Hyper strømlinjeforming

Med Hyper strømlinjer ( engelsk singular Hyper Streamline ) kan være symmetrisk, virkelige tensor andre trinn med ikke-negative egenverdier skildrer analoge med kraftlinjer i et vektorfelt. De ble beskrevet i 1993 av Lambertus Hesselink og Thierry Delmarcelle.

En slik fremstilling av tensorfeltet av hyperstrømslinjer er spesielt nyttig hvis en av egenvektorene er relatert til en partikkelstrøm.

Handling

Et tensorfelt kartlegger hvert punkt i rommet til en tensor. For å kunne forestille seg dette arrangementet, er en visualisering nyttig.

En symmetrisk andre ordens tensor er gitt av en firkantet, symmetrisk matrise . Den vesentlige informasjonen er ikke inkludert i matrisens oppføringer, men dens egenvektorer og egenverdier. I følge spektralsetningen er egenvektorene til symmetriske matriser vinkelrett på hverandre. Tensoren kan således representeres av tre gjensidig vinkelrette vektorer hvis lengder er nøyaktig egenverdiene. Negative egenverdier vil allerede føre til et representasjonsproblem på dette punktet, og det er derfor man begrenser seg til symmetriske tensorfelt med ikke-negative egenverdier.

En mulig visualisering av tensoren felt er enten vise disse tre vektorene som pilene ved visse punkter i rommet (for eksempel et rutenett), eller for å opprette en ellipsoide ved hjelp av pilene , med semiaxes av ellipsen i retning av egenvektorene og som lengde er gitt av egenverdiene.

Hyperstrømlinjer representerer derimot ikke tensorfeltet ved gitterpunkter, men snarere gjennom rør som smører ellipsoidene beskrevet ovenfor i retning av den første egenvektoren (f.eks. Den med størst egenverdi). Slangens senterlinje er således nettopp den strømlinjen som oppnås fra vektorfeltet til den "første" egenvektoren. Tverrsnittet av hyperstrømlinjen er elliptisk, med halvaksene til ellipsen gitt av retningene til de to andre egenvektorene og deres egenverdier. Siden informasjonen om den første egenverdien gikk tapt, blir denne lengden kodet med forskjellige farger langs røret.

eksempel

Eksempel på en egenverdiligning med en symmetrisk matrise ,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ - 1 & -1 & 3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}} = \ lambda {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}} \ ,,}$

${\ displaystyle \ lambda = 1: \, \ mathbf {e} _ {1} = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end { pmatrix}} \ ,, \ \ lambda = 2: \, \ mathbf {e} _ {2} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ \ 0 \ end {pmatrix}} \ ,, \ \ lambda = 4: \, \ mathbf {e} _ {3} = {\ frac {1} {\ sqrt {6}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \,.}$

weblenker

• Heike Jänicke, Visualisering I, 8 , forelesningsnotater Uni Heidelberg (PDF; 4,2 MB)
• Burkhard Wünsche, Hyperstreamlines , IEEE Computer Graphics and Applications, 13 (1993) 25-33