Gromov hyperbolsk rom

I matematikk er et Gromov hyperbolsk rom et rom med "jevnt tynne trekanter". Dette begrepet aksiomatiserer og generaliserer rom med negativ krumning og har vist seg nyttig i mange områder av matematikken.

definisjon

En geodetisk trekant i en negativ buet overflate

Et geodetisk metrisk rom kalles δ-hyperbolsk for noen δ≥0 hvis alle geodetiske trekanter er δ-tynne , dvs. H. hver kant av trekanten er inneholdt i δ-nabolaget til foreningen av de to andre kantene:

${\ displaystyle [x, y] \ subseteq U _ {\ delta} ([y, z] \ cup [z, x]),}$

${\ displaystyle [y, z] \ subseteq U _ {\ delta} ([z, x] \ cup [x, y]),}$

${\ displaystyle [z, x] \ subseteq U _ {\ delta} ([x, y] \ cup [y, z]).}$

Denne tilstanden er for eksempel for geodetiske trekanter i trær med eller i det hyperbolske planet med met, vanligvis for geodetiske trekanter i ganske enkelt sammenkoblede negative Riemannian manifolds snittkurver . ${\ displaystyle \ delta = 0}$${\ displaystyle \ delta = ln ({\ sqrt {2}} + 1)}$

En δ-tynn trekant

Et metrisk rom kalles Gromov hyperbolsk hvis det er δ-hyperbolt for noen δ≥0.

Tilsvarende kan hyperbolisitet defineres ved hjelp av Gromov-produktet . Et metrisk mellomrom er δ- hyperbolsk hvis det holder for alle p , x , y og z i X.

${\ displaystyle (x, z) _ {p} \ geq \ min {\ big \ {} (x, y) _ {p}, (y, z) _ {p} {\ big \}} - \ delta .}$

Den δ hyperbolitet med hensyn til den første definisjonen er ekvivalent med den δ hyperbolitet med hensyn til den andre definisjonen med en eventuelt annen verdi av konstanten δ .

Hyperboliske grupper

En hyperbolsk gruppe er en begrenset generert gruppe hvis Cayley-graf for et endelig genereringssystem er δ-hyperbolsk for en δ> 0. (Med unntak av konstant δ, er denne tilstanden uavhengig av valget av det endelige genereringssystemet.)

Gromov-kant

Gromov-grensen til et δ- hyperbolsk metrisk rom er definert som settet med ekvivalensklasser av sekvenser med hensyn til ekvivalensrelasjonen${\ displaystyle \ partial _ {\ infty} X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ i N} \ delmengde X}$

${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ i N} \ sim (y_ {n}) _ {n \ i N} \ Longleftrightarrow \ lim (x_ {n}, y_ {n}) _ {o} = \ infty}$

for ethvert (fast) grunnpunkt . ${\ displaystyle o \ i X}$

Den topologi av den Gromov grense er bestemt av det miljø bunnen består av settene

${\ displaystyle U (\ xi, r): = \ left \ {\ eta \ in \ partial _ {\ infty} X: \ eksisterer (x_ {i}), (y_ {j}) \ sd \ \ xi = \ venstre [x_ {i} \ høyre], \ eta = \ venstre [y_ {j} \ høyre], \ liminf _ {i, j \ til \ infty} (x_ {i}, y_ {j}) _ { o} \ geq r \ right \}}$

med . ${\ displaystyle \ xi \ in \ partial _ {\ infty} X, r \ geq 0}$

Gromov-produktet kan gjøres om til en kontinuerlig funksjon

${\ displaystyle (.,.) _ {o} \ kolon \ delvis _ {\ infty} X \ ganger \ delvis _ {\ infty} X \ til \ venstre [0, \ infty \ høyre]}$

Fortsette.

litteratur

• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Redigert av É. Ghys og P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4