Kontinuitetsligning

En kontinuitetsligning er en viss delvis differensialligning som tilhører en konservert størrelse (se nedenfor). Den kobler den tidsmessige endringen i tettheten knyttet til denne bevaringsmengden med den romlige endringen i dens nåværende tetthet : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = 0}$

For den matematiske definisjonen av, se divergens av et vektorfelt . ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot}$

Kontinuitetsligningen forekommer i alle fysikkteorier . De oppnådde størrelsene kan være:

• den mengden ,
• den elektriske ladningen ,
• den energi ,
• den sannsynlighet og
• noen partikkelnummer ( lepton nummer , baryon nummer ).

Generellisering av kontinuitetsligningen til fysiske størrelser som ikke er konserverte størrelser er balanse ligningen . Et ekstra kildeuttrykk vises i det på høyre side av ligningen .

Forbindelse med en bevaringsmengde

"Ladningen" som er inneholdt i et volum V (volumet integrert over tettheten) kan bare endres på grunn av kontinuitetsligningen ved at ubalanserte strømmer strømmer ut av overflaten av volumet. Følgelig endres den totale ladningen ikke over tid og er en bevaringsmengde hvis ingen (netto) strømmer strømmer gjennom overflaten av det aktuelle volumet. ${\ displaystyle V \ to \ infty}$

Fordi endringen i ansvar over tid , gitt av ${\ displaystyle Q_ {V}}$

${\ displaystyle Q_ {V} = \ iiint _ {V} \ mathrm {d} ^ {3} x \, \ rho (t, {\ vec {x}})}$

i et volum som ikke endrer seg over tid , er på grunn av kontinuitetsligningen i henhold til Gauss integrerte teorem${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q_ {V}} {\ mathrm {d} t}} = \ iiint _ {V} \ mathrm {d} ^ {3} x \, {\ frac {\ delvis \ rho} {\ partial t}} = - \ iiint _ {V} \! \ mathrm {d} ^ {3} x \, {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = - \ oint _ {\ partial V} \, {\ vec {j}} \; \ cdot {\ vec {n}} \, \ mathrm {d} S \ ,,}$

lik arealet integrert over volumets kantareal over proporsjonen av strømtettheten som flyter utover i retning av overflatens normale . Ladningen i volumet endres bare hvis ubalanserte strømmer strømmer gjennom kantoverflaten på den angitte måten. ${\ displaystyle \ delvis V}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Spesielle kontinuitetsligninger

Hydrodynamikk

Dersom den massetettheten endringer i hydrodynamikk fordi væsken strømmer med hastigheten langs de baner , da den tilsvarende strømtettheten ${\ displaystyle \ rho (t, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ tfrac {\ mathrm {d} {\ vec {x}}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {j}} = \ rho \, {\ vec {u}}}$

og ligningen av kontinuitet er

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot (\ rho {\ vec {u}}) && = 0 \\\ Venstre-pil & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ rho \ cdot {\ vec {u}} + \ rho {\ vec { \ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} && = 0 \ end {alignat}}}$(Årsak: produktregel )

For endringen i tetthet over tid for en partikkel som går gjennom bane , sier dette: ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ rho \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}}} {\ mathrm {d} t}} && = - \ rho \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} \\\ Leftrightarrow & {\ frac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho (t, {\ vec {x}} (t)) && = - \ rho \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ cdot \, {\ vec {u}} \ end {alignat}}}$(Årsak: total differensial ).

Langs en bane endres tettheten med avviket i strømmen ${\ displaystyle {\ vec {u}}.}$

Flyten er ukomprimerbar hvis tettheten forblir konstant langs en bane:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho (t, {\ vec {x}} (t)) = 0}$

Det følger av at i dette tilfellet er avviket i strømmen null:

${\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial y }} + {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} = 0}$

Elektrodynamikk

I elektrodynamikk resulterer kontinuitetsligningen for den elektriske ladetettheten og den elektriske strømtettheten fra identiteten og de to inhomogene Maxwell-ligningene${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times \ dots = 0}$

${\ displaystyle 0 \ \ {\ stackrel {\ operatorname {div} \ \ operatorname {red} \ = \ 0} {=}} \ \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {H}} \ høyre) \ \ {\ stackrel {\ text {Maxwell}} {=}} \ \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac { \ partial} {\ partial t}} {\ vec {D}} + {\ vec {j}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {D}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla} } \ cdot {\ vec {j}} \,}$

d. dvs. den følger med den andre inhomogene Maxwells ligning

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = 0 \.}$

I halvledere beskriver brudd på kontinuitetsligningen

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = - r + g}$

endringen i romladetettheten på grunn av rekombinasjonshastigheten per volum ,, og generasjonshastigheten . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle g}$

Fra Maxwell-ligningene av elektrodynamikk følger det (i CGS- enheter) for energitettheten

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {8 \ pi}} \ left ({\ vec {E}} ^ {2} + {\ vec {B}} ^ {2} \ right)}$

og energistrømstettheten (også Poynting-vektor )

${\ displaystyle {\ vec {S}} = {\ frac {c} {4 \ pi}} \ left ({\ vec {E}} \ times {\ vec {H}} \ right)}$

nesten en kontinuitetsligning:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {S}} = - {\ vec {j}} \ cdot {\ vec { E}} \,.}$

Kontinuitetsligningen for energien i det elektromagnetiske feltet oppfylles der den elektriske strømtettheten forsvinner, for eksempel i vakuum. Der kan energitetthet bare endres gjennom energistrømmer. Der den elektriske strømtettheten ikke forsvinner, fungerer det elektriske feltet og bytter energi med ladebærerne. ${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {E}}}$

Kontinuitetsligningen for elektromagnetisk feltenergi er Poyntings setning .

I den relativistiske formulering av elektro med Minkowski vektorer , cρ og j er kombinert for å danne en fire-vektor . Som ovenfor følger det av Maxwells ligninger at dens fireveis divergens forsvinner. Denne formuleringen er uavhengig av den valgte Minkowski-signaturen, tilsvarende kontinuitetsligningen og kan generaliseres til relativistiske feltteorier. ${\ displaystyle (j ^ {\ alpha}) = (c \ rho, j_ {x}, j_ {y}, j_ {z}) \ ,,}$${\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} j ^ {\ alpha} = {\ frac {c \ partial \ rho} {c \ partial t}} + {\ frac {\ partial j_ {x}} {\ partial x }} + {\ frac {\ partial j_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial j_ {z}} {\ partial z}} = 0 \,.}$

Kvantemekanikk

I ikke-relativistisk kvantemekanikk er tilstanden til en partikkel, for eksempel et enkelt elektron , beskrevet av en bølgefunksjon . ${\ displaystyle \ Psi ({\ vec {x}}, t)}$

Den kvadratet av beløpet

${\ displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t) = | \ Psi ({\ vec {x}}, t) | ^ {2}}$

er sannsynlighetstettheten for å sikre en partikkel på det tidspunktet der stedet skal bli funnet. Med tilhørende sannsynlighet strømtetthet${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle {\ vec {j}} = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ Psi ^ {*} {\ vec {\ nabla}} \ Psi - \ Psi {\ vec {\ nabla }} \ Psi ^ {*})}$

Uten et eksternt magnetfelt gjelder kontinuitetsligningen som en konsekvens av Schrödinger- ligningen

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = 0 \,}$.

Hvis det er et eksternt magnetfelt, må Pauli-ligningen brukes, og dette resulterer

${\ displaystyle {\ vec {j}} = - {\ frac {i \ hbar} {2m}} (\ Psi ^ {\ dolk} {\ vec {\ nabla}} \ Psi - ({\ vec {\ nabla }} \ Psi ^ {\ dolk}) \ Psi) - {\ frac {q} {m}} {\ vec {A}} \ Psi ^ {\ dolk} \ Psi + {\ frac {\ hbar} {2m }} {\ vec {\ nabla}} \ times (\ Psi ^ {\ dolk} {\ vec {\ sigma}} \ Psi)}$

hvor står for Pauli-matriser . Det siste begrepet forsvinner når divergensen dannes og ikke kan avledes direkte fra Pauli-ligningen, men er et resultat av det ikke-relativistiske grensesaken til Dirac-ligningen. ${\ displaystyle \ sigma}$

I sammenheng med relativistisk kvantemekanikk, adlyder partikler Klein-Gordon-ligningen (for skalære bosoner ) eller Dirac-ligningen (for fermioner ). Siden ligningene adlyder den spesielle relativitetsteorien, kan kontinuitetsligningene for disse tilfellene være tydelig kovariante

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = \ partial _ {t} \ rho + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} = 0}$

skrives og det oppstår

${\ displaystyle j _ {\ text {KG}} ^ {\ mu} = \ mathrm {i} \ left (\ phi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ phi - \ phi \ partial ^ {\ mu } \ phi ^ {*} \ right)}$

${\ displaystyle j _ {\ text {Dirac}} ^ {\ mu} = \ psi ^ {\ dolk} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}$

der og henholdsvis står for skalar bosoniske / vektor verdsettes fermioniske bølgefunksjon og er de Dirac matriser . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ gamma}$

I sammenheng med Klein-Gordon-kontinuitetsligningen - i motsetning til det ikke-relativistiske eller fermion-tilfellet - kan ikke mengden tolkes som en sannsynlighetstetthet, siden denne størrelsen ikke er positiv semidefinit. ${\ displaystyle j ^ {0} = {\ frac {1} {c}} \ mathrm {i} \ left (\ phi ^ {*} \ partial _ {t} \ phi - \ phi \ partial _ {t} \ phi ^ {*} \ høyre)}$

Ytterligere bruksområder: generelt konserverte mengder

Analogien til det "elektriske" tilfellet viser at kontinuitetsligninger alltid må gjelde når en ladningslignende mengde og en strømlignende mengde er relatert som angitt ovenfor. Et annet konkret eksempel kan være varmestrømmen , som er viktig i termodynamikken . Når den er integrert over hele rommet, må "ladetettheten" resultere i en bevaringsmengde, f.eks. B. den totale elektriske ladningen, eller - når det gjelder kvantemekanikk - den totale sannsynligheten, 1 eller i det tredje tilfellet, den totale tilførte varmen, i systemer hvis varmeinnhold kan sees på som "bevart" (f.eks. Varmediffusjon ) .

I væskemekanikk følger kontinuitetsligningen fra kontinuitetsloven for (komprimerbare) væsker.

litteratur

• Batchelor, GK : En introduksjon til fluid dynamics, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-66396-2

weblenker

• Video: ligning av kontinuitet . Institute for Scientific Film (IWF) 2004, tilgjengeliggjort av Technical Information Library (TIB), doi : 10.3203 / IWF / C-14818 .

Referanser og fotnoter

1. ↑ Når du blant annet avleder divergensen til det såkalte Maxwells komplementet dannes og utbyttbarheten til det partielle derivatet med divergensoperatøren blir brukt.${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {D}}} {\ partial t}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}$
2. ↑ Torsten Fließbach : Electrodynamics Spectrum Akademischer Verlag, 3. utgave, s. 159.