Gromov-produkt

I matematikk er Gromov-produktet , oppkalt etter Mikhail Leonidowitsch Gromow , et konsept fra teorien om metriske rom . Den måler tydelig hvor lenge to geodesikk som begynner på et punkt holder seg "tett sammen".

definisjon

La det være et metrisk rom og . Den Gromov produkt av og i er definert som ${\ displaystyle (X, d)}$${\ displaystyle x, y, z \ i X}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle (y, z) _ {x} = {\ frac {1} {2}} {\ big (} d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) {\ stor)}.}$

Eksempel på et metrisk tre, alle kantene har lengde 1.

Euklidisk plan: ${\ displaystyle (A, B) _ {C} = p}$

Eksempler

Trær

I en metrisk tre , nøyaktig lengden på krysningen av de (tvetydig) korteste forbindelser fra til og fra til . På bildet til høyre (alle kanter skal ha lengde 1) er ${\ displaystyle (y, z) _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle (b, w) _ {m} = 0, (b, i) _ {m} = 1, (e, i) _ {m} = 2}$.

Euklidisk fly

For en trekant ABC i den euklidske plan , lengden av seksjonen på linjen (eller ) fra til kontaktpunktet av linjen med den innskrevne sirkel av trekanten er nøyaktig . På bildet nedenfor er høyre . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle (A, B) _ {C}}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle (A, B) _ {C} = p}$

kjennetegn

• Symmetri: .${\ displaystyle (y, z) _ {x} = (z, y) _ {x}}$

• Degenerasjon i endepunkter: .${\ displaystyle (y, z) _ {y} = (y, z) _ {z} = 0}$

• For alle og ,${\ displaystyle p, q, x, y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle d (x, y) = (x, z) _ {y} + (y, z) _ {x},}$

${\ displaystyle 0 \ leq (y, z) _ {x} \ leq \ min {\ big \ {} d (y, x), d (z, x) {\ big \}},}$

${\ displaystyle {\ big |} (y, z) _ {p} - (y, z) _ {q} {\ big |} \ leq d (p, q),}$

${\ displaystyle {\ big |} (x, y) _ {p} - (x, z) _ {p} {\ big |} \ leq d (y, z).}$

• De Gromov produkt måler hvor lang tid geodesics forblir nær hverandre: Ved og tre punkter i et -hyperbolischen metrisk plass, deretter fjerne segmenter av lengden av de to geodesics av etter og etter at ikke mer enn en avstand fra hverandre.${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle (y, z) _ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle 2 \ delta}$

• Et metrisk rom er nøyaktig da - hyperbolisk hvis det er for alle og i sannhet${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle p, x, y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle (x, z) _ {p} \ geq \ min {\ big \ {} (x, y) _ {p}, (y, z) _ {p} {\ big \}} - \ delta .}$

Gromov-kant

Gromov-grensen til et δ- hyperbolsk metrisk rom er definert som settet med ekvivalensklasser av sekvenser med (såkalte tillatte sekvenser , det er klart vi har å gjøre med sekvenser som divergerer mot uendelig) med hensyn til ekvivalensforholdet${\ displaystyle \ partial _ {\ infty} X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ i N} \ delmengde X}$${\ displaystyle \ lim _ {i, j \ to \ infty} (x_ {i}, x_ {j}) _ {0} = \ infty}$

${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ i N} \ sim (y_ {n}) _ {n \ i N} \ Longleftrightarrow \ lim (x_ {n}, y_ {n}) _ {o} = \ infty}$

for ethvert (fast) grunnpunkt . Den topologi av den Gromov grense bestemmes av omgivelsene basis${\ displaystyle o \ i X}$

${\ displaystyle U (\ xi, r): = \ left \ {\ eta \ in \ partial _ {\ infty} X: \ eksisterer (x_ {i}), (y_ {j}) \ sd \ \ xi = \ venstre [x_ {i} \ høyre], \ eta = \ venstre [y_ {j} \ høyre], \ liminf _ {i, j \ til \ infty} (x_ {i}, y_ {j}) _ { o} \ geq r \ right \}, \ xi \ in \ partial _ {\ infty} X, r \ geq 0}$

Gromov-produktet kan gjøres om til en kontinuerlig funksjon

${\ displaystyle (.,.) _ {o} \ kolon \ delvis _ {\ infty} X \ ganger \ delvis _ {\ infty} X \ til \ venstre [0, \ infty \ høyre]}$

Fortsette.

litteratur

• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Redigert av É. Ghys og P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4