Euklidisk ring

I matematikk er en euklidisk ring en ring der det er en generalisert divisjon med resten , som kjent fra heltall . "Resten" defineres av en passende evalueringsfunksjon .

Definisjoner

Det finnes en rekke forskjellige, men like definisjoner av en euklidisk ring i litteratur og i akademisk og vitenskapelig praksis. Ofte inneholder de allerede mer spesifikke egenskaper, for eksempel: B. kan gi lindring i formuleringen av teorien som er spent nedenfor. Imidlertid har alle disse definisjonsvariantene til felles at i en euklidisk ring er en divisjon av resten og dermed en euklidisk algoritme for å bestemme den største fellesdeleren (GCD) av to ringelementer mulig. Navnet er avledet fra denne eiendommen.

versjon 1

En integritetsring (også kjent som et integritetsdomene , dvs. en kommutativ , nulldelerfri ring med 1) kalles en euklidisk ring hvis det er en evalueringsfunksjon med følgende egenskaper: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g \ colon R \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {N} _ {0}}$

• for alle med eksisterer elementer med (inndeling med resten) , hvor er enten eller , og${\ displaystyle x, y \ i R}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle q, r \ i R}$${\ displaystyle x = qy + r}$ ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle g (r) <g (y)}$
• for gjelder alltid .${\ displaystyle x, y \ i R \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle g (xy) \ geq g (x)}$

Evalueringsfunksjonen kalles da også ringens euklidiske normfunksjon (euklidisk mengde) . ${\ displaystyle g}$

Variant 2

Ovennevnte definisjon er nesten ekvivalent med følgende, også ofte brukt, der det imidlertid også blir gitt en evaluering for null.

Definisjon:
En integritetsring kalles en euklidisk ring hvis det er en evalueringsfunksjon med følgende egenskaper: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g \ colon R \ to \ mathbb {N} _ {0}}$

• ${\ displaystyle g (0) = 0,}$
• for alle med eksisterer elementer med (inndeling etter rest) , hvor er, og${\ displaystyle x, y \ i R}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle q, r \ i R}$${\ displaystyle x = qy + r}$ ${\ displaystyle g (r) <g (y)}$
• for gjelder alltid .${\ displaystyle x, y \ i R \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle g (xy) \ geq g (x)}$

Variasjon 3

En annen variant gir følgende

Definisjon:
En integritetsring (bare her: en kommutativ, nulldelerfri ring med minst ett element som ikke er null) kalles en euklidisk ring , hvis en gradfunksjon eksisterer med følgende egenskaper: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g \ colon R \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {N} _ {0}}$

• for alle med eksisterer elementer med (inndeling med resten) , hvor er enten eller .${\ displaystyle x, y \ i R}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle q, r \ i R}$${\ displaystyle x = qy + r}$ ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle g (r) <g (y)}$

Variant 3 ser bare ut til å være svakere. Følgende gjelder faktisk: Hvis en av de tre ovennevnte evalueringsfunksjonene finnes på en integritetsring (med 1), finnes det også evalueringsfunksjoner som tilsvarer de to andre definisjonene. Det følger at de tre definisjonene av euklidisk ring er ekvivalente, selv om definisjonen av evalueringsfunksjon er forskjellig.

En annen mye mer generell, men sjelden brukt variant, der evalueringsfunksjonen er virkelig verdsatt, tilsvarer ikke nødvendigvis definisjonene ovenfor:

Variasjon 4

Definisjon:
En integritetsring kalles en euklidisk ring hvis en verdifunksjon (eller evalueringsfunksjon) eksisterer med følgende egenskaper: ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g \ colon R \ setminus \ {0 \} \ to \ mathbb {R}}$

• for alle med eksisterer elementer med (inndeling med resten) , hvor er enten eller , og${\ displaystyle x, y \ i R}$${\ displaystyle y \ neq 0}$${\ displaystyle q, r \ i R}$${\ displaystyle x = qy + r}$ ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle g (r) <g (y)}$
• for et gitt det er på de fleste finitely mange reelle tall fra utvalget av som er mindre enn . Mer formelt : .${\ displaystyle s \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle W {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {g (a) \ mid a \ in R \ setminus \ {0 \} \}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ eksisterer n \ i \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ operatorname {card} \ {w_ {i} \ in W \ mid w_ {i} <s \} = n}$

eiendommer

• Følgende gjelder evalueringsfunksjonene til variant 1 og 2: Tilknyttede elementer blir evaluert identisk; spesielt er enhetene de minimalt evaluerte elementene i ringen (bortsett fra null-elementet).
• Det kan vises at hver euklidisk ring har en minimal evalueringsfunksjon ; dette er av ovennevnte variant 2. Det er til og med en algoritme for dets iterative bestemmelse. Imidlertid er det vanligvis veldig arbeidskrevende å finne et lukket skjema for denne minimale evalueringsfunksjonen.
• Hver euklidisk ring er et hovedområde av ideal , for hvis det er et minimum verdsatt element av et ideal , så er det derfor et hovedideal . Spesielt er hver euklidisk ring faktoriell .${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I = (a)}$

Eksempler på euklidiske og ikke-euklidiske ringer

• Ringen av hele tall er en euklidisk ring. Det mest naturlige valget for et euklidisk beløp er Det minste euklidiske beløpet til et helt tall er gitt av lengden på den binære representasjonen av dets absolutte mengde.${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle x \ mapsto | x |.}$
  
• Hver kropp er en euklidisk ring med evalueringsfunksjon og for${\ displaystyle K}$${\ displaystyle g (0) = 0}$${\ displaystyle g (a) = 1}$${\ displaystyle a \ i K \ setminus \ {0 \}}$
• Den polynom ring over et legeme i en variabel er en euklidsk ring, hvor den euklidske norm er gitt av graden av et polynom ; dette er allerede den minimale euklidiske normen.${\ displaystyle K [X]}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle X}$
• På den annen side, z. B. polynomringen er ikke en euklidisk ring, siden idealet ikke er et hovedideal .${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$${\ displaystyle (X, 2)}$
• Ringen med gaussiske tall med kvadratnormen (absolutt verdi) er en euklidisk ring.${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$${\ displaystyle g: \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] \ to \ mathbb {N},}$ ${\ displaystyle (a + b \ mathrm {i}) \ mapsto a ^ {2} + b ^ {2}}$
• Ringen er ikke euklidisk fordi 4 og 4 ikke har GCF (to er "maksimale vanlige faktorer" og 2, som imidlertid er relativt primære ).${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-3}}]}$${\ displaystyle 2 + 2 {\ sqrt {-3}}}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-3}}}$
• Den totaliteten ring av den kvadratisk legeme med firkantet fritt er euklidske med kvadratet norm hvis og bare hvis en av de følgende 21 tall er:${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ${\ displaystyle d \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle d}$
  −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73
  ${\ displaystyle d = -1}$Tilsvarer den gaussiske tall , de Eisenstein tall og ringen . Det er imidlertid andre, f.eks B. , for hvilken ringen er euklidisk med en annen norm .${\ displaystyle d = -3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ tfrac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} \ right]}$${\ displaystyle d = 5}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ left [{\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right].}$
  ${\ displaystyle d = 69}$

Generalisering til ringer med null divisorer

Definisjonene kan overføres til ringer som ikke er nulldelerfrie . Ovennevnte utsagn om de forskjellige varianter av definisjoner forblir, der ulikhet for kanskje må kreves. Som i tilfellet med nulldeler, har slike ringer den egenskapen at hvert ideal er et hovedideal . De er derfor en hovedidealring i bredere forstand (" hovedidealring " eller PIR), men ikke et hovedidealområde ("hovedidealdomene" eller PID). ${\ displaystyle g (xy) \ geq g (x)}$${\ displaystyle xy \ neq 0}$

Generalisering til ikke-kommutative ringer

Definisjonene kan til og med generaliseres til ikke-kommutative ringer, man snakker da om venstre eller høyre euklidisk. Den Hurwitzquaternionen er et eksempel på en ikke-kommutativ ring med sin standard som er like den euklidske norm både venstre og rechtseuklidisch.

litteratur

• Siegfried Bosch : Algebra . 7. utgave. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4 , doi: 10.1007 / 978-3-540-92812-6 .
• Jantzen og Schwermer: Algebra . Springer, 2005, ISBN 3-540-21380-5 . doi: 10.1007 / 3-540-29287-X .
• Bernhard Hornfeck: Algebra . 3. Utgave. deGruyter 1976, ISBN 3-11-006784-6

Individuelle bevis

1. ^ Kurt Meyberg: Algebra - Del 1 , Carl Hanser Verlag München, Wien.
2. ^ ^{A b} Pierre Samuel : Om euklidiske ringer . I: Journal of Algebra . teip 19 , nei. 2. oktober 1971, ISSN  0021-8693 , s. 282-301 , doi : 10.1016 / 0021-8693 (71) 90110-4 . 
3. ^ Bernhard Hornfeck: Algebra . 3. utgave, deGruyter 1976. ISBN 3-11-006784-6 , s. 142
4. ↑ László Rédei: På spørsmålet om den euklidiske algoritmen i kvadratiske tallfelt . I: Matematiske annaler . 118, 1942, s. 588-608.
5. ↑ Eric W. Weisstein : Kvadratisk Feltet . På: MathWorld (engelsk).
6. ↑ sekvens A048981 i OEIS
7. ↑ David A. Clark: Et kvadratisk felt som er euklidisk men ikke norm-euklidisk Arkivert fra originalen 29. januar 2015. Info: Arkivkoblingen er satt inn automatisk og er ennå ikke sjekket. Vennligst sjekk originalen og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. I: Manuscripta Math . 83, 1994, s. 327-330. Hentet 8. januar 2013. @1@ 2Mal: Webachiv / IABot / www.math.clemson.edu