Frekvensspektrum

Den frekvensspektrum , vanligvis simpelthen spektrum , av et signal som angir dens sammensetning fra forskjellige frekvenser . Generelt er frekvensspekteret en kompleks verdsatt funksjon . Mengden kalles amplitudespektret , fasevinkelen kalles fasespekteret . ${\ displaystyle {\ understrek {X}}}$${\ displaystyle | {\ understrek {X}} |}$${\ displaystyle \ arg {\ understrek {X}}}$

Begrepet frekvensspektrum inkluderer mange forskjellige fenomener fra alle fysikkområder som optikk , akustikk , elektrodynamikk eller mekanikk .

• Lys består av bølger med forskjellige frekvenser. Fargen endres vanligvis med spekteret av lys, se fargeoppfatning .
• Frekvensen til en tone bestemmer tonehøyde . Blant annet karakteriserer frekvensspekteret til lyden lyden til et musikkinstrument eller en menneskelig stemme.
• Frekvensblandingen av et kringkastingssignal inneholder bilde- og lydinformasjonen.
• Frekvensen til en mekanisk svingning bestemmer hvor ofte svingningen gjentar seg på en viss tid. En komplisert mekanisk vibrasjon er for eksempel avbøyning av en seismograf under et jordskjelv . De er sammensatt av vibrasjoner av forskjellige frekvenser.

Frekvensspekteret til et signal kan beregnes ut fra det underliggende signalet ved hjelp av Fourier-transformasjonen . Representasjonen i frekvensdomenet brukes i fysikk og teknologi for å beskrive fysiske prosesser enklere enn av funksjoner av tid eller sted.

Frekvensspektrum for et tidssignal

På grunn av deres hyppige bruk blir klassen av såkalte tidssignaler beskrevet først. Frekvensspekteret til et tidssignal er basert på forestillingen om at et tidsavhengig signal x (t) kan være sammensatt som en sum eller en integral av komplekse eksponensielle funksjoner av forskjellige frekvenser ved hjelp av transformasjonsreglene i Fourier-serien eller Fourier-transformasjonen. De komplekse eksponensielle funksjonene kalles i denne sammenheng "strukturfunksjoner". Frekvensspektret beskriver vektingen (dvs. styrke) som strukturfunksjonen assosiert med den respektive frekvensen er inkludert i det totale signalet. Formlene for den inverse Fourier-transformasjonen er vist for den matematiske representasjonen av signalsyntesen. For å gjøre dette er det nødvendig å skille hvilken type signal som er tilstede.

Periodisk signal med et diskret spektrum

Hvis signalet er en kontinuerlig periodisk funksjon med periodevarigheten , lyder den tilsvarende ligningen: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ understrek {X}} (n) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi (n \ cdot f_ {0}) t}}$

Ligningen beskriver signalet x (t) som en sum av komplekse eksponensielle svingninger av frekvensene . Funksjonen kalles spektrumet til signalet x ${\ displaystyle e ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi ft}}$${\ displaystyle f = 0, \ pm f_ {0}, \ pm 2 \ cdot f_ {0}, \ pm 3 \ cdot f_ {0} ...}$${\ displaystyle {\ understrek {X}}}$

${\ displaystyle {\ understrek {X}}: \ mathbb {Z} _ {0} \ rightarrow \ mathbb {C}, n \ rightarrow {\ understrek {X}} (n) = {\ frac {1} {T }} \ int _ {0} ^ {T} x (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} 2 \ pi (n \ cdot f_ {0}) t} dt,}$

med den grunnleggende frekvensen . Tallet er representativt for n ganger grunnfrekvensen. Den komplekse eksponensielle svingningen kan beskrives ved ligningen . Siden spekteret bare er definert for de diskrete frekvensene , snakker man om et diskret spektrum eller et linjespektrum . ${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {1} {T}}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n \ cdot f_ {0}}$${\ displaystyle e ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi ft}}$${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi ft} = \ cos (2 \ pi ft) + \ mathrm {i} \ sin (2 \ pi ft), ~ \ mathrm {i} = {\ sqrt {-1}}}$${\ displaystyle n \ cdot f}$

Ikke-periodisk signal med et kontinuerlig spektrum

Hvis signalet x (t) er en ikke-periodisk tidskontinuerlig funksjon med endelig signalenergi , lyder den tilsvarende transformasjonsligningen:

${\ displaystyle x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ understrek {X}} (f) {\ textrm {e}} ^ {\ mathrm {i} 2 \ pi ft} df}$

I dette tilfellet kalles funksjonen signalets spektrum${\ displaystyle {\ understrek {X}}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ understrek {X}}: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C}, f \ rightarrow {\ understrek {X}} (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } x (t) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} 2 \ pi ft} dt.}$

Siden spekteret er definert for alle reelle verdsatte frekvenser, blir det også referert til som et såkalt kontinuerlig spekter. Spekteret av den kontinuerlige Fourier-transformasjonen kan representeres som grenseverdien for linjespektret i Fourier-serien for grenseovergangen til en uendelig lang signalperiode. ${\ displaystyle T \ to \ infty}$

Forklaringer og andre signalklasser

Begge frekvensspektrene er definert for både positive og negative frekvenser. For reelle verdier signaler x (t), spektrene for positive og negative frekvenser, men er avhengige av hverandre, og vi har: . Stjernen angir den komplekse bøyningen . Som regel vises derfor spekteret av negative frekvenser bare for komplekse verdsatte signaler. ${\ displaystyle {\ understrek {X}} (f) = {\ understrek {X}} (- f) ^ {*}}$${\ displaystyle ^ {*}}$

Innen rammen av teorien om Fourier-analyse defineres også transformasjonsformler for andre klasser av signaler, for eksempel for tidsklare, verdikontinuerlige signaler, dvs. H. samplede analoge signaler. Begrepene frekvensspektrum , amplitudespektrum og fasespektrum er definert analogt som komplekse funksjoner så vel som deres mengder og faser. Detaljene presenteres i artikkelen om Fourier-transformasjonen og lenkene den inneholder.

I forbindelse med ikke-periodiske effektsignaler som støysignaler, er det begrepet spektral effekttetthet , som, i likhet med frekvensspektret, også beskriver spektralsammensetningen til et signal. Det særegne ved ikke-periodiske strømsignaler er at de ikke kan transformeres fra Fourier. Dette kan sees fra det faktum at de tilknyttede transformasjonsintegralene avviker. Likevel kan en forbindelse med begrepet Fourier-transformasjon etableres, noe som er viktig for metrologisk praksis. Hvis signalet er basert på en ergodisk genereringsprosess , kan spektral effekttetthet bestemmes tilnærmet ved å underkaste et delsignal med endelig varighet av det faktisk uendelig lange signalet til en Fourier-transformasjon. Kvadraten til Fourier-transformasjonen er da omtrent proporsjonal med den spektrale effekttettheten. ${\ displaystyle | {\ understrek {X}} | ^ {2}}$

Eksempler

Elementære signaler

Spill av mediefilen

Lyd- og spektralanalysen avklarer z. B. vokalformantene som frekvensområder med økt intensitet.

Spektrene av elementære signaler er inneholdt i beskrivelsene av de tilhørende signaltransformasjonene, se eksempler for Fourier-serien og eksempler for Fourier-transformasjonen . Som et eksempel skal flere spektre av enkle signaler vises. Det fjerde eksemplet viser innflytelsen fra fasespektret på et smalbåndssignal .

Amplitude spektrum av et sinusformet signal.

Amplitudespekteret til et firkantbølgesignal.

Amplitude spektrum av en firkantet puls.

Amplitude spektrum av to burst-signaler med fasespektre.

Amplitudespekteret til et lydsignal

Tenk på amplitude-spekteret til følgende fiolin tone

• Fiolin tone d 'i en godt temperert tuning (294 Hz) ^{? / i}

Spekteret av fiolintonen avhenger av tidsperioden som er valgt for analyse. Hvis man ser på et signalutdrag som ble spilt inn mens strengene ble slått, gjenkjenner man i tillegg til den grunnleggende frekvensen på f ₀  = 294 Hz, klare frekvenskomponenter i heltallsmultiplene . Dette kan forklares med det faktum at strengen ikke bare vibrerer i sin grunnleggende bølge, der strengen opplever en avbøyning i hele sin lengde, men har også flere noder ved 1/2, 1/3, 2/3, 1 / Form 4, 2/4, 3/4, ... lengden på strengen. Svingningen ved et mangfold av det grunnleggende kalles overtone på musikalsk språk . Uttrykket til de enkelte overtonene bestemmes ikke bare av strengens vibrasjon, men også av instrumentets overordnede arrangement (streng, resonanslegeme, strengtrykk når du bukker eller avbøyning når du plukker). I motsetning til signalutdraget under bøyningen, viser signalutdraget, som tar hensyn til tonens forfall, ingen signifikante overtone-komponenter. ${\ displaystyle f_ {n} = nf_ {0}}$

Frekvensspekter av lys

Mens frekvensspekteret i radioområdet til det elektromagnetiske spekteret fremdeles kan bestemmes ut fra den tidsmessige progresjonen av det elektriske feltstyrken , er dette ikke lenger mulig i det spektrale lysområdet , fordi frekvensene er over 100 terahertz . Vanlige plotter av optiske spektre (se spektroskopi ) har ofte lysets bølgelengde eller energien til lyskvanta som x-aksen. Hvis det derimot er frekvensen, snakker man om et frekvensspekter. Bølgelengdespektrene er bredere i den røde enden, frekvensspektrene i den blå enden - bredere og flatere, hvis spektret er vist som spektralintensitet per enhet av x-aksen.

Romfrekvensspektre

Hvis det underliggende signalet s ikke avhenger av tiden t, men av koordinatene til stedet, snakker man om et såkalt romlig frekvensspektrum. Romfrekvensspektre kan være en, to eller tredimensjonale, avhengig av om en, to eller tredimensjonale strukturer blir analysert. De kan ha et kontinuerlig så vel som et diskret definisjonsdomene.

Eksempler på strukturer med et kontinuerlig domene er

• den grå verdi gradienten langs en linje (endimensjonal)
• den grå verdikurven til et svart-hvitt fotografi (todimensjonalt)
• intensitetsfordelingen av en fysisk størrelse i rommet (tredimensjonal)

Eksempler på strukturer med et diskret domene er

• den grå verdi gradienten på diskrete punkter langs en linje (endimensjonal)
• den grå verdikurven på diskrete punkter i et svart-hvitt fotografi (todimensjonalt), f.eks. B. Pikselgrafikk
• punktfordelingen av et krystallgitter i rommet

Som er analogt i frekvensspekteret til en tidsfunksjon med det romlige frekvensspekteret basert på visningen, er at det totale signalet s (x, y, z) ved å bruke transformasjonsreglene i Fourier-serien og Fourier-transformasjonen som en sum eller en integral av komplekse eksponensialer av romlige frekvenser , og satt sammen kan være. ${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle f_ {y}}$${\ displaystyle f_ {z}}$

Fase av strukturelle funksjoner i 2d Fourier-transform

Den eksponensielle funksjonen kan illustreres av den lokasjonsavhengige signalfasen. I tilfelle av en todimensjonal transformasjon, vises dette i det tilstøtende bildet for forskjellige romlige frekvenser. Det kan sees at generelt indikerer vektoren retningen for maksimal faseendring. ${\ displaystyle {\ vec {f}} = (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$

Ikke-periodisk signal med et kontinuerlig spektrum

Hvis signalet s (x, y, z) er en ikke-periodisk tidskontinuerlig funksjon av de tre posisjonskoordinatene x, y og z, lyder den tilsvarende transformasjonsligningen:

${\ displaystyle s (x, y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } {\ understrek {S}} (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z}) {\ textrm {e}} ^ {i2 \ pi (f_ {x} x + f_ {y} y + f_ {z} z)} df_ {x} df_ {y} df_ {z}}$

Funksjonen kalles signalets romlige frekvensspektrum${\ displaystyle {\ understrek {S}} (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z})}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ understrek {S}}: \ mathbb {R} ^ {3} \ rightarrow \ mathbb {C}, (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z}) \ rightarrow {\ understrek { S}} (f_ {x}, f_ {y}, f_ {z}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} s (x, y, z) \ cdot \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} 2 \ pi (f_ {x} x + f_ {y} y + f_ { z} z)} dxdydz.}$

Mål frekvensspekteret

Frekvensspekteret til et elektrisk signal kan måles med en spektrumanalysator eller signalanalysator . Spekteret er da z. B. bestemt ved hjelp av Fourier-analyse (se også Fourier-transformasjon ) eller i henhold til prinsippet til heterodynmottakeren fra tidssignalet. Resultatet av denne transformasjonen er amplitudene til de respektive frekvenskomponentene A ( f ) som en funksjon av frekvensen  f, og i tilfelle amplitudefordelinger som varierer over tid, en fordeling A ( f, t ) som en funksjon av frekvens  f og tiden  t .

Karakteristiske spektre

Avhengig av antall og harmoniske frekvenser den inneholder, resulterer spekteret av et (endimensjonalt) lydsignal i en lyd (harmonisk), en lydblanding (noen få inharmoniske frekvenser), en støy (inharmonisk) eller en lyd ( alle frekvenser, forekommer statistisk).

Periodiske signaler har vanligvis et linjespekter , mens ikke-periodiske signaler som pulser har et kontinuerlig frekvensspektrum .

Frekvensspekter av en trekantet spenning . Basisfrekvens 220 Hz.

Eksempler

• En ren sinusformet svingning har bare en linje av frekvensen som frekvensspektrum.
• Et firkantbølgesignal med frekvens f har et linjespektrum med frekvensene f , 3 · f , 5 · f , ...
• Med en pulsgenerator kan du generere alle overtoner opp til ekstremt høye frekvenser uten hull .
• Et notat på et musikkinstrument høres alltid sammen med harmonene . Settet med alle lydfrekvenser er frekvensspekteret til denne tonen.
• En amplitudemodulert radiosender (f.eks. På middels bølge ) som overfører tale og musikk opptil 8 kHz ved 1 MHz, har et frekvensspektrum på 0,992 til 1,008 MHz.
• Hvis systemet avgir elektromagnetisk stråling , snakker man om det elektromagnetiske spekteret .

Andre betydninger

I bredere forstand betegner frekvensspektrum en liste over frekvenser som må sees sammen i forhold til et bestemt synspunkt, f.eks. B. frekvensspekteret til radio- og TV-kanaler ; se frekvensbånd .

Et responsspektrum brukes til å designe strukturer mot belastningen fra jordskjelv .

Se også

• Vippesvingning
• Firkantbølge
• Slå

Individuelle bevis

1. Üd Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse og anerkjennelse: En introduksjon for informasjonsteknikere, Springer, 1998, s. 69. Sitat i forbindelse med den komplekse Fourier-serien: “Serien kan tolkes som en ortogonal utvikling av funksjonen x i henhold til systemet av strukturelle funksjoner, [...] "${\ displaystyle \ phi _ {n} (t) = e ^ {jn \ omega _ {0} t}, n = - \ infty ... + \ infty}$

litteratur

• Curt Rint : Håndbok for høyfrekvente og elektriske teknikere, bind 2. 13. utgave, Hüthig og Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4 .
• Gregor Häberle, Heinz Häberle, Thomas Kleiber: Ekspertise innen radio, TV og radioelektronikk. 3. utgave, Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 1996, ISBN 3-8085-3263-7 .
• Horst Stöcker: Pocket book of physics. 4. utgave, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-8171-1628-4 .
• Thomas Görne: Lydteknikk. 1. utgave, Carl Hanser Verlag, Leipzig 2006, ISBN 3-446-40198-9 .

weblenker

Wiktionary: Frekvensspektrum  - forklaringer av betydninger, ordets opprinnelse, synonymer, oversettelser