Geometrisk gruppeteori

Den geometriske gruppeteorien er den delen av gruppeteorien som legger særlig vekt på samspillet mellom geometriske objekter og gruppene som opererer på dem . Det handler spesielt om gruppeoperasjoner på grafer og metriske mellomrom , til slutt blir gruppene selv slike geometriske objekter.

Konsernets virksomhet

Hvis en kategori er og er et objekt i denne kategorien, er settet med automorfismer en gruppe. Hver homomorfisme av en gruppe i denne automorfismegruppen kalles da en representasjon eller operasjon av on . Hvis for eksempel kategorien er vektorrom med lineære kartlegginger , får man den klassiske representasjonsteorien til grupper , der hvert gruppeelement blir kartlagt til en vanlig matrise etter å ha valgt et vektorromsgrunnlag . Hvis kategorien for alle sett ikke er noe annet enn gruppen av alle permutasjoner på settet . Disse to tilnærmingene, matrisegrupper og permutasjonsgrupper, lå i begynnelsen av gruppeteorien. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} _ {\ mathcal {C}} (X)}$ ${\ displaystyle X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle G \ rightarrow \ mathrm {Aut} _ {\ mathcal {C}} (X)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} _ {\ mathcal {C}} (X)}$${\ displaystyle X}$

I geometrisk gruppeteori brukes i stedet kategorier, hvis objekter har en mer geometrisk karakter, nemlig grafer og metriske rom med passende morfismer . Automorfismegruppene har vært brukt i lang tid for å undersøke objektenes symmetriegenskaper . Omvendt kan imidlertid gruppegenskaper studeres gjennom deres operasjoner på objekter, og gruppene selv kan gjøres til geometriske objekter, slik at geometriske konseptformasjoner blir meningsfylte for disse gruppene.

Cayley- grafen oppkalt etter Arthur Cayley er tildelt hver gruppe og et genereringssystem for denne gruppen . Nodene i disse grafene er selve gruppeelementene, og hver to noder er forbundet med en kant hvis en av nodene er produktet av den andre og et element i genereringssystemet. Gruppen opererer på denne grafen ved å multiplisere fra venstre, fordi nodene i seg selv er gruppeelementer. Gruppeseiendommer overføres til operasjonsegenskaper på grafer. For eksempel kan gratis grupper preges av at de opererer fritt på et tre . Siden sistnevnte tydeligvis overføres til undergrupper , får man et elegant bevis på Nielsen-Schreiers teorem , ifølge hvilken hver undergruppe i en fri gruppe er fri igjen. Dette er en rent algebraisk teorem, som også har rent algebraiske bevis, men hvis geometrisk motiverte bevis som er angitt her, er lettere tilgjengelig. Dette regnes som en standard anvendelse av geometrisk gruppeteori.

Kva-isometri

Som regel begrenser man seg til begrensede genererte grupper, for bare for begrensede genererende systemer får man en Cayley-graf der bare endelig mange kanter starter fra hver node. I et ytterligere trinn vurderer man endelig genererte grupper ved hjelp av Cayley-grafer som metriske mellomrom med banelengden mellom to noder som avstand. Som grafen sammenhengende er å alltid finne måter å begrense lengden. Hvis du bytter ut hver kant med et isometrisk bilde av enhetsintervallet uten å overlappe hverandre , får du til og med et geodetisk metrisk område som inneholder noder i kaley-grafen som underområde. På klassen av slike rom vurderer man ekvivalensklasser av kvasi-isometrier som morfismer , hvorved to kvasi-isometrier kalles ekvivalente hvis de har en begrenset avstand. Her spiller Švarc-Milnor-setningen en viktig rolle, som etablerer kvasi-isometri mellom grupper og de metriske områdene de opererer på. Nå kan man til og med snakke om kvasi-isometrien til to grupper, nemlig kvasi-isometrien til de tilknyttede metriske rom, og det er ikke lenger noen avhengighet av det valgte endelige genereringssystemet med hensyn til kvasi-isometrien. For eksempel er gruppen kvasi-isometrisk til det metriske rommet , men ikke for gruppen , fordi sistnevnte ikke engang er endelig. Det er et av hovedmålene for geometrisk gruppeteori å forstå klassifiseringen av de endelig genererte gruppene med hensyn til kvasi-isometri.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Det enkleste og samtidig trivielle tilfellet er det for de endelige gruppene , fordi disse er preget av Cayley-grafer med endelig diameter og derfor danner en enkelt kvasi-isometrisk klasse. Den geometriske gruppeteorien er derfor triviell for endelige grupper. Det neste, enklere tilfellet er den kvasi-isometriske klassen av , som består av nettopp de gruppene som inneholder en undergruppe som er for isomorf med en endelig indeks . Dette inkluderer grupper av arten eller den uendelige dihedrale gruppen . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} / (n)}$

Det er utallige mange kvasi-isometriske klasser av endelig genererte grupper, og en komplett klassifisering ser ut til å være langt unna. For å komme nærmere en mulig klassifisering ned til kvasi-isometri, er man interessert i egenskaper invariante under kvasi-isometri, slike invariante egenskaper kalles geometriske. Mange vidtrekkende resultater oppnås fra algebraiske karakteriseringer av geometriske egenskaper. Et viktig eksempel er veksten av grupper . Kvasi-isometriske grupper tilhører samme vekstklasse, det vil si at vekstklassen er en geometrisk egenskap, og ifølge Gromovs teorem har en gruppe polynomvekst hvis og bare hvis den har en nilpotent undergruppe med en endelig indeks. Andre viktige geometriske egenskaper er for eksempel indirekte eller hyperbolisitet av grupper. Spesielt sistnevnte er et overbevisende eksempel på hvordan rent geometriske konseptformasjoner i geometrisk gruppeteori blir gruppeegenskaper. Disse har da rent algebraiske konsekvenser, for eksempel ordproblemet for hyperbolske grupper er løst eller alle uendelige hyperbolske grupper har et element av uendelig rekkefølge . Omvendt, resultatene av geometrisk gruppeteori bidrar til forståelsen av geometriske objekter, for eksempel blir den grunnleggende gruppen til en kompakt , tilkoblet Riemannian manifold uten grense endelig generert, opererer på den universelle superposisjonen ved hjelp av dekseltransformasjoner , og denne operasjonen representerer en kvasi-isometri mellom den fundamentale gruppen og universelt overlegg som metrisk område. Gruppegenskapene til de grunnleggende gruppene har konsekvenser for geometrien til de Riemanniske manifoldene.

Individuelle bevis

1. ^ Stephan Rosebrock: Geometrisk gruppeteori , Vieweg-Verlag 2004, ISBN 3-528-03212-X
2. Hopp opp ↑ Pierre de la Harpe: Topics in Geometric Group Theory , University Of Chicago Press 2000, ISBN 0-226-31721-8
3. ↑ Clara Löh: Geometric Group Theory , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5 , side 127
4. ^ Clara Löh: Geometric Group Theory , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5 , definisjon 5.6.6
5. ↑ Clara Löh: Geometric Group Theory , Springer-Verlag 2017, ISBN 978-3-319-72253-5 , Corollary 5.4.10