Lorenz tiltrekker

Grafisk fremstilling av en Lorenz-tiltrekker

Den Lorenz attraktor er det merkelig attraktor av et system av tre koblede, ikke-lineære ordinære differensialligninger :

Systemet ble formulert rundt 1963 av meteorologen Edward N. Lorenz (1917–2008), som utviklet det som en idealisering av et hydrodynamisk system. Basert på et arbeid av Barry Saltzman (1931–2001), var Lorenz opptatt av å modellere forholdene i jordens atmosfære med det formål å langsiktig prognose . Lorenz la imidlertid vekt på at systemet han utviklet gir realistiske resultater i svært begrensede parameterområder i beste fall .

Tett forbundet med Lorenz-tiltrekkeren er slagordet for sommerfugleffekten (metafor fra kaosforskning ). Systemet med differensialligninger var gjentatte ganger i fokus for publikum, som prøvde å forklare fenomener i den virkelige verden med den kaotiske oppførselen til de matematiske ligningene: Lorenz-systemet var ment å gjøre det klart at små årsaker kan ha stor effekt i atmosfærisk strømningsmønstre.

Animert Lorenz-tiltrekker; Klikk for å starte animasjonen

Derivasjon

For å utlede Lorenz-ligningen som en beskrivelse av konveksjonsstrømmer, ble følgende modell vurdert, som ble eksperimentelt undersøkt ved århundreskiftet av den franske fysikeren Henri Bénard og teoretisk beskrevet i 1916 av den britiske nobelprisvinneren Lord Rayleigh :

Konveksjonsmodell, tildelt punkt i faseplass .

Det er en viskøs ukomprimerbar væske (væske) mellom to plater med liten avstand. Mens små temperaturforskjeller mellom toppen og bunnen av laget fremdeles kan kompenseres for med varmeledning, setter en væskebevegelse seg inn og det utvikles konveksjonsruller , hvis en mer effektiv varmetransport blir realisert , hvis en kritisk temperaturforskjell overskrides . Væskeelementer oppvarmet nedenfra stiger på grunn av lavere tetthet og kaldere væskevolum synker.

Den matematiske beskrivelsen av modellen av Navier-Stokes-ligningene fører via forskjellige forenklinger, for eksempel endelig ødelagte serierepresentasjoner, til det ovennevnte ligningssystemet.

Hermann Haken viste at prosesser i lasere også kan modelleres med Lorenz-systemet , siden systemet tilsvarer Maxwell-Bloch-ligningene .

Kaos teori

Sommerfuglgrafikk: En 3D-representasjon på 2900 poeng av Lorenz-tiltrekkeren beregnet numerisk ved hjelp av en Runge-Kutta-metode med en fast trinnstørrelse.

Den numeriske løsningen på systemet viser deterministisk kaotisk oppførsel for visse parameterverdier , banene følger en merkelig tiltrekker . Lorenz-tiltrekkeren spiller altså en rolle i matematisk kaosteori, fordi ligningene sannsynligvis er et av de enkleste systemene med kaotisk oppførsel.

Den typiske parameterinnstilling og , hvor det Prandtl-tallet og den Rayleigh-nummeret kan brukes for identifikasjon.

Etter at fysikerne og meteorologene nevnt ovenfor hadde avklart de fysiske og tekniske prinsippene, behandlet mange kjente matematikere problemet i andre halvdel av 1900-tallet, inkludert den amerikanske matematikeren John Guckenheimer . Beviset for at Lorenz- tiltrekkeren er en såkalt merkelig tiltrekker ble først gitt i 1999 av matematikeren Warwick Tucker .

hovne opp

  1. ^ Edward N. Lorenz: Deterministisk ikke-periodisk strømning . I: Journal of the Atmospheric Sciences . teip 20 , nei. 2 , 1. mars 1963, ISSN  0022-4928 , s. 130-141 , doi : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 .
  2. ↑ H. Haken: Analogi mellom høyere ustabilitet i væsker og lasere i Physics Letters 53A (1975)
  3. ↑ Tucker, Warwick. "Lorenz-tiltrekkeren eksisterer." Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics 328.12 (1999): 1197-1202.

weblenker