Likevekt (systemteori)

Generelt sett er et system i likevekt hvis det ikke endres over tid uten ytre påvirkning. Når det gjelder dynamisk likevekt , blir bare makroskopiske endringer generelt vurdert. I en termodynamisk likevekt er for eksempel makrostatusen til en gass med tilstandsvariablene trykk , temperatur og kjemisk potensial konstant, mens mikrostaten , dvs. posisjonen og hastigheten til individuelle gasspartikler, kan endres.

Den tilstand at systemet ikke etterlater uten ytre påvirkning er vanligvis kalles likevektstilstand , kritisk punkt , fast punkt , stabil tilstand , likevektsstilling . Avhengig av kontekst brukes ikke de nevnte begrepene synonymt, men inneholder en tilleggsklassifisering av staten, for eksempel med hensyn til stabilitet. Når man vurderer åpne systemer , blir en uforanderlig tilstand referert til som en "steady state", mens begrepet "likevekt" brukes om en stasjonær tilstand etter at systemet er isolert .

generell definisjon

For det første vurderes et lukket dynamisk system . Tilstanden til et dynamisk system på tidspunktet kan generelt beskrives av en tuple, dvs. et ordnet sett med alle tilstandsvariabler. For at staten skal være en likevektstilstand, må den være den samme for alle tider, man sier også "invariant to a dynamic ". ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f}$

Posisjonen og antall tilstander av likevekt i et system er uavhengig av tilstanden der systemet er, dvs. også uavhengig av om det er "i likevekt" eller ikke. Tilstandene av likevekt resulterer som løsninger av likevektsforholdene. Avhengig av antall løsninger av ligningene for den respektive likevektstilstanden, kan et system ha et hvilket som helst antall likevektstilstander.

Kontinuerlig dynamisk system

Eksempel på et endimensjonalt system. Den x -aksen er den tilstand plass; de svarte pilene viser utviklingen av tiden. De to nullene til funksjonen f er likevektstilstandene x ₁ og x ₂ . Funksjonen f kan være et potensial for den negative gradienten e representerer.

For et kontinuerlig dynamisk system, hvis tidsutvikling er gitt av differensiallikningen

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} x = f (x)}$

en likevektstilstand er gitt av likevektstilstanden${\ displaystyle x (t) = x ^ {*}}$

${\ displaystyle f (x ^ {*}) = 0}$

siden er tidsderivatet tilsvarende . En likevektstilstand er derfor en tidsuavhengig løsning av den vanlige differensialligningen eller null av funksjonen . ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} x ^ {*} = 0}$${\ displaystyle f}$

Diskret dynamisk system

Konvergens til en jevn tilstand i en diskret makroøkonomisk aksjeflytingsmodell .

Et diskret dynamisk system, som bare tillater diskrete tidstrinn, kan representeres av en iterert kartlegging

${\ displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n}), \ qquad n = 0,1,2 \ ldots}$

beskrive. Likevektstilstanden for likevektstilstanden er ${\ displaystyle x_ {n} ^ {*}}$

${\ displaystyle x_ {n} ^ {*} = f (x_ {n} ^ {*}).}$

Likevektspunktet er derfor et tidsuavhengig fast punkt i kartleggingen . ${\ displaystyle x_ {n} ^ {*}}$${\ displaystyle f}$

Likevektstilstand og potensial

I stedet for å se på funksjonens nuller , kan et potensial bli funnet for mange systemer slik at det kan skrives som en negativ gradient av potensialet. En likevektstilstand tilsvarer da et ekstremt potensialpunkt. I et termodynamisk system er dette et passende termodynamisk potensial . For eksempel, for et system ved konstant temperatur og trykk, slik som en kjemisk reaksjon, er Gibbs fri entalpi egnet , noe som er minimalt når systemet er i termodynamisk likevekt. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f = - \ nabla E}$

I en Hamilton system, kan tilstanden bli beskrevet ved posisjons- koordinater og impulser . For en tilstand av likevekt, og . Dynamikken er gitt av de kanoniske ligningene . Innsetting av likevektstilstanden viser at i en likevektstilstand er det delvise derivatet av Hamilton-funksjonen og er null, likevektstilstanden er derfor et ekstremt potensialpunkt. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} q_ {i} = 0}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} p_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} H} {\ mathrm {d} p_ {i}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} H} {\ mathrm {d} q_ {i}}}}$

I mekanikk kalles også posisjonen med koordinatene til likevekten hvileposisjon eller statisk hvileposisjon . Spesielt opplever en partikkel ingen kraft i hvilestillingen. “Hvilestilling” er noe misvisende i denne forbindelse: Selv om ingen kraft virker på en partikkel i hvilestilling, trenger ikke partikkelen å være i ro der. Bare i en statisk tilstand, hvor likevektstilstanden også oppfylles for impulsene, er partikkelen der i ro og systemet i likevekt. ${\ displaystyle q_ {i}}$

Oppførsel av likevekt i tilfelle forstyrrelser

Utviklingen av et dynamisk system over tid kan estimeres kvalitativt ved å karakterisere likevektstilstandene. En likevektstilstand kan grovt deles inn i

stabil

Systemet går tilbake til sin opprinnelige tilstand etter en feil.

ustabil

I tilfelle den minste forstyrrelsen, skifter systemet til en annen tilstand.

likegyldig

Systemet hviler i en ny tilstand etter hver feil.

metastabilt

Etter en tilstrekkelig stor forstyrrelse endres systemet til en mer stabil likevektstilstand. Når det gjelder to likevektstilstander, snakker man også om bistabil .

• 

  stabil likevekt

• 

  ustabil likevekt

• 

  metastabell likevekt

• 

  bistabil likevekt

• 

  likegyldig balanse

Det er flere stabilitetsuttrykk i stabilitetsteorien for en matematisk nøyaktig klassifisering . I det følgende antas et kontinuerlig system; lignende termer kan også defineres for systemer med diskrete tidstrinn.

Lyapunov stabil

En likevektstilstand er Lyapunov stabilt dersom en tilstrekkelig liten feiltilstand vil forbli liten eller presis: For hver er en slik at for alle tider og alle baner med gjelder følgende: .${\ displaystyle x ^ {*}}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle \ | x (0) -x ^ {*} \ | <\ delta}$${\ displaystyle \ | x (t) -x ^ {*} \ | <\ varepsilon}$

asymptotisk stabil

En likevektstilstand er asymptotisk stabil hvis den er Lyapunov-stabil og attraktiv, dvs. hvis den vender tilbake til likevektstilstanden i tilfelle en forstyrrelse. Attraktivt betyr at det er en der ute, slik at hver bane med alle eksisterer og betingelsen oppfylles.${\ displaystyle x ^ {*}}$${\ displaystyle \ eta> 0}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle \ | x (0) -x ^ {*} \ | <\ eta}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} x (t) = x ^ {*}}$

En metode for stabilitetsanalyse er å linjere systemet rundt likevektstilstanden . Med Hartman-Grobman-teoremet , kan likevektstilstanden deretter karakteriseres ved hjelp av egenverdiene til Jacobi-matrisen .

Eksempler

Termisk likevekt i et hus

Tidsforløpet til temperaturen i et uoppvarmet hus som en funksjon av utetemperaturen kan vises i en enkel modell ved hjelp av differensiallikningen ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T _ {\ mathrm {A}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} T = -k (T-T _ {\ mathrm {A}})}$

beskrive. Konstanten beregnes ut fra området , varmeoverføringskoeffisienten til husveggene og luftens varmekapasitet . Funksjonen på høyre side av ligningen bestemmer systemets dynamikk. For en tilstand av likevekt gjelder følgende ${\ displaystyle k = A \ alpha / C}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle f (T) = - k (T-T _ {\ mathrm {A}})}$${\ displaystyle T ^ {*}}$

${\ displaystyle f (T ^ {*}) = - k (T ^ {*} - T _ {\ mathrm {A}}) = 0}$.

Systemet er altså i en likevektstilstand ved . Fordi derivatet ${\ displaystyle T ^ {*} = T _ {\ mathrm {A}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} T}} (T ^ {*}) = - k}$

er negativ, er likevektstilstanden stabil. Hvis huset er varmere eller kaldere enn omgivelsene, avkjøles eller varmes det opp til det når denne likevektstilstanden. På denne måten, ved å bestemme likevektspunktene og deres stabilitet, kan uttalelser om systemets oppførsel komme uten å eksplisitt måtte beregne temperaturprofilen over tid. Integrasjonen av ligningen, som ville være nødvendig for denne eksplisitte beregningen, er vanligvis ikke lett eller ikke analytisk mulig i ikke-lineære systemer. ${\ displaystyle T ^ {*}}$${\ displaystyle T (t)}$

Mekanisk likevekt i en plan pendel

En plan pendel som tivoli

Likevektsposisjoner av planet pendel.

Faseplass til planpendel med konstanter = 1. Potensialet og faseplassen er periodisk med periode 2π med hensyn til vinkelen θ.

Et plan pendel er et mekanisk system der en masse er roterbart festet til et punkt med en pendelstang med fast lengde . Tilstanden til en slik pendel på et fast tidspunkt kan beskrives ved en vinkel og vinkelhastigheten . Den bevegelsesligning er da den autonome differensialligningen${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ textstyle x = (\ theta, \ omega)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta \ in [0,2 \ pi)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ begin {pmatrix} \ theta \\\ omega \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ omega \ \ {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta \ end {pmatrix}}}$

hvor konstanten er det gravitasjonsakselerasjon . ${\ displaystyle g}$

Systemet har altså to likevektspunkter og som oppfyller likevektstilstanden. Likevektspunktet i en vinkel på null er den stabile likevekten når pendelen ikke har avbøyning og hastighet. Det andre punktet er den ustabile likevekten når pendelen ikke har hastighet og er "opp ned". I faseområdet er det et elliptisk fast punkt , punktet et hyperbolsk fast punkt . ${\ displaystyle x_ {1} = (0,0)}$${\ displaystyle x_ {2} = (\ pi, 0)}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

I et statisk system, dvs. et system der pendelen ikke har hastighet , kan betingelsen for mekanisk likevekt formuleres ved hjelp av krefter og momenter . Pendelen er i likevekt når summen av alle virkende krefter og øyeblikk er null. I begge steder av likevekt og den vekt av massen på pendelen er fullstendig balansert av kraften med hvilken pendelen stangen holder massen ved dreiepunktet. Den resulterende kraften og øyeblikket er null. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Økologisk balanse i et rovdyr-byttedyr forhold

Faseplass til Lotka-Volterra-systemet med konstanter = 1

En enkel modell av samspillet mellom rovdyr og byttedyrpopulasjoner er Lotka-Volterra ligningene . De beskriver utviklingen av en rekke byttedyr og rovdyr over tid . Med de respektive reproduksjons- og dødsratene eller og eller resulterer differensiallikningssystemet for en tilstand : ${\ displaystyle N_ {1}}$${\ displaystyle N_ {2}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {2}}$${\ displaystyle x = (N_ {1}, N_ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ begin {pmatrix} N_ {1} \\ N_ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } N_ {1} \ left (\ epsilon _ {1} - \ gamma _ {1} N_ {2} \ right) \\ - N_ {2} \ left (\ epsilon _ {2} - \ gamma _ {2 } N_ {1} \ right) \ end {pmatrix}}}$

Systemet har et stabilt likevektspunkt og et ustabilt likevektspunkt . I staten er det et konstant antall rovdyr og byttedyr som er i økologisk likevekt . I staten blir begge befolkningene utslettet. ${\ displaystyle x_ {1} = (\ epsilon _ {2} / \ gamma _ {2}, \ epsilon _ {1} / \ gamma _ {1})}$${\ displaystyle x_ {2} = (0,0)}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Dynamisk likevekt

Et system i naturen kan generelt beskrives på forskjellige måter. Det er forskjellige detaljerte muligheter for å velge tilstandsvariablene til systemet. I statistisk fysikk brukes begrepene makrostat og mikrostat for å skille mellom forskjellige detaljerte beskrivelser . I tilfelle av likevektshensyn, for eksempel i tilfelle av en termodynamisk likevekt, er det bare makrostaten som blir vurdert. Systemet er i likevekt hvis makrostaten ikke endres. Imidlertid kan mikrostatusen i systemet endres.

Hvis det er prosesser i systemet eller strømmer over systemgrensene som endrer mikrostatusen, avbryter hverandre i deres innflytelse på makrostatusen i systemet, kalles en likevekt dynamisk likevekt eller steady state .

Dynamisk likevekt i et lukket system

Når det gjelder ikke-åpne systemer, er det kun interne prosesser som påvirker systemvariablene til systemet. Likevektstilstanden formulert ovenfor oppfylles i systemer for kjemiske reaksjoner nøyaktig når de kjemiske potensialene er balansert. Eksempel: En termisk isolert trykkpotte med varmt vann og damp. De to involverte reaksjonene er fordampning og kondens. Fordamping senker temperaturen og øker trykket, noe som reduserer ytterligere fordampning eller akselererer kondens. Etter en stund etableres en likevekt der begge reaksjonene forløper med samme hastighet og tilstandsvariablene trykk, temperatur og mengde damp forblir konstant.

For systemer i dynamisk likevekt gjelder virialsetningen i det respektive delområdet av fysikk. Eksplisitt kunnskap om baner er ikke nødvendig for dette.

Kva-statiske tilstandsendringer

Generelt er det mer enn to reaksjoner som skjer samtidig. Likevekten kan da eksistere mellom alle deltagende elementer i systemet, eller den kan være begrenset til et delsystem. Hvis prosessene i delsystemet er raske sammenlignet med utvekslingsprosesser med miljøet, oppstår kvasistatiske tilstandsendringer. Eksempel: Den langsomt avkjølende trykkpotten. Utslipp av varme til miljøet senker temperaturen, trykket og mengden damp, men ikke uavhengig av hverandre, snarere forblir systemtilstanden nær damptrykkkurven .

Om det er en separasjon i raske og langsomme prosesser i et spesielt tilfelle, og hvordan endringene i tilstandsvariablene skjer over tid er gjenstand for kinetikk .

Flytende likevekt i åpne systemer

Hvis det er flere koblingsprosesser med miljøet, kan tilstanden til systemet forbli konstant ved at disse mer eller mindre ved et uhell avbryter hverandre i sin effekt. Dynamiske likevekt er alltid assosiert med produksjonen av entropi , som må fjernes for en stabil tilstand.

Tett kobling

Hvis en koblingsprosess dominerer de andre prosessene, er tilstanden til delsystemet definert i den berørte tilstandsvariabelen. Eksempler: Gryten er åpen, trykket er satt til atmosfærisk trykk, selv høy varmeeffekt øker ikke temperaturen over kokepunktet så lenge det fortsatt er vann i gryten. I elektroteknikk er spenningen fast ( fastspent ) når en liten forbruker er koblet til en spenningskilde . Et økonomisk eksempel er faste bokpriser (for verk uten alternativ, for eksempel spesialbøker).

Flytevekt i det reaksjonsfrie systemet

Uten tett kobling vil systemer vanligvis reagere på endringer i miljøet med betydelige endringer i tilstanden. Begrepet flytevekt foreslår følgende eksempel: Nivået på et badekar uten en plugg vil bli utjevnet ved en gitt innstrømning slik at den nivåavhengige utstrømningen er lik tilstrømningen. Men det er også likevekt i steady state med mange andre fysiske og ikke-fysiske størrelser, som energi eller rikdom.

Homeostatisk balanse

Strømmene over systemgrensen kan også balanseres ved at systemet påvirker dem gjennom interne kontrollprosesser. Systemteorien kaller vanligvis delsystemet til et komplekst system som danner kontrollmekanismen homeostat , det prototypiske eksemplet er termostaten .

Begrepet homeostase ble laget i forbindelse med levende systemer der mange systemparametere vanligvis er underlagt regulering: pH-verdi, osmotisk trykk, enzymkonsentrasjoner, temperatur, antall celler - for å nevne noen få.

weblenker

• Eugene M. Izhikevich: Equilibrium Article in Scholarpedia

Individuelle bevis

1. ^ Robert Besancon: Encyclopedia of Physics . Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 1-4615-6902-8 , pp. 406 ( begrenset forhåndsvisning i Google Book-søk). 
2. ^ Rolf Haase: Termodynamikk . Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-97761-8 , s. 3 ( begrenset forhåndsvisning i Google Book-søk). 
3. ^ Steven H. Strogatz : Ikke-lineær dynamikk og kaos . Perseus Books Group, 2001; S. 15.
4. ↑ Bertram Köhler: Evolusjon og entropiproduksjon. Hentet 9. april 2017 .