Løgnerparadoks

Det er velkjent at nesen til Pinocchio vokser nettopp når han lyver. Men hva skjer når han sier "Nesen min vokser akkurat nå"?

Et løgners paradoks er et paradoks i filosofi eller logikk som oppstår når en setning hevder sin egen løgn (eller usannhet). Hvis proposisjonen er sant, følger det av selve referansen at den er falsk, og omvendt.

formulering

Den enkleste formen for løgnerens paradoks er følgende setning med selvhenvisning:

"Denne setningen er feil."

Paradokset med dette tilbudet er at det ikke med rimelighet kan sies å være sant eller usant. Forutsatt at det var feil: Så hva selve setningen hevder vil gjelde, og det bør derfor være sant. Men hvis vi antar at det er sant, så gjelder ikke det setningen hevder - noe som betyr at det er falskt.

Denne typen paradoks blir ofte referert til som semantisk paradoks i den filosofiske diskusjonen . Det er gjort mulig av at sannhetsbetingelsene for en setning er spesifisert i den (direkte eller indirekte) - men på en måte som i det minste tilsynelatende ikke lenger tillater noen meningsfull tilskrivning av sannhet eller løgn.

Navnet “Liar's Paradox” går tilbake til det faktum at paradokset også kan formuleres med begrepet løgn , f.eks. B. som følger:

(en person hevder :) "Jeg lyver akkurat nå."

Den som hevder dette, hevder at uttalelsen hans er en løgn, slik at den ikke samsvarer med sannheten. Imidlertid skaper dette til slutt det samme paradokset som ovenfor.

I paradokset til Epimenides brukes setningen "Alle kretere er løgnere" for å representere paradokset. Denne setningen hevdes av Epimenides, som selv er kretaner. Men dette er ikke et paradoks i ordets fulle forstand, fordi fra negasjonen av setningen, dvs. fra "Noen kretere er ikke løgnere", følger det ikke nødvendigvis at Epimenides snakker sant.

Utvidelser og relaterte paradokser

Den paradoksale mekanismen i det klassiske løgnerparadokset er lik den i andre semantiske paradokser. En variant som allerede peker tydeligere på det problematiske for logikk er Currys paradoks . Hvis sannhetsbetingelsene for den logiske undergangen antas for følgende betingede, kan den for eksempel være representert som følger:

"Hvis denne setningen er sant, så er månen laget av grønn ost."

Sannhetsverdien "falsk" kan ikke konsekvent tildeles denne setningen , for da ville forutsetningen til den betingede være falsk, noe som, i henhold til den antatte logiske forståelsen, ville gjøre hele betinget sant. Sannhetsverdien "sann", derimot, kan allerede tildeles setningen; Det må imidlertid antas at suffikset "Månen er laget av grønn ost" også er sant - ellers ville antecedenten til den betingede være sant, suffikset ville være feil, og hele setningen ville være feil. Hvis denne setningen måtte tildeles en sannhetsverdi, ville det være et absurd “bevis” på at månen er laget av grønn ost.

Den foreslåtte løsningen for å motvirke løgneren ved å avvise den toverdige logikken motvirkes av modifiserte versjoner av løgnerens paradoks. Den mest kjente er den forsterkede løgneren :

"Denne setningen er ikke sant."

Dette paradokset forblir selv om det er tillatt at paradoksale setninger verken kan være sanne eller falske (såkalte sannhetsverdier "hull"). Imidlertid kan det fremdeles unngås med en tredelt logikk , som forstår den tredje verdien som "både sant og usant" (såkalte "Gluts", f.eks. Representert av Graham Priest ). Imidlertid kan en variant av den forsterkede løgneren siteres:

"Denne setningen er ikke helt sant."

Paradokser av løgnertypen kan også genereres med flere setninger, for eksempel med følgende to:

"Neste setning er feil."
"Den forrige setningen er sann."

Denne varianten (foreslått av Philip Jourdain , også kjent som kortproblemet ) unngår direkte selvreferanse , men skaper likevel nøyaktig det samme paradokset som den klassiske løgneren. Imidlertid er det fremdeles en indirekte egenreferanse, da det er en sirkel med referanser mellom de to setningene (ligner på varianter med et større antall setninger).

I følge sitt eget krav klarer Yablos paradoks seg uten selvhenvisning . Den består av en uendelig serie setninger, som hver påstår at alle følgende setninger ikke er sanne. Også her kan ingen sannhetsverdi tildeles noen av setningene uten motsigelse, fordi motstridende betingelser må plasseres i serien av følgende setninger. Hvis dette paradokset faktisk klarer seg uten selvreferanse (som imidlertid noen ganger blir benektet i den filosofiske diskusjonen), viser det at det ikke er selvreferanse som gjør paradokset mulig, men vår håndtering av begrepene "sann" og " falsk".

En proposisjon som i stedet for sin løgn hevder sin egen undecidability skaper et relatert paradoks.

historie

Allerede Aristoteles diskuterte løgnerens paradoks i sine sofistiske motbevisninger , om enn uten et sitat eller forfatternavn. Senere antikke kilder kaller hans samtidige Eubulides som taler for løgnerens paradoks. Siden verkene til Eubulides er tapt, kommer hans argumentasjon bare fra de eldste sitatene i Cicero et al. rekonstruerbar; det kunne ha hatt følgende form for dialog:

"Når jeg lyver at jeg lyver, lyver jeg eller forteller jeg sannheten?"
"Du snakker sant."
"Hvis jeg sier sannheten og sier at jeg lyver, lyver jeg da?"
"Du ser ut til å lyve."

Denne dialogen stammer fra antinomien som ble fremkalt av den paradoksale delvis uttalelsen "Jeg sier at jeg lyver" .

Varianter av denne løgnerantinomien har blitt diskutert gjennom logikkens historie. I moderne matematisk logikk fikk den ny betydning gjennom Bertrand Russell . Han tok opp paradokset med Epimenides "Epimenides the Cretans said: All Cretans are løgnere"; denne sannsynligvis eldre, svakere pre-form av løgnerens paradoks produserer ennå ikke en antinomi; han strammet derfor opp til en virkelig paradoksal setning som genererer antinomien:

En mann sier: Jeg lyver. - En mann sier: Jeg lyver akkurat nå.

Problemer og løsninger

Skriv inn teoretisk løsning

For å løse paradokset krevde Russell en typeteori med et hierarki av utsagn og et hierarki av sannhetspredikater, nemlig uttalelser av orden n og sannhetspredikater av orden n (for n = 0, 1, 2, ...). Et sannhetspredikat av ordre n kan bare gjøres fra en uttalelse med en ordre mindre enn n . Så han løste løgnerens paradoks ved syntaktisk å ekskludere selvhenvisende uttalelser.

Separasjon av gjenstand og metallspråk

Løgnerens paradoks har blitt sett på som et betydelig problem for en filosofisk sannhetsteori siden det 20. århundre . Alfred Tarski formulerer problemet i sitt innflytelsesrike essay The Concept of Truth in Formal Languages som følger: Colloquial language is "universalistic", i. det vil si at den absorberer alle semantiske uttrykk. Men:

“Etter denne universalistiske tendensen til daglig tale med hensyn til semantiske undersøkelser, må vi følgelig [...] inkludere slike semantiske uttrykk som" sann uttalelse "," navn "," betegne "osv. På den annen side er det nettopp denne universalismen i det daglige språket innen semantikkfeltet som sannsynligvis er den essensielle kilden til alle såkalte semantiske antinomier, som løgnerens antinomier eller de heterologiske ordene; disse antinomiene synes ganske enkelt å være et bevis på at en motsetning må oppstå på grunnlag av hvert språk som vil være universelt i den ovennevnte forstand, og som de normale logikklovene skal gjelde for her. "

Tarski viser i det følgende at slike paradokser ikke oppstår for kunstige språk der en separasjon av objektspråk og metaspråk konsekvent utføres. Et essensielt kjennetegn ved denne separasjonen er at ingen uttalelser om dette språket kan komme innen objektspråket - som er reservert for metaspråket for dette språket. For uttalelser om metaspråket kreves det imidlertid en metaspråk for denne metaspråket, slik at det blir et såkalt “Tarski-hierarki”. En referanse til setninger på dette språket er derfor alltid ekskludert innenfor et språk.

Sunnhet

Et alternativ til Tarski-hierarkiet, som skal gi en modell av naturlig språk, er basert på Saul Kripkes konsept om sunnhet. Kripke gir en semantisk sannhetsteori der uttalelser om sannheten i andre setninger også kan tildeles en sannhetsverdi, så lenge de er "velbegrunnede". Ubegrunnede uttalelser aksepteres ikke som proposisjoner som er sanne eller falske; I følge Kripke er de imidlertid ikke meningsløse i den grad de uttrykker mulige proposisjoner i henhold til deres form og fremdeles kunne behandles ved hjelp av en treverdig logikk .

Grunnideen til Kripkes sannhetsteori er som følger: I et første trinn tildeles alle utsagn som ikke er avhengige av sannhetsverdien til andre utsagn (dvs. for eksempel ikke hevder at en annen setning er sanne) en sannhetsverdi. - ganske enkelt ved å sammenligne dem med virkeligheten. I et andre trinn vurderes nå alle uttalelser om sannhetsverdien til andre utsagn. Hvis en verdi kan tildeles disse uttalelsene på grunnlag av sannhetsverdiene fordelt til dette punktet, skjer dette også. Dette andre trinnet gjentas til ingen nye sannhetsverdier har blitt distribuert i en repetisjon av dette trinnet. Setninger som ikke har noen sannhetsverdi på dette "minste faste punktet", anses som ubegrunnede.

Kripke mener at han med sin sannhetsteori unngikk de vanlige formuleringene til løgneren. Han unndrar seg versjonene av den forsterkede løgneren ved å si at "ubegrunnet" ikke er en tredje sannhetsverdi, og han understreker at klassisk logikk fortsatt er gyldig for proposisjonsområdet. Imidlertid kan nye paradokser fremdeles formuleres ved hjelp av begrepet ubegrunnet (som ofte omtales i litteraturen som "løgnerens hevn"). Kripke ser dette og hevder ikke å ha gitt en universell semantikk av sannhetsbegrepet. Til slutt innrømmer han overfor Tarski behovet for en metaspråk for begreper som "ubegrunnet" eller "paradoksalt". Han ønsket bare å gi en modell for hverdagsspråket til ikke-filosofiske høyttalere, men mer raffinerte termer kunne ikke takle dette.

Generell formalisering

En formalisering av argumentet løser paradokset selv uten syntaktiske begrensninger. Klassisk proposisjonslogikk med ytterligere predikater " X lyver" (i betydningen " X lyver") og " X sier at A " og to syllogismer er tilstrekkelig som en beregning :

(1)    X lyver og X sier at A → ikke- A    (nåværende liggende)
(2)    X lyver ikke og X sier at A → A    (kortvarig sannhetsfortelling)

Denne beregningen er fri for motsetninger : Begge syllogismene gjelder i det minste i en verden der ingen sier noe (der er deres andre forutsetning galt). Så ingen antinomi kan utledes i kalkulus. Løgnerens paradoks her er en syntaktisk korrekt egenreferanse i variabel form:

(3)    X sier X lyver   (generelt løgnerparadoks)

I beregningen gjelder følgende teorem, som går tilbake til Arthur Prior :

Løgnerens paradoks (3) kan tilbakevises; benektelsen av (3) gjelder.

Indirekte bevis: antagelse (3). Første sak: X lyver; så følger det av antagelsen (3) med (1) og modus ponens : X lyver ikke. Så denne saken motsier seg selv. I det andre tilfellet: X lyver ikke; men så følger det av antagelsen (3) med (2) per modus ponens: X ligger. Begge mulige tilfeller er således motstridende og (3) tilbakevises.

Beviset spesifiserer Eubulides 'argumentasjon, men understreker samtidig hans skjulte antagelse: løgnerens paradoks, uten hvilken argumentasjonen ikke ville fungere. Det viser seg å være en sofisme som ikke er relativt konsistent med den deklarerte kalkulus og derfor utelukket som et logisk argument. Beviset er uavhengig av definisjonen av predikatene i spesielle modeller, fordi formaliseringen er en generell aksiomatisering som tillater forskjellige modeller.

Upersonlig modell

Siden formaliseringen lar tildelingen av variablene være åpne, kan X være et utsagn som også sier noe og er galt hvis det lyver; dette er oppsummert av to definisjoner:

(4)    X sier at A   X ↔ A  
(5)    X er feil   X lyver   

Disse definisjonene genererer fra (3) det upersonlige løgnerparadokset “ X ↔ X er feil”, som Priors teorem også gjelder og er opprinnelig formulert. Modellen åpner hvordan predikatet “ X ligger” er definert. Det kan skje på et utvidet semantisk språknivå, og derfor blir løgneren ansett som et semantisk paradoks. Dette er imidlertid ikke obligatorisk, som følgende modell viser.

Forslagsmodell

Den upersonlige løgnermodellen blir en proposisjonsmodell ved at predikatet som lyver ikke flyttes til et høyere semantisk språknivå, men er også definert som en uttalelse:

(6)    X gjør     ikke løgn X

Med definisjonene (4) og (6) blir syllogismene (1) og (2) bevisbare, og løgnerens paradoks (3) blir ekvivalent med selvreferansen " X ↔ not- X ", som er kjent for å være falsk.

Populær kultur

Pyntede varianter av løgnerens paradoks sirkulerer i populærkulturen: Et hyppig motiv blant science fiction-forfattere overvinner en overveldende kunstig intelligens ved å konfrontere paradokset, som antas å føre til en uendelig beregningsløyfe.

litteratur

  • JC Beall: Spandrels of Truth. Oxford 2009.
  • Elke Brendel: Sannheten om løgneren. En filosofisk og logisk analyse av løgnerens antinomi. Berlin 1992.
  • Tyler Burge : Semantisk paradoks. I: Journal of Philosophy. 76, 1979, s. 169-198.
  • Hartry Field , Saving Truth from Paradox. New York 2008.
  • William Kneale : Russells paradoks og noen andre. I: The British Journal for the Philosophy of Science. Vol. 22, 4, 1971, s. 321-338.
  • Saul Kripke : Outline of a Theory of Truth. I: Journal of Philosophy. 72, 1975, s. 690-716; også omtrykt i: ders.: Philosophical Troubles. (= Collected Papers. Volum I). Oxford 2011, s. 75-98.
  • Wolfgang Künne : Epimenides og andre løgnere. Frankfurt am Main 2013.
  • Graham Priest , The Logic of Paradox. I: Journal of Philosophical Logic. 8, 1979, s. 219-241.
  • Alexander Riistow : Løgneren. Teori, historie og oppløsning . Leipzig 1910. (Gjenta New York 1987 og Köln 1994)
  • Alfred Tarski : Sannhetskonseptet i formaliserte språk . I: Studia Philosophica. [Lemberg] 1, 1936, s. 261-405.
  • Stephen Yablo: Paradoks uten selvreferanse . I: Analyse. 53, 1993, s. 251f.

weblenker

Individuelle bevis

  1. ↑ se f.eks. B. Béla Juhos : Elements of the New Logic , 1954, s. 222 (eldste kilde til denne versjonen til dags dato)
  2. ↑ Så z. B. av Tyler Burge: Semantical Paradox. I: Journal of Philosophy. 76, 1979, s. 169-198.
  3. ↑ Se også Michael Clark: Paradoxien von A bis Z. Stuttgart 2012, s. 66–68.
  4. ↑ Yablo 1993, s. 251f.
  5. ↑ Michael Clark: Paradoxien von A bis Z. Stuttgart 2012, s. 292–294.
  6. ^ Aristoteles: Sofistiske motbeviselser (= Emne. IX). 25, 180b2-7
  7. ↑ Diogenes Laertios: Om berømte filosofers liv og lære. II 108
  8. ↑ Alexander Riistow: The løgner. S. 40. Der er en liste over sitater, Rustows rekonstruksjon på gresk, en del av oversettelsen ovenfor, så langt den er basert på de eldste Cicero-sitatene. (PDF; online)
  9. Br Elke Brendel: Sannheten om løgneren: en filosofisk-logisk analyse av løgnerens antinomi. Del II: Historien om løgneren. Berlin / New York 1993, s. 19-40. (på nett)
  10. ^ A b Bertrand Russell: Matematisk logikk som basert på typeteorien. (PDF; 1,9 MB). I: American Journal of Mathematics. 30, 1908, s. 222 (1): “Den eldste motsetningen av den aktuelle typen er Epimenides. Epimenides den kretiske sa at alle kretere var løgnere, og alle andre uttalelser fra kretere var absolutt løgner. Hva er dette en løgn? Den enkleste formen for denne motsetningen gir mannen som sier "Jeg lyver"; hvis han lyver, snakker han sannheten, og omvendt. "
  11. ^ A b Whitehead Russell: Principia Mathematica . 1910, s. 63 (1)
  12. ^ Whitehead Russell: Principia Mathematica. 1910, s. 65 (1). (på nett)
  13. ↑ Tarski 1935, s. 278.
  14. ↑ Kripke 1975, s. 699f.
  15. ↑ Kripke 1975, s. 702-705.
  16. Rip Kripke 1975, s. 700, fn. 8.
  17. ↑ Så z. B. i Rudolf Schüßler : Avkom for løgneren. Fra løgner og befestet løgner til super løgner. I: Kunnskap. 24, 1986, s. 219-234.
  18. Rip Kripke 1975, s. 715.
  19. Rip Kripke 1975, s. 714, fn. 34.
  20. ^ A b Arthur Prior: Epimenides the Cretan. I: Journal of Symbolic Logic. 23, 1958, s. 261-266; der upersonlig versjon "Denne setningen er falsk"
  21. ↑ a b Tidligere moderne presentert i: Andras Kornai: Mathematical Linguistics. Springer, 2007, s. 143, Theorem 6.1 (online)
  22. ↑ Logisk bombe på TVTropes.org