Rankine-Hugoniot tilstand
Den Rankine-Hugoniot tilstand eller Rankine-Hugoniot ligning (etter William John Macquorn Rankine og Pierre-Henri Hugoniot ) beskriver oppførselen av sjokkbølger ved hjelp av en en-dimensjonal hyperbolsk bevaring ligning :
Med
- den hastigheten .
Gitt to tilstander og venstre og høyre for en kollisjon , sier tilstanden at kollisjonshastigheten er ligningen
Oppfyller. I tilfelle av en skalar ligning , dette gir direkte anslagshastigheten
- .
Situasjonen er vanskeligere med systemer med .
- I tilfelle av en lineær ligning , oppstår den tilstand at anslagshastigheten må være en egenverdi til den matrise og forskjellen mellom tilstandene må være en egenvektor av . Dette er ikke alltid mulig, noe som da betyr at disse tilstandene er forbundet med en sekvens av diskontinuiteter .
- Dette kan også brukes på ikke-lineære ligninger , i så fall bør det bemerkes at støthastighetene endres over tid.
Omvendt, i systemer kalles settet med tilstander som kan kobles til en gitt solid tilstand ved en enkelt kollisjon Hugoniot locus .
Eksempler
Adveksjonsligning i 1D
En veldig enkel bevaringsligning er gitt av skalarstrømmen:
Hopptilstanden resulterer dermed umiddelbart .
Burgersligning i 1D
Den Burgers ligning er definert ved den følgende strøm:
Hoppet tilstand gir slik: .
Euler-ligninger
Når det gjelder Euler-ligningene , er det spesielle forhold. Eliminering av hastighet fører til:
Med
- den trykk
- den tetthet
- den spesifikke entalpien . Dette er kjent som Hugonian adiabats (se nedenfor)
- den interne energien per masse ( spesifikk mengde )
Hvis tilstandsligningen brukes for den ideelle gassen :
Med
- den adiabatiske eksponenten ,
så viser det seg
- .
Siden trykket alltid er positivt, følger det for tetthetsforholdet:
For luft med maksimalt tetthetsforhold er omtrent 6. Dette resultatet er tydelig forståelig, siden en økning i trykk også fører til en økning i temperaturen, noe som delvis motvirker økningen i tetthet. Mens støtstyrken ( overtrykket ) kan være vilkårlig stor, når dermed tetthetsforholdet en endelig grense.
Imidlertid, når det gjelder sterke påvirkninger, kan høy temperatur føre til dissosiasjon eller til og med til ionisering og dermed til en økning i de termodynamiske gradene av frihet og dermed igjen til en lavere verdi av . Derfor kan den øvre grensen for tetthetsforholdet i reelle gasser være betydelig høyere enn i ideell gass.
De to første bevaringslovene følger av Euler-ligningene eller fører til dem. Med dem kan hoppforholdene for hastighet og tetthet (eller trykket) på sjokkfronten være representert. Den sentrale ideen til Rankine og Hugoniot var å bruke den tredje loven om bevaring (bevaring av energi ) for å formulere en hopptilstand for entropi . Dette er diskontinuerlig på støtfronten:
- .
Det følger av dette at en sjokkbølge ikke adiabatisk (eller isentropisk er) prosess mer, men entalpien en entropical inneholder (hugoniotsche adiabatisk, også kjent som sjokk adiabatisk kjent):
i motsetning til
for en ren adiabatisk kompresjon.
litteratur
- H. Hugoniot: On the Propagation of Motion in Bodies and in Perfect Bodies in Specicular , 1887, I. Journal de l'Ecole Polytechnique, bind 57, side 3-97.
- MA Meyers: Dynamic Behavior of Materials , 1994, John Wiley & Sons, New York, ISBN 0-471-58262-X .
- Randall J. LeVeque: Endelige volummetoder for hyperbolske problemer , 2002, Cambridge Texts in Applied Mathematics, ISBN 0-521-00924-3 .
- WJM Rankine: On the Thermodynamic Theory of Waves of Finite Longitudinal Disturbance , 1870, Philosophical Transactions, London / Edinburgh, Volume 160, sider 270-288.
weblenker
- Stanley P. Marsh: LASL Shock Hugoniot Data . I: Los Alamos Series on Dynamic Material Properties. University of California Press, Berkeley og Los Angeles, California, 1980, ISBN 0-520-04008-2 (PDF-fil; 25 MB).