avstanden til den. Den lengde av den loddlinjen, som er beregnet med beløpet , kalles avstand fra bruk av en lineær eller plan . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle | {\ vec {PF}} |}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$

eksempel

Flyet gjennom støttevektoren så vel som strekkvektorene og er gitt${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle E: {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}} + r {\ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \ end { pmatrix}} + s {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$

En normal vektor av planet er da

${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \ end {pmatrix}} \ times {\ begin {pmatrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 6 \\ - 6 \ end {pmatrix}}}$

eller lettere . Den vinkelrette linjen gjennom støttepunktet med på har således for eksempel den rette linjeligningen ${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle h: {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}} + r \, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \ ,, \; r \ in \ mathbb {R}}$.

Hvis posisjonsvektoren til et punkt utenfor planet er gitt, får man for loddlinjen til loddlinjen fra opp til med støttevektoren med ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ begin {pmatrix} 8 \\ 8 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ vec {OF}} = {\ begin {pmatrix} 8 \\ 8 \\ - 1 \ end {pmatrix}} - {\ frac {\ left [{\ begin {pmatrix} 8 \\ 8 \ \ -1 \ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix}} \ høyre] \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}}} {{\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}}}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 8 \\ 8 \\ - 1 \ end {pmatrix}} - {\ frac {27} {9}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \ end {pmatrix}}}$.

Avstanden til punktet fra flyet tilfredsstiller altså ${\ displaystyle d (P; E)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle d (P; E) = d (P; F) \; {\ widehat {=}} \; | {\ vec {PF}} | = \ left | {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \ end {pmatrix}} - {\ begin {pmatrix} 8 \\ 8 \\ - 1 \ end {pmatrix}} \ høyre | = \ venstre | {\ begynn {pmatrix} -3 \\ - 6 \ \ 6 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ sqrt {81}} = 9}$.

litteratur

• Harald Scheid , Wolfgang Schwarz: Element av geometri. 4. utgave. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-8274-1697-1 , s.9 .
• Vinkelrette rette linjer . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 

weblenker

• Eric W. Weisstein : Vinkelrett . På: MathWorld (engelsk).
• Warren Buck: Kompass og rett konstruksjon av vinkelrett . I: PlanetMath . (Engelsk)