Følg kompakt sett svakt

Konseptet med det svakt sekvens-kompakte settet og det svake * sekvens-kompakte settet er et begrep fra topologi , et underområde av matematikk . Det er en generalisering av sekvensens kompaktitet for topologier som er grovere enn standardtopologien, den såkalte svake topologien og den svake - * - topologien . Svake sekvens kompakte sett er viktige for grunnleggende om matematisk optimalisering , siden en viss funksjonsklasse forutsetter et minimum på kompakte sett med svak sekvens og dermed garanterer løsningen av optimaliseringsproblemer.

definisjon

Et standardisert rom er gitt . Et ikke-ukomplisert delsett kalles svakt sekvens- kompakt hvis hver sekvens i dette settet har en svakt konvergerende sekvens hvis svake grenseverdi tilhører igjen . ${\ displaystyle (X, \ Vert \ cdot \ Vert)}$${\ displaystyle M \ delmengde X}$${\ displaystyle M}$

Hvis det doble rommet av , kalles et sett svakt * sekvens - kompakt hvis hver sekvens i dette settet har en svak * konvergerende sekvens hvis svake * grenseverdi tilhører igjen . ${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M '\ subset X'}$ ${\ displaystyle M '}$

kjennetegn

• Hvis det normaliserte rommet er endelig dimensjonalt, er settet svakt sekvens kompakt hvis og bare hvis det er lukket og avgrenset.${\ displaystyle M}$
• I følge Eberlein - Šmulians teorem , faller kompakt svak sekvens og svak kompaktitet sammen for svakt lukkede sett i Banach-rom.
• Hvis det kan skilles, er hver lukket sfære sekvensielt kompakt i svak *.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$
• Hvis et refleksivt Banach-rom er hver lukket sfære svakt sekvensiell kompakt.${\ displaystyle X}$

bruk

I tillegg til diskusjonen om svake topologier, vises sett med svake konsekvenser også i optimaliseringen . Her gir de uttalelser om eksistensen av ekstreme steder. Svake subkontinuerlige funksjoner antar alltid et minimum på et svakt sekvensielt sett.

Se også

• Svakt relativt kompakt sett

litteratur

• Johannes Jahn: Introduksjon til teorien om ikke-lineær optimalisering . 3. Utgave. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5 . 
• Hans Wilhelm Alt: Lineær funksjonsanalyse . 6. utgave. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3 , doi : 10.1007 / 978-3-642-22261-0 .