WKB tilnærming

Den semiklassiske WKB-tilnærmingen fra kvantemekanikken (oppkalt etter Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers og Léon Brillouin ) gir en tilnærming til løsningen av den endimensjonale, stasjonære Schrödinger-ligningen . Tilnærmingen er basert på antagelsen om at potensialet bare 'sakte' endres med posisjon, dvs. H. via utvidelsen av en bølgelengde , og derfor kan en løsning bli funnet fra det konstante potensialet . ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle V (x) = V_ {0}}$

Under denne antagelsen er den omtrentlige løsningen på Schrödinger-ligningen:

${\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {\ text {const}} {2m [EV (x)]}} \ right) ^ {1/4} \ exp \ left (\ pm {\ frac {i} {\ hbar}} \ int \ mathrm {d} x '{\ sqrt {2m (EV (x'))}} \ høyre)}$

De to tegnene står for to uavhengige løsninger.

historie

Tilnærmingen ble publisert nesten samtidig og uavhengig av hverandre i 1926 av fysikerne Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers og Léon Brillouin i sammenheng med kvantemekanikk, hvis initialer ga navnet sitt. Det kan også bli funnet tidligere i arbeidet til forskjellige matematikere og fysikere som Francesco Carlini (1817, i himmelmekanikk), George Green (1837), Joseph Liouville (1837), John William Strutt, 3. baron Rayleigh (1912), Richard Goose (1915), Harold Jeffreys (1923). Det kalles derfor noen ganger også WKBJ (i tillegg etter Jeffreys) eller Liouville-Green-metoden. Selv Werner Heisenberg brukte metoden i 1924 i sin avhandling om hydrodynamikk .

Derivasjon

Fra den endimensjonale stasjonære Schrödinger-ligningen

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi (x) + V (x) \ psi ( x) = E \ psi (x)}$

Hvis potensialet er konstant, er løsningen planbølgen ${\ displaystyle V (x) = V_ {0}}$

${\ displaystyle \ psi (x) = A \ exp \ left (\ pm {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {0} x \ right)}$

med . I tilfelle av en langsom endring i potensialet, dvs. et potensial som kan betraktes som konstant i størrelsesorden av deBroglie-bølgelengden, kan man anta og velge en løsningstilnærming analog til problemet med konstant potensial som følger. ${\ displaystyle p_ {0} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0})}}}$${\ displaystyle p (x) = {\ sqrt {2m (EV (x))}}}$

${\ displaystyle \ psi (x) = A \ exp \ left ({\ frac {i} {\ hbar}} S (x) \ right)}$

Settes inn i Schrödinger-ligningen man får

${\ displaystyle - {\ frac {i \ hbar} {2m}} {\ frac {d ^ {2} S (x)} {dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {2m}} \ venstre [{\ frac {dS (x)} {dx}} \ høyre] ^ {2} + V (x) -E = 0}$

Det er ikke gjort noen tilnærming så langt. Vi kan nå utvikle oss i følgende krefter${\ displaystyle S (x)}$${\ displaystyle \ hbar}$

${\ displaystyle S (x) = S_ {0} (x) + \ hbar S_ {1} (x) + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} S_ {2} (x) + \ prikker}$

Dette settes inn i Schrödinger-ligningen:

${\ displaystyle {- {\ frac {i \ hbar} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ left (S_ {0} (x) + \ hbar S_ { 1} (x) + \ dots \ right) + {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ frac {d} {dx}} \ left (S_ {0} (x) + \ hbar S_ { 1} (x) + \ prikker \ høyre) \ høyre] ^ {2} + V (x) -E = 0}}$

Du kan nå beregne disse vilkårene opp til ønsket rekkefølge og samle dem i henhold til kraften til . ${\ displaystyle \ hbar}$

Hvert begrep som tilhører en makt, må da forsvinne individuelt. ${\ displaystyle \ hbar}$

For andre ordre lyder Schrödinger-ligningen:

${\ displaystyle - {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ venstre [{\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} S_ {0} (x) + \ hbar {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} S_ {1} (x) \ høyre] + {\ frac {1} {2m}} \ venstre [{\ frac {d} {dx}} S_ {0} (x) + \ hbar {\ frac {d} {dx}} S_ {1} (x) \ høyre] ^ {2} + V (x) -E = 0}$

${\ displaystyle {\ Leftrightarrow \ hbar ^ {0} \ left [{\ frac {1} {2m}} \ left ({\ frac {dS_ {0} (x)} {dx}} \ right) ^ {2 } + V (x) -E \ høyre] + \ hbar ^ {1} \ venstre [- {\ frac {i} {2m}} {\ frac {d ^ {2} S_ {0} (x)} { dx ^ {2}}} + {\ frac {1} {m}} {\ frac {dS_ {0} (x)} {dx}} {\ frac {dS_ {1} (x)} {dx}} \ høyre] + \ hbar ^ {2} \ venstre [{\ frac {1} {2m}} \ venstre ({\ frac {dS_ {1} (x)} {dx}} \ høyre) ^ {2} - {\ frac {i} {2m}} {\ frac {d ^ {2} S_ {1} (x)} {dx ^ {2}}} \ right] = 0}}$

For differensiallikningen i begrepet null orden i ${\ displaystyle \ hbar}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2m}} \ left [{\ frac {dS_ {0} (x)} {dx}} \ right] ^ {2} + V (x) -E = 0}$

man finner en løsning gjennom

${\ displaystyle S_ {0} (x) = \ pm \ int {\ sqrt {2m (EV (x '))}} dx'}$

og det følger

${\ displaystyle \ psi (x) = A \ exp \ left (\ pm {\ frac {i} {\ hbar}} \ int {\ sqrt {2m (EV (x '))}} dx' \ right). }$

Dette resultatet beskriver løsninger av en endimensjonal Schrödinger-ligning i grensesaken , som har en tilsvarende motpart i punktmekanikk med Hamilton-Jacobi-ligningen . ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$

Taylor-seriens utvidelse av den eksponentielle funksjonen viser imidlertid den matematiske inkonsekvensen til denne enkleste tilnærmingen i sammenheng med de klassiske konvergenskriteriene, siden hver sum som oppstår divergerer på grunn av divisjon av og dermed ikke er definert godt uten passende regulering. I tillegg er beskrivelsen av tunneling problematisk i denne tilnærmingen , fordi det på den ene siden skal konstrueres en tilnærmet løsning for en Schrödinger-ligning, for løsningen som gyldigheten av Bors sannsynlighetspostulat antas, på den annen side antar Limes et klassisk Hamiltonisk driftsprinsipp, som er uforenlig med egentlige kvantemekaniske tunnelprosesser er. ${\ displaystyle \ hbar = 0}$${\ displaystyle (V (x)> E)}$${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$

En ytterligere vurdering av den første rekkefølgen av handlingsfunksjonen i fikser konstanten A og fullfører den semiklassiske WKB-tilnærmingen. En presis beregning viser at denne tilnærmingen bare er god hvis bølgefunksjonens momentum er betydelig større enn den lokale variasjonen av potensialet (se ovenfor). Til tross for effekten diskretisering, løst til første orden, viser dette nærheten tilnærmingen til den klassiske stråle-optiske tilnærmingen, som brukes i geometrisk optikk gjennom eikonal og i Hamilton-Jacobi teorien. ${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle p_ {0} = \ hbar / \ lambda}$

Konsekvenser for overføring gjennom en barriere

WKB-tilnærmingen brukes til å tilnærme ikke-rektangulære potensielle barrierer. For å gjøre dette brytes barrieren ned i mange tynne rektangulære delbarrierer.

De tunnel sannsynlighetene for de enkelte segmenter multipliseres for den tunnel sannsynligheten gjennom barrieren. Dette resulterer i ${\ displaystyle \ left | T \ right | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ ln \ left | T \ right | ^ {2} \ approx -2 \! \ int \ limits _ {\ text {Barrier}} \! \ kappa (x) \, \ mathrm {d} x, }$

der

${\ displaystyle \ kappa (x) = {\ sqrt {\ frac {2m (V (x) -E)} {\ hbar ^ {2}}}}.}$

Som forklart i forrige avsnitt, må barrieren være stykkevis konstant sammenlignet med bølgelengden til materiebølgen for å rettferdiggjøre tilnærmingen. ${\ displaystyle \ lambda}$

For tilstrekkelig store bølgelengder, f.eks. B. nær vendepunktene for klassiske partikkelbevegelser , kan dette ikke lenger være tilfelle. I disse regionene må det være konstant forbindelse gjennom eksakte løsninger, Airy-funksjonene . ${\ displaystyle p \ propto 1 / \ lambda \ rightarrow 0}$

litteratur

• Brillouin, Léon : La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successive . I: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences . 183, 1926, s. 24-26.
• Hendrik Anthony Kramers : Bølgemekanikk og halvtallskvantisering . I: Journal of Physics . Utgave 39, nr. 10 . Springer, 1926, ISSN  0939-7922 , s. 828-840 , doi : 10.1007 / BF01451751 . 
• Wentzel, Gregor : En generalisering av kvanteforholdene for bølgemekanikk . I: Journal of Physics . 38, nr. 6-7, 1926, s. 518-529. bibcode : 1926ZPhy ... 38..518W . doi : 10.1007 / BF01397171 .
• WKB-tilnærmingen er dekket i de fleste kvantemekaniske lærebøker, f.eks. B. Nolting grunnkurs teoretisk fysikk 5/2 - kvantemekanikk - metoder og applikasjoner , Springer Verlag 2001, kapittel 7.4 (kvasiklassisk tilnærming), s. 190ff

Individuelle bevis

1. ^ Jeffreys På visse omtrentlige løsninger av lineære differensiallikninger av andre orden , Proc. London Math. Soc. 23, 1923, s. 428
2. ↑ J. Calvert Historie av WKB-tilnærmingen
3. ↑ N. Fröman, PO Fröman Om historien til den såkalte WKB-metoden fra 1817 til 1926 , i J. Bang, J. De Boer Semiklassiske beskrivelser av atom- og atomkollisjoner , Amsterdam 1985
4. ^ Walter Blum, Helmut Rechenberg, Hans-Peter Dürr (redaktør): Heisenberg, Gesammelte Werke, A / 1, Springer Verlag 1985, s. 19, kommentar av Subrahmanyan Chandrasekhar Hydrodynamisk stabilitet og turbulens (1922-1948) , abstrakt