Dynamisk biljard

Bunimowitsch Stadium, oppkalt etter Leonid Abramowitsch Bunimowitsch , er et kaotisk biljardbord med to frihetsgrader i form av et stadion. To baner av en partikkel er tegnet i rødt og gult . En egenskap ved kaotiske systemer er at banene avviker sterkt med nesten identiske startforhold.

Sinai biljard, oppkalt etter matematikeren og teoretiske fysikeren Jakow Grigoryevich Sinai

Dynamisk biljard er et dynamisk system som beskriver bevegelsen til et massepunkt som beveger seg uten kraft i et område med en stykkevis glatt kant og reflekteres elastisk ved områdets kanter. I tilfelle av en elastisk refleksjon eller en elastisk innvirkning på en fast gjenstand, blir partikkelenes energi , momentum og hastighet beholdt, og innfallsvinkelen er lik refleksjonsvinkelen . Det er derfor et Hamiltonian-system .

Avhengig av valget av det aktuelle området, kan dynamisk biljard vise all atferd, fra integrerbar til kaotisk . En fordel med biljard over andre Hamilton-modeller er at oppførselen kan reduseres til et biljardbilde uten å måtte integrere bevegelsesligningene. Et biljardbilde er et spesielt Poincaré-bilde som kartlegger koordinatene og vinklene til en refleksjon til koordinatene og vinklene til neste refleksjon.

kjennetegn

Den Hamilton at en partikkel med koordinater og masse og moment på en potensiell er beskrevet ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V (q)}$

${\ displaystyle H (p, q) = {\ frac {p ^ {2}} {2m}} + V (q)}$

Massen som en konstant proporsjonalitet mellom momentum og tidsderivat til koordinatene kan settes lik en uten tap av generalitet. Koordinatene og momentumkomponentene indikerer tilstanden til en partikkel i faseområdet . En dynamisk biljard er derfor fullstendig definert av valget av området . Den potensielle er null inne i feltet og uendelig utenfor: ${\ displaystyle (p, q)}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle V (q) = {\ begin {cases} 0 & q \ in \ Omega \\\ infty & q \ notin \ Omega \ end {cases}}}$

Dynamikken mottar fasevolumvolumet fra banene. Baner som har et fasevolum på null kan stort sett neglisjeres. Dette gjelder spesielt baner som møter en unikhet i utkanten av området, for eksempel overgangen fra rett linje til kurven på Bunimowitsch Stadium.

generalisering

I et generalisert biljardbord for en partikkel som beveger seg i et ikke-euklidisk manifold , skal skalarproduktet dannes med den metriske tensoren i betraktning . ${\ displaystyle p ^ {2} = p ^ {i} p ^ {j} g_ {ij} (q)}$ ${\ displaystyle g}$

For et kvantemekanisk biljard er momentum gitt av momentoperatoren, og man får egenverdiproblemet${\ displaystyle p = - \ mathrm {i} \ hbar \ nabla}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi _ {n} (q) = E_ {n} \ psi _ {n} (q)}$

med energi egenverdiene og bølgefunksjonene . Den elastiske spredningen ved kanten av området blir Dirichlet-grensetilstanden${\ displaystyle E_ {n}}$${\ displaystyle \ psi _ {n}}$

${\ displaystyle \ psi _ {n} (q) = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad q \ notin \ Omega}$

weblenker

• Dynamisk billard på Scholarpedia
• Biljard på Wolfram Math-World
• Kvantekaos i Bunimovich Stadium

Individuelle bevis

1. ^ Bunimovich stadion . I: Fysikkens leksikon . Spectrum Akademischer Verlag ( Spektrum.de [åpnet 5. august 2016]). 
2. ^ Sinai biljard . I: Fysikkens leksikon . Spectrum Akademischer Verlag ( Spektrum.de [åpnet 5. august 2016]). 
3. ↑ ^{a b} Leonid Bunimovich: Dynamisk biljard . I: Scholarpedia . teip 2 , nei. 8 , 2007, s. 1813 , doi : 10.4249 / scholarpedia.1813 .