Tilnærming

Tilnærming ( latin proximus , "det nærmeste") er i utgangspunktet et synonym for en "tilnærming"; I matematikk er imidlertid begrepet spesifisert som en tilnærmingsmetode .

Fra et matematisk synspunkt er det forskjellige grunner til å undersøke tilnærminger. De vanligste i dag er:

• Den omtrentlige løsningen på en ligning . Hvis en analytisk eksakt løsning av ligningen ikke er tilgjengelig, vil man finne en tilnærming av løsningen på en enkel måte.
• Den omtrentlige representasjonen av funksjoner eller tall . Hvis et eksplisitt gitt matematisk objekt er vanskelig å håndtere, er en tilnærming fra enkle strukturer ønskelig.
• Den omtrentlige rekonstruksjonen av ukjente funksjoner fra ufullstendige data. Hvis informasjonen om den ukjente funksjonen bare er tilgjengelig i diskret form, som funksjonsverdier over visse støttepunkter, er det ønskelig med en lukket representasjon som definerer funksjonsverdier på et kontinuum.

I mange tilfeller er en numerisk metode basert på ideen om å tilnærme en komplisert (og ofte bare implisitt kjent) funksjon ved hjelp av en funksjon som er enkel å bruke. Tilnærmingsteorien er altså en integrert del av moderne anvendt matematikk. Det gir et teoretisk grunnlag for mange nye og etablerte datamaskinstøtte løsningsmetoder.

Typer tilnærming

tall

En av de vanligste tilnærmingsformene er representasjonen av et irrasjonelt tall som et tall med et endelig antall desimaler og avrunding av et tall til et tall med færre desimaler, dvs. beregning av en omtrentlig verdi . For eksempel:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356 \ approx 1 {,} 41}$

De aller fleste dataprogrammer jobber med flytende tall i henhold til IEEE 754- standarden , der tall er representert med et endelig antall sifre, som uansett krever avrunding for irrasjonelle tall og periodiske brøker. Nøyaktigheten av representasjonen i datamaskinen bestemmes av den valgte datatypen .

Teorien om Diophantine-tilnærming tar for seg tilnærmingen av irrasjonelle tall etter rasjonelle .

Geometriske objekter

Nærmer seg en sirkel gjennom femkanter, sekskanter og oktagoner

I geometri kan kompliserte objekter ofte tilnærmes ved hjelp av polygoner . Dermed beregnet som Archimedes en tilnærming til sirkelfiguren av en sirkel med vanlige polygoner nærmet seg med flere og flere hjørner. ${\ displaystyle \ pi}$

Funksjoner

Tilnærming av funksjoner er av spesiell interesse, for eksempel differensialligninger som ikke kan løses nøyaktig for omtrentlige løsninger . Den vanligste formen er tilnærming med polynomer , siden disse lett kan avledes , integreres og beregnes. Den mest utbredte metoden her er basert på utvidelsen av Taylor-serien . Fourier-analyse er også av stor praktisk betydning , der periodiske funksjoner utvikles i uendelige serier av sinus- og cosinusfunksjoner .

Mange av disse tilnærmingsmetodene har sitt teoretiske grunnlag i Stone-Weierstraß-teoremet (oppkalt etter Marshall Harvey Stone og Karl Weierstraß ) , hvorfra det ikke minst følger at enhver kontinuerlig funksjon på et kompakt reelt intervall kan tilnærmes med polynomer med like presisjon og at på samme måte kan hver kontinuerlig funksjon som er periodisk innen reelle tall, tilnærmes med lik og vilkårlig presisjon av trigonometriske funksjoner .

Begrepet norm er av sentral betydning for tilnærminger . Dette brukes til å sammenligne ulike tilnærminger kvantitativt. Generelt er den omtrentlige løsningen for forskjellige standarder annerledes. Det er viktig å kunne estimere feilen som oppstår fra tilnærmingen for å kunne vurdere kvaliteten. Dette er ikke alltid lett og en viktig oppgave for tilnærmingsteori.

Klassiske eksempler er, på den ene siden, Chebyshev approksimasjon, hvor kontinuerlige reelle eller komplekse funksjoner er rundet av med hensyn til supremum norm , og den approksimasjon, hvor L ^p -funksjoner blir tilnærmet med hensyn til normen. ${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p}}$

Et eksempel på tilnærming av funksjoner er tilnærming med liten vinkel , der sinusfunksjonen erstattes av vinkelen og cosinusfunksjonen erstattes av konstanten 1. Den gjelder for små vinkler og brukes for eksempel til å løse den matematiske pendelen .

Orden på tilnærming

Et mål på kvaliteten på tilnærmingen til en funksjon er rekkefølgen. En tilnærming med en rekkefølge er en hvor feilen er i størrelsesorden . En førsteordens tilnærming kalles en lineær tilnærming , og en annenordens tilnærming kalles en kvadratisk tilnærming . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x ^ {n + 1})}$

I fysikk er den lineære tilnærmingen ofte tilstrekkelig, siden den vanligvis har størst innflytelse. Betegnelser med høyere ordre er viktige når lineære effekter undertrykkes, for eksempel i ikke-lineær optikk .

Viktige tilnærmingssetninger

Tilnærmingsteori og funksjonsanalyse

• Tilnærmingsteori for kompakte operatører
• Tilnærmingsteori for jevnt konvekse mellomrom
• Tilnærmingsteori for virkelige enhetsrom
• Korowkins tilnærmingssetning
• Müntz 'tilnærmingssetning
• Runges tilnærmingsteori
• Stein-Weierstrass-teorem

Tallteori

• Kroneckers tilnærmingsteori
• Liouvilles tilnærmingssetning
• Dirichletscher tilnærmingsteori
• Tilnærmingsteori for p-adic-tall
• Hurwitzs teorem
• Thue-Siegel-Roth-teorem

Teoretisk informatikk

Tilnærminger spiller også en rolle i teoretisk informatikk. Det er NP-komplette optimaliseringsproblemer som det ikke er mulig å beregne en eksakt løsning effektivt. Tilnærmingsalgoritmer kan brukes her for å beregne en tilnærming. Et eksempel er sekkeproblemet , der det fra en viss problemstørrelse og fremover kreves mye beregningsinnsats for å beregne en optimal løsning, men der det finnes gode tilnærmingsalgoritmer som kan brukes til å effektivt beregne tilnærmede løsninger.

litteratur

• Lothar Collatz , Werner Krabs : tilnærmingsteori. Chebyshev tilnærming med applikasjoner. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 .
• Armin Iske: tilnærming (masterclass). Springer Spectrum, 2018, ISBN 978-3662554647 .
• Günter Meinardus : Tilnærming av funksjoner og deres numeriske behandling (=  Springer Tracts in Natural Philosophy . Volume 4 ). Springer Verlag , Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 ( MR0176272 ). 
• Manfred W. Müller : Tilnærmingsteori. Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1 .
• MJD Powell : tilnærmingsteori og metoder. Cambridge University Press, Cambridge et al. 1981, ISBN 0-521-22472-1 .
• R. Schaback : Numerisk tilnærming. (PDF; 7,3 MB) I: Årsrapport fra den tyske matematikerforeningen. 88, nr. 2, 1986, ISSN  0012-0456 , s. 51-81. => MR0838860
• Holger Wendland : Spredt datatilnærming. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521131018 .
• Eberhard Zeidler : Ikke-lineær funksjonsanalyse og dens applikasjoner I: Fixed-Point Theorems . Oversatt av Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 ( MR0816732 ).