Gaussisk nummer

Gaussiske tall som rutenett i det komplekse tallplanet

De gaussiske tallene (etter Carl Friedrich Gauß ; engelsk gaussisk heltall ) er en generalisering av hele tallene i de komplekse tallene . Hvert Gauss-tall ligger på et helt tallkoordinatpunkt for det komplekse planet. Den Gaussiske tall danner totaliteten ring av den kvadrattall felt . I tillegg danner de gaussiske tallene en euklidisk ring og dermed spesielt en faktorring .${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ mathrm {i})}$

En litt mer komplisert generalisering av hele tall som også kan legges inn i det komplekse planet er Eisenstein-tallene .

Historisk bakgrunn

Gaussiske tall ble gitt av Gauss i avhandlingen Theory of Biiquadratic Residues. Andre avhandling (1832, på latin) ble først introdusert.

Den kvadratiske gjensidighetsloven (som Gauss klarte å bevise for første gang i 1796) knytter løsbarheten til kongruens med løsbarheten til . Likeledes kobler den kubiske gjensidighetsloven løsbarheten av kongruens med den og den tosidige gjensidighetsloven er koblingen mellom med . ${\ displaystyle x ^ {2} \ equiv q {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle x ^ {2} \ equiv p {\ pmod {q}}}$${\ displaystyle x ^ {3} \ equiv q {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle x ^ {3} \ equiv p {\ pmod {q}}}$${\ displaystyle x ^ {4} \ equiv q {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle x ^ {4} \ equiv p {\ pmod {q}}}$

Gauss fant at den todelte gjensidighetsloven og tilleggene til den er mye lettere å formulere og bevise enn uttalelser om "hele komplekse tall" (dvs. Gaussiske tall).

I en fotnote (s. 541) nevner han at Eisenstein-tallene er det naturlige området for teoremer om kubisk gjensidighet, og lignende utvidelser av hele tallene er de passende områdene for etterforskning av høyere makter.

Denne avhandlingen inneholder ikke bare innføring av gaussiske tall, men også begrepene norm, enhet, primær og tilhørende, som er standard i algebraisk tallteori i dag.

definisjon

Et Gaussisk tall er gjennom ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g = a + b {\ mathrm {i}}}$

gitt, hvor og er heltall.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Den ring av gaussiske tall kalles også den gaussiske tall ringen og er betegnet med. Han kommer fra ved adjunction av imaginær enhet . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i}}$

De gaussiske tallene er punktene med heltallskoordinater i det gaussiske tallplanet . De danner et todimensjonalt rutenett .

Primære elementer

Den spekteret av illustrerer disse forhold: Den blobs tilsvarer de viktigste elementer i ringen av gaussiske tall som vises i faktorisering av primtallet gitt nedenfor.${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$

Primere elementer i det komplekse planet. Ved å multiplisere med enhetene skapes rotasjonssymmetrien 90 °. Fordi det også er hovedelementer, er hovedelementene også symmetriske med halveringslinjen mellom den virkelige og den imaginære aksen.${\ displaystyle a + \ mathrm {i} b}$${\ displaystyle \ pm (b + \ mathrm {i} a)}$${\ displaystyle a = \ pm b}$

Som i hver ring kan man - analogt med  - også operere i tallteori . Spesielt momenter kan defineres som en generalisering av begrepet primtall . Det unike med hovedfaktorrepresentasjonen gjelder da også for de gaussiske tallene. Prim-elementene i ringen av Gauss-tall er, bortsett fra enhetsfaktorene, nøyaktig primtallene til formen , elementet og elementene som det er et primtall som kan skrives som . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$${\ displaystyle \ pm 1, \ pm \ mathrm {i}}$${\ displaystyle 4k + 3, \ k \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle 1 + i}$${\ displaystyle a + b \ cdot \ mathrm {i}, \ a, b \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = p}$${\ displaystyle p = 4k + 1, \ k \ in \ mathbb {Z}}$

Prim-elementene i ringen av Gauss-tall er nært beslektet med vanlige primtall. De faller i tre klasser (unntatt for forening, dvs. bortsett fra for multiplikasjon med og , i enheter av ringen av gaussiske tall): ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ pm \ mathrm {i}}$

Den doble hovedfaktoren på 2:

Nummeret 2 kan skrives som produktet av hovedelementene og som imidlertid bare skiller seg fra hver enhet. Så og primærfaktorens spaltning gjelder - bortsett fra at faktorene er entydige ${\ displaystyle 1+ \ mathrm {i}}$${\ displaystyle 1- \ mathrm {i}}$${\ displaystyle 1+ \ mathrm {i} = \ mathrm {i} \ cdot (1- \ mathrm {i})}$${\ displaystyle (1+ \ mathrm {i}) (1- \ mathrm {i}) = \ mathrm {i} ^ {3} \ cdot (1+ \ mathrm {i}) ^ {2}}$

${\ displaystyle 2 = \ mathrm {i} ^ {3} \ cdot (1+ \ mathrm {i}) ^ {2}}$

viser at 2 er assosiert med kvadratet til hovedelementet (2 er forgrenet ). ${\ displaystyle 1+ \ mathrm {i}}$

Faktorer for primtall av formen 4 k + 1:

Hvis et primtall er av formen med et naturlig tall , kan det skrives på en i det vesentlige entydig måte som summen av to kvadratall (se setning med to firkanter ) ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = a ^ {2} + b ^ {2}}$ med samvittighet ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z}}$

Deretter

${\ displaystyle p = (a + b \ mathrm {i}) (fra \ mathrm {i})}$

prime faktorisering av , i seg selv er derfor ikke en førsteklasses element i ringen av gaussiske tall, men et produkt av to konjugerte primelementer ( er dekomponert ). For eksempel er ikke et primtall element, men og er to momenter. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 5 = (2+ \ mathrm {i}) (2- \ mathrm {i})}$ ${\ displaystyle 2+ \ mathrm {i}}$${\ displaystyle 2- \ mathrm {i}}$

Primtall for skjemaet 4 k + 3:

Hvis et primtall er av formen med et naturlig tall , så er det også et primtallelement i ringen av gaussiske tall ( forblir primær, det er inert ). ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4k + 3}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

De tre tilfellene beskriver oppførselen til primærelementer når feltet med rasjonelle tall utvides til å danne feltet med Gaussiske tall (opprettet ved hjelp av den imaginære enheten).

primtallsfaktorisering

En primærfaktorisering for ethvert gaussisk tall som er entydig, bortsett fra rekkefølgen av faktorene resulterer i z. For eksempel, hvis man setter og velger den såkalte primære tydelig bestemt av kravet (se nedenfor og kongruenser og resten klasser ) fra de fire assosierte elementene i hvert odde hovedelement og sorterer dem i henhold til deres norm: ${\ displaystyle z \ neq 0}$${\ displaystyle p_ {1} = 1 + \ mathrm {i}}$ ${\ displaystyle p_ {m}}$${\ displaystyle p_ {m} \ equiv 1 {\ pmod {2 + 2 \ mathrm {i}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & p_ {2} = - 1 + 2 \ mathrm {i}, \ quad p_ {3} = - 1-2 \ mathrm {i}, \ quad p_ {4} = - 3, \ quad p_ {5} = + 3 + 2 \ mathrm {i}, \ quad \\ & p_ {6} = + 3-2 \ mathrm {i}, \ quad p_ {7} = + 1 + 4 \ mathrm {i}, \ quad p_ {8} = + 1-4 \ mathrm {i}, \; \ prikker, \; p_ {15} = - 7, \ dotsc \ end {justert}}}$

(åpenbart skal de naturlige primtallene til skjemaet alltid være forsynt med et negativt tegn, fordi ). Ovennevnte definisjon oppfyller åpenbart et viktig kriterium: produktet av ethvert primært gaussisk nummer er også et primært tall . Så du får ${\ displaystyle 4k + 3}$${\ displaystyle 4k + 3 \ equiv 3 \ equiv -1 {\ pmod {2 + 2 \ mathrm {i}}}}$

${\ displaystyle z = {\ mathrm {i}} ^ {k} \ prod _ {m \ in \ mathbb {N}} p_ {m} ^ {\ nu _ {m}}}$med og (selvfølgelig gjelder dette bare et begrenset antall eksponenter ).${\ displaystyle k = 0, \ dotsc, 3}$${\ displaystyle \ nu _ {m} \ geq 0}$${\ displaystyle \ nu _ {m}> 0}$

En annen, ofte brukt primfaktorrepresentasjon oppnås hvis overflødige faktorer utelates, og bare hoveddelene av blir tatt i betraktning, dvs. H. alle med . Dette er tallene . Dette er representasjonen ${\ displaystyle p_ {k} ^ {0} = 1}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle p_ {m}}$${\ displaystyle \ nu _ {m}> 0}$${\ displaystyle q_ {n} \ in \ {p_ {1}, \ dots \}, \; n = 1, \ dots, r}$

${\ displaystyle z = {\ mathrm {i}} ^ {k} \ prod _ {n = 1} ^ {r} q_ {n} ^ {\ mu _ {n}}}$med og${\ displaystyle k = 0, \ dotsc, 3}$${\ displaystyle \ mu _ {n}> 0}$

Euklidisk algoritme og største felles divisor (GCD)

Hvert Gaussisk tall har fire tilknytninger , som er dannet ved multiplikasjon med enhetene og som ligger i alle fire kvadranter i det komplekse tallplanet. En største felles divisor (GCF) av to gaussiske tall er definert som et gaussisk tall med følgende to egenskaper:${\ displaystyle g \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ pm g, \ pm \ mathrm {i} g}$
${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle t}$

1. ${\ displaystyle t | a}$og dvs.: er en vanlig faktor for og .${\ displaystyle t | b, \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$
2. Fra og det følger dvs.: Hver felles faktor for og deler seg også .${\ displaystyle s | a}$${\ displaystyle s | b}$${\ displaystyle s | t, \,}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle t}$

Det følger av dette: Alle gaussiske tall med disse egenskapene (gitt ) er assosiert. GCD er således i hovedsak (bortsett fra tilknyttet) et klart definert Gaussisk tall med vanlig notasjon . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle t = (a, b)}$

Hvis primfaktoriseringen av og er kjent, det vil si GCF blir selvfølgelig umiddelbart gitt av med . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = i ^ {k} \ prod _ {m} p_ {m} ^ {\ nu _ {m}}, \, b = i ^ {n} \ prod _ {m} p_ {m} ^ {\ mu _ {m}}}$${\ displaystyle (a, b) = \ prod _ {m} p_ {m} ^ {\ lambda _ {m}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {m} = \ mathrm {min} (\ nu _ {m}, \ mu _ {m})}$

Illustrasjon av den euklidiske algoritmen

Ellers kan du bruke den euklidiske algoritmen : For å bestemme GCF for to tall , fungerer den på samme måte som for hele tall. Det gjelder alle (spesielt ). Og det er et par gaussiske tall for ${\ displaystyle z_ {0}, z_ {1}}$${\ displaystyle (z_ {0}, 0) = z_ {0}}$${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle (0,0) = 0}$${\ displaystyle z_ {1} \ neq 0}$${\ displaystyle q_ {1}, z_ {2}}$

${\ displaystyle z_ {0} = q_ {1} z_ {1} + z_ {2}}$ og ${\ displaystyle | z_ {2} | <| z_ {1} |.}$

Det er bestemt å være det Gaussiske tallet som er nærmest brøken . For dette er det alltid og , så og følgelig . ${\ displaystyle q_ {1} = m + n \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ xi: = {\ frac {z_ {0}} {z_ {1}}}}$${\ displaystyle \ left | m- \ operatorname {Re} (\ xi) \ right | \ leq {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ left | n- \ operatorname {Im} (\ xi) \ right | \ leq {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle d: = \ left | q_ {1} - \ xi \ right | \ leq d_ {max} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}$${\ displaystyle | z_ {2} | \ leq {\ frac {| z_ {1} |} {\ sqrt {2}}}}$

I så fall fortsetter du med og så videre til . Så søkte GCD : . ${\ displaystyle z_ {2} \ neq 0}$${\ displaystyle z_ {1} = q_ {2} z_ {2} + z_ {3}}$${\ displaystyle | z_ {3} | <| z_ {2} |}$${\ displaystyle z_ {n + 1} = 0}$${\ displaystyle z_ {n}}$${\ displaystyle (z_ {0}, z_ {1}) = z_ {n}}$

Eksempel:
Finn gcd av de gaussiske tallene . Kvotienten er . De fire gaussiske tallene kommer i tvil om. Vi velger f.eks. B. og mottatt . Det neste trinnet er , i. Det vil si at resten er : Algoritmen går i stykker og vi får GCD . ${\ displaystyle z_ {0} = 5 + \ mathrm {i}, \; z_ {1} = 2}$${\ displaystyle {\ frac {z_ {0}} {z_ {1}}} = 2 {,} 5 + 0 {,} 5 \ mathrm {i}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle 2.2+ \ mathrm {i}, 3.3 + \ mathrm {i}}$${\ displaystyle q_ {1} = 2}$${\ displaystyle z_ {2} = z_ {0} -q_ {1} z_ {1} = 5 + \ mathrm {i} -4 = 1 + \ mathrm {i}}$${\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {2} {1+ \ mathrm {i}}} = 1- \ mathrm {i}}$${\ displaystyle z_ {3} = 0}$${\ displaystyle {\ understreket {(5+ \ mathrm {i}, 2) = z_ {2} = 1 + \ mathrm {i}}}}$

Kongresser og resten klasser

To Gauss-tall kalles kongruente med hensyn til en Gauss-modul hvis det er et Gauss-tall med . Du skriver for det . Så er det også en vanlig rest med . Som ovenfor kan faktorene bestemmes på en slik måte som gjelder. ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle z_ {1} -z_ {2} = qz_ {0}}$${\ displaystyle z_ {1} \ equiv z_ {2} {\ pmod {z_ {0}}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle z_ {1} = q_ {1} z_ {0} + r, \, z_ {2} = q_ {2} z_ {0} + r}$${\ displaystyle q_ {1}, q_ {2}}$${\ displaystyle | r | \ leq {\ frac {| z_ {0} |} {\ sqrt {2}}}}$

Den kongruens ${\ displaystyle R_ {z_ {0}}}$ til den modul som induseres i den gaussiske ringe en klassifikasjon . Man definerer som settet av gaussiske tall , hvor: . Settet kalles en restklasse modulo . Følgende gjelder: ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] / R_ {z_ {0}}}$${\ displaystyle {\ bar {a}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z \ equiv a {\ pmod {z_ {0}}}}$${\ displaystyle {\ bar {a}}}$${\ displaystyle z_ {0}}$

${\ displaystyle {\ bar {a}} = {\ bar {b}}}$ nøyaktig når ${\ displaystyle a \ equiv b {\ pmod {z_ {0}}}}$

Å legge til og multiplisere kongruenser er veldig enkelt: Fra og det følger: ${\ displaystyle a_ {1} \ equiv b_ {1} {\ pmod {z_ {0}}}}$${\ displaystyle a_ {2} \ equiv b_ {2} {\ pmod {z_ {0}}}}$

${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} \ equiv b_ {1} + b_ {2} {\ pmod {z_ {0}}}}$

${\ displaystyle a_ {1} \ cdot a_ {2} \ equiv b_ {1} \ cdot b_ {2} {\ pmod {z_ {0}}}}$

Det viser definisjonene

${\ displaystyle {\ bar {a}} + {\ bar {b}}: = {\ overline {a + b}}}$

${\ displaystyle {\ bar {a}} \ cdot {\ bar {b}}: = {\ overline {ab}}}$

er veldefinerte for summen og produktet av restklasser (dvs. uavhengig av representanten) og er derfor berettiget. Med disse operasjonene, er settet av resten klasser danner da en kommutativ ring med en null-element og et ett element , den såkalte resten klasse ring modulo .${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] / R_ {z_ {0}}}$${\ displaystyle {\ bar {0}}}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$${\ displaystyle z_ {0}}$

Eksempler:

1. Det er nøyaktig to restklasser for modulen , nemlig hovedidealet til alle multipler av modulen og som danner et rutemønster i det gaussiske tallplanet. De kan sees på som en utvidelse av de jevne eller odde naturlige tallene og kan derfor kalles (i) jevne Gaussiske tall (Gaussian deler de jevne tallene i halvjevne og jevne, dvs. delbare med 2).${\ displaystyle z_ {0} = 1 + \ mathrm {i}}$ ${\ displaystyle {\ bar {0}} = \ {0, \ pm 2, \ pm 4, \ dotsc, \ pm 1 \ pm \ mathrm {i}, \ pm 3 \ pm \ mathrm {i}, \ dotsc \}}$${\ displaystyle z \ cdot (1+ \ mathrm {i})}$${\ displaystyle {\ bar {1}} = \ {\ pm 1, \ pm 3, \ dotsc, \ pm \ mathrm {i}, \ pm 2 \ pm \ mathrm {i}, \ dotsc \}}$
   
2. Det er nøyaktig fire resterende klasser for den gaussiske modulen , nemlig . (Merk at f.eks. Holder.)${\ displaystyle z_ {0} = 2}$${\ displaystyle {\ bar {0}}, {\ bar {1}}, {\ bar {\ mathrm {i}}}, {\ overline {1+ \ mathrm {i}}}}$${\ displaystyle 1+ \ mathrm {i} \ equiv \ pm 1 \ pm \ mathrm {i} {\ pmod {2}}}$

Komplette gjenværende systemer

Alle 13 restklasser med minimal rest (blå prikker) i en firkant (merket med lysegrønn) til modulen . En restekurs med er f.eks. B. fremhevet med oransje / gule prikker.${\ displaystyle Q_ {00}}$${\ displaystyle z_ {0} = 3 + 2 \ mathrm {i}}$${\ displaystyle z = 2-4 \ mathrm {i} \ equiv {-i} {\ pmod {z_ {0}}}}$

For å bestemme alle restklasser for en modul , kan et kvadratisk rutenett plasseres over det komplekse tallplanet med illustrasjonen . Rutenettlinjene er de rette linjene med og eller . Du deler planet i firkanter (med heltall ) . De fire hjørnepunktene til er de tilknyttede punktene . Hvis det er et jevnt Gauss-tall, så er alle fire Gauss-tall (og også kongruente til hverandre), ellers ingen. I det første tilfellet tar vi f.eks. B. bare hjørnepunktet som tilhører. Innenfor hvert kvadrat er alle gaussiske tall inkongruente hvis de øvre grensene er ekskludert: (hvis gaussiske tall ligger på grenselinjene, så alltid parvise kongruente tall). ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle z (s, t) = (s + \ mathrm {i} t) z_ {0}}$${\ displaystyle s = \ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {3} {2}}, \ dotsc}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t = \ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {3} {2}}, \ dotsc, s \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle Q_ {mn}}$${\ displaystyle m, n}$${\ displaystyle s = \ left [m - {\ frac {1} {2}}, m + {\ frac {1} {2}} \ right), t = \ left [n - {\ frac {1} {2}}, n + {\ frac {1} {2}} \ høyre)}$${\ displaystyle Q_ {00}}$${\ displaystyle {\ frac {\ pm 1 \ pm i} {2}} z_ {0}}$${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle {\ frac {-1- \ mathrm {i}} {2}} z_ {0}}$${\ displaystyle Q_ {00}}$${\ displaystyle s <m + {\ frac {1} {2}}, t <n + {\ frac {1} {2}}}$

Kvadratet beskriver altså alle minimale rester, i den forstand at alle andre elementer i restklassene ikke er mindre når det gjelder mengde (Gauss kaller dem den absolutt minste resten ). ${\ displaystyle Q_ {00}}$

Fra dette kan det med enkle geometriske betraktninger trekkes at antall restklasser for en gitt modul er lik dens norm (med naturlige tall er antall restklasser for en modul trivielt lik den absolutte verdien ). ${\ displaystyle z_ {0} = m + n \ mathrm {i}}$${\ displaystyle N (z_ {0}): = | z_ {0} | ^ {2} = m ^ {2} + n ^ {2}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle | m |}$

Du kan umiddelbart se at alle firkanter er kongruente (inkludert rutenettpunktene). De har sidelengden , dvs. området, og har alle samme antall gaussiske tall, som vi betegner med . I alminnelighet er antallet gitterpunkter i et hvilket som helst kvadrat på området bestemt av . Hvis vi nå vurderer et stort kvadrat laget av firkanter , er det alltid rutenettpunkter i det. Så det som teller er hva som resulterer i Limes . ${\ displaystyle | z_ {0} |}$${\ displaystyle F = | z_ {0} | ^ {2} = m ^ {2} + n ^ {2}}$${\ displaystyle N_ {g}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A + O ({\ sqrt {A}})}$${\ displaystyle k \ times k}$${\ displaystyle Q_ {mn}}$${\ displaystyle k ^ {2} F + O (k {\ sqrt {F}})}$${\ displaystyle k ^ {2} N_ {g} = k ^ {2} F + O (k {\ sqrt {F}})}$${\ displaystyle k \ to \ infty}$ ${\ displaystyle {\ understrek {N_ {g} = F = m ^ {2} + n ^ {2}}}}$

Prim resterende klassegruppe og Eulers Phi-funksjon

Mange teoremer (og bevis) for moduler av heltall kan overføres direkte til moduler med gaussiske tall ved å erstatte modulen med normen. Dette gjelder spesielt hovedgruppegruppen og Fermat-Euler-teoremet, som kort vil bli lagt til her.

Den viktigste restgruppegruppen (pRG) i resten av klassens ringmodul er den multiplikative gruppen av enhetene. Den består av alle rester klasser med for skillelinjen utenlandske , dvs. hvilke: . Antallet av elementene er betegnet som (analogt med Eulers Phi-funksjon for hele tall ). For hovedelementer resulterer det umiddelbart, og for alle (sammensatte) gaussiske tall kan man bruke Eulers produktformel${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ bar {a}}}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (a, z) = 1}$${\ displaystyle \ phi (z)}$ ${\ displaystyle \ varphi (m)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ phi (p) = | p | ^ {2} -1}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ phi (z) = | z | ^ {2} \ prod _ {p_ {m} | z} \ left (1 - {\ frac {1} {| p_ {m} | ^ {2}} } \ Ikke sant)}$

utlede, der produktet skal strekke seg over alle hoveddelere av (med ). ${\ displaystyle z = \ mathrm {i} ^ {k} \ prod _ {m} p_ {m} ^ {\ nu _ {m}}}$${\ displaystyle \ nu _ {m}> 0}$

Den viktige setningen til Fermat-Euler er også umiddelbart overførbar:

Fra følger .${\ displaystyle (a, z) = 1}$${\ displaystyle a ^ {\ phi (z)} \ equiv 1 {\ pmod {z}}}$

Ved hjelp av denne setningen kan du z. B. løse noen diofantiske ligninger for Gauss-tall eksplisitt. La for eksempel som løsninger på den lineære ligningen ${\ displaystyle x, y}$

${\ displaystyle ax + by = c}$

søkte etter gitt gaussiske tall . For dette kan du o. B. d. A. Anta at hver felles deler av og også må være en divisor av (ellers har ligningen ingen løsning) og kan derfor avbrytes. ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle (a, b) = 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

For å gjøre dette, vurder denne ligningen modulo hva som resulterer . Fermat-Euler-teoremet gir da en eksplisitt løsning , nemlig ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle ax \ equiv c {\ pmod {b}}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x \ equiv ca ^ {\ phi (b) -1} {\ pmod {b}}}$,

d. H. alle gaussiske tall på skjemaet med vilkårlige gaussiske faktorer . Dette blir satt inn i utgangsligningen ${\ displaystyle x = ca ^ {\ phi (b) -1} + ub}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle y = c {\ frac {1-a ^ {\ phi (b)}} {b}} - ua}$,

som også er et Gaussisk tall i henhold til Fermat-Eulers teorem.

Uløste problemer

Fordelingen av de gaussiske primtallene i flyet

De fleste av de uløste problemene har å gjøre med fordelingen av gaussiske primtall i flyet.

• Det Gaussiske kretsproblemet (engl. Gauss sirkelproblem) er ikke opptatt av Gaussiske tall per se , men ber om antall gitterpunkter i en sirkel med en gitt radius om opprinnelsen. Dette tilsvarer å bestemme antall gaussiske tall med normen mindre enn en gitt verdi.

To uløste problemer om Gauss-primtall er f.eks. B.

• På de virkelige og imaginære koordinatlinjene er det et uendelig antall gaussiske primtall 3, 7, 11, 19 ... og deres tilhørende. Er det andre rette linjer der det er et uendelig antall primtall? Spesielt: Er det uendelig mange primtall på skjemaet ?${\ displaystyle 1 + k \ mathrm {i}}$

• Er det mulig å vandre gjennom nivået av gaussiske tall til uendelig ved å bruke de gaussiske primtallene som støttepunkter og bare ta skritt av begrenset lengde? Dette er kjent som Gaussian grave problem (engl Gaussian moat problem.) Er kjent; den ble tegnet i 1962 av Basil Gordon og er fortsatt ikke løst.

litteratur

• Peter Bundschuh : Introduksjon til tallteori . 6., reviderte og oppdaterte utgave. Springer-Verlag, Berlin og andre 2008, ISBN 978-3-540-76490-8 . 
• Harald Scheid : Tallteori . 3. Utgave. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg et al. 2003, ISBN 3-8274-1365-6 . 

weblenker

Individuelle bevis

1. Sch Harald Scheid: Tallteori . 3. Utgave. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg et al. 2003, ISBN 3-8274-1365-6 , pp. 108 . 
2. ↑ H. Maser (red.): Carl Friedrich Gauss 'Arithmetic Investigations on Higher Arithmetic. Springer, Berlin 1889, s. 534 ff.
3. ↑ Gaussisk nummer . I: Guido Walz (red.): Matematikkleksikon . 1. utgave. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
4. Bund Peter Bundschuh: Introduksjon til tallteori . 6., reviderte og oppdaterte utgave. Springer-Verlag, Berlin og andre 2008, ISBN 978-3-540-76490-8 , pp. 76 . 
5. ↑ Holger Brenner: Foredrag . (PDF; 79 kB), Osnabrück University.
6. ↑ Herbert Pieper: De komplekse tallene . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00406-0 , s. 119 . 
7. ↑ E. Krätzel: Tallteori . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, s. 17 . 
8. ↑ Ribenboim, Ch.III.4.D Ch.6II, Ch.6IV (Hardy & Littlewoods gjetning E og F)
9. En Ellen Gethner, Stan Wagon, Brian Wick: En spasertur gjennom de gaussiske primtallene . I: American Mathematical Monthly . teip 105 , nr. 4 , 1998, s. 327-337 , doi : 10.2307 / 2589708 (engelsk, matematiske anmeldelser 1.614.871, zbMATH 0946.11002). 
10. ^ Richard K. Guy: uløste problemer i tallteori . 3. Utgave. Springer , 2004, ISBN 978-0-387-20860-2 , pp. 55-57 (engelsk, zbMATH 1058.11001).