Fokker-Planck ligning

Løsning av 1D Fokker-Planck ligning med drift og diffusjonsbetingelser. Den første betingelse er en deltafunksjon ved og fordelingen driver mot venstre.

{\ displaystyle x = 1}

Den Fokker-Planck ligning (FPG, etter Adriaan Daniël Fokker (1887-1972) og Max Planck (1858-1947)) er en partiell differensialligning . Den beskriver utviklingen av en sannsynlighetstetthetsfunksjon over tid under påvirkning av drift og diffusjon . I sin endimensjonale form er ligningen: ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle A (x, t)}$ ${\ displaystyle B (x, t)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} P (x, t) = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ Big [} A (x, t) \, P (x, t) {\ Big]} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} {\ Big [} B ( x, t) \, P (x, t) {\ Big]}}

I sannsynlighetsteori er denne ligningen også kjent som Kolmogorov fremoverligning og i dette tilfellet oppkalt etter matematikeren Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov . Det er en lineær parabolsk delvis differensialligning som bare kan løses analytisk nøyaktig for noen få spesielle tilfeller (enkel kroppsgeometri ; linearitet av grensebetingelsene , drift og diffusjonskoeffisienter) .

For å forsvinne drift og konstant diffusjon , endres FPG til diffusjon (eller varmeledning) ligningen. ${\ displaystyle A (x, t) = 0}$ ${\ displaystyle B (x, t) = B}$

I dimensjoner er dette Fokker-Planck-ligningen ${\ displaystyle D}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} P (\ mathbf {x}, t) = - \ sum _ {i = 1} ^ {D} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ Big [} A_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {D}) P (\ mathbf {x}, t) {\ Big]} + {\ frac {1 } {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {D} \ sum _ {j = 1} ^ {D} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ delvis x_ {j}}} {\ Big [} B_ {ij} (x_ {1}, \ ldots, x_ {D}) P (\ mathbf {x}, t) {\ Big]}}

Den Smoluchowski ligning brukes når beskriver stillingene av partiklene i systemet. ${\ displaystyle x}$

For Markovian-prosesser kommer FPG fra Kramers-Moyal-utvidelsen , som avsluttes etter andre ordre.

Av stor betydning er den ekvivalente beskrivelsen av problemer ved bruk av Langevin-ligninger , som sammenlignet med FPG beskriver den mikroskopiske dynamikken i stokastiske systemer og - i motsetning til FPG - generelt er ikke-lineære .

Derivasjon

FPG kan avledes fra den kontinuerlige ligningen Chapman-Kolmogorow , en mer generell ligning for tidsutviklingen av sannsynligheter i Markov-prosesser , hvis er en kontinuerlig variabel og hoppene i er små. I dette tilfellet er en Taylor-utvidelse (i dette tilfellet også kalt en Kramers-Moyal-utvidelse) Chapman-Kolmogorov-ligningen ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle P (x, t) = \ int {P \ left (x- \ Delta x, t- \ Delta t \ right) \ Psi \ left (x- \ Delta x, \ Delta x \ right) \ mathrm {d} ^ {D} \! \ left (\ Delta x \ right)}}

mulig og resulterer i FPG. Her er sannsynligheten for at en stat vil overgå fra til stat . Du kan også starte utviklingen direkte fra hovedligningen , da er Taylor-utvidelsen i henhold til tiden ikke lenger nødvendig. ${\ displaystyle \ Psi \ left (x- \ Delta x, \ Delta x \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (x- \ Delta x \ right)}$ ${\ displaystyle x}$

Forutsatt at overgangssannsynligheten er liten for store avstander (bare små hopp finner sted) kan man bruke følgende Taylor-utvidelse (ved å bruke sumkonvensjonen ): ${\ displaystyle \ Psi}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$

{\ displaystyle {\ begin {justert} P (x, t) \ approx \ int P (x, t) \ Psi \ left (x, \ Delta x \ right) - \ Delta t \, \ Psi \ left (x , \ Delta x \ right) {\ frac {\ partial P (x, t)} {\ partial t}} & - \ Delta x_ {i} \, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i} }} P (x, t) \ Psi \ left (x, \ Delta x \ right) \\ & + {\ frac {1} {2}} \ Delta x_ {i} \ Delta x_ {j} \, { \ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} P (x, t) \ Psi \ left (x, \ Delta x \ right) \; \, \ mathrm {d} ^ {D} \! \ venstre (\ Delta x \ høyre) \ slutt {justert}}}

Ved å utføre integrasjonen (siden den ikke er avhengig av at den kan ekstraheres fra integralene) oppnår man ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ Delta x}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left \ langle \ Delta x_ {i} \ right \ rangle P + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} \ left \ langle \ Delta x_ {i} \ Delta x_ {j} \ høyre \ rangle P}

Med

{\ displaystyle A_ {i} = \ left \ langle \ Delta x_ {i} \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int \ Delta x_ {i} \ Psi \, \ mathrm { d} ^ {D} \ Delta x}

{\ displaystyle B_ {ij} = \ left \ langle \ Delta x_ {i} \ Delta x_ {j} \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ Delta t}} \ int {\ Delta x_ {i} \ Delta x_ {j} \ Psi \, \ mathrm {d} ^ {D} \ Delta x}}

Stationær løsning

Den stasjonære løsningen av den endimensjonale FPG, dvs. H. for alle , er gitt av ${\ displaystyle P_ {s} (x, t)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} P_ {s} (x, t) = 0}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle P_ {s} (x, t) = P_ {s} (x) = {\ frac {n} {B (x)}} \ exp \ left (2 \ int _ {x_ {0}} ^ {x} {\ frac {A (x ')} {B (x')}} \ mathrm {d} x '\ right),}

der normaliseringskonstanten kan bestemmes ved hjelp av tilstanden . Det skal bemerkes at integralen for underkanten forsvinner. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P_ {s} (x) \ mathrm {d} x = 1}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$

Når det gjelder høyere dimensjoner, kan en stasjonær løsning vanligvis ikke lenger finnes; her er man avhengig av ulike tilnærmingsmetoder .

Forhold til stokastiske differensiallikninger

Vær for funksjonene og . Deretter er den stokastiske differensiallikningen for Ito-prosessen (i Ito-tolkningen ) gitt av ${\ displaystyle \ mathbf {U} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {V} \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} ^ {n \ times m}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {X} _ {t} \} _ {t \ in \ mathbb {R} _ {+}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {X_ {t}} = \ mathbf {U} (\ mathbf {X_ {t}}, t) \ mathrm {d} t + \ mathbb {V} (\ mathbf { X_ {t}}, t) \ mathrm {d} \ mathbf {W_ {t}}}

,

der betegner en -dimensjonal Wiener-prosess ( Brownsk bevegelse ). Deretter oppfyller sannsynlighetstetthetsfunksjonen til den tilfeldige variabelen en FPG der drift eller diffusjonskoeffisienter er gitt av og . ${\ displaystyle (\ mathbf {W_ {t}})}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle P (\ mathbf {X_ {t}} = \ mathbf {x}, t) =: P (\ mathbf {x}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {U}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {B} = (B_ {ij}) = \ mathbb {V} \ mathbb {V} ^ {T}}$

Fokker-Planck ligning og baneintegral

Hver Fokker-Planck-ligning tilsvarer en stiintegral . Dette følger f.eks. B. fra det faktum at den generelle Fokker-Planck-ligningen for variabler ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ {q_ {i} \}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} P (\ mathbf {q}, t) & = F \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t \ right) P (\ mathbf {q}, t), \\ F \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {q}}} , \ mathbf {q}, t \ right) & = - \ sum _ {i = 1} ^ {D} {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} A_ {i} (\ mathbf { q}) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {D} \ sum _ {j = 1} ^ {D} {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ delvis q_ {i} \, \ delvis q_ {j}}} B_ {ij} (\ mathbf {q}), \ slutt {justert}}}

har samme struktur som Schrödinger-ligningen . Fokker-Planck-operatøren tilsvarer Hamilton-operatøren, sannsynlighetstetthetsfunksjonen tilsvarer bølgefunksjonen . Banens integrale ekvivalent med Fokker-Planck-ligningen leser deretter (se banens integral ) ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle P}$

{\ displaystyle Z = N \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ mathcal {D}} \ mathbf {q} \ int _ {- i \ infty} ^ {i \ infty} {\ mathcal { D}} \ mathbf {\ tilde {q}} e ^ {\ int L \ mathrm {d} t}, \; \; L = F \ left (- \ mathbf {\ tilde {q}}, \ mathbf { q}, t \ right) - \ mathbf {\ tilde {q}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ mathbf {q},}

hvor er en konstant normaliseringsfaktor. Stiintegraler av denne typen er utgangspunktet for forstyrrelsesberegninger og renormaliseringsgrupper i kritisk dynamikk. Variablene er z. B. for Fourier-komponentene i ordreparameteren. Variablene kalles responsvariabler. Den Lagrange funksjon bare inneholder responsvariabler i kvadratisk form. I motsetning til kvantemekanikken anbefales det imidlertid ikke her å utføre integrasjonene. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ tilde {q}}}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ tilde {q}}}$

Fokker-Planck ligning i plasmafysikk

Fokker-Planck-ligningen er viktig i plasmafysikk fordi virkningsperioden til Boltzmann-ligningen for plasmaer kan skrives som en Fokker-Planck-term. Årsaken til dette er at partikkelenes bevegelse i plasma domineres av de mange kollisjonene med fjerne partnere, som bare forårsaker små endringer i hastighet (drift, diffusjon); I motsetning til dette er sterke kollisjoner med nærliggende partikler relativt sjeldne og derfor ofte ubetydelige.

Ligningen blir også referert til som Landau-ligningen fordi den først ble etablert av Lew Dawidowitsch Landau , men ikke i sin Fokker-Planck-form, som er beskrevet nedenfor.

I Landau-ligning gir enkeltpartikkel - distribusjonstetthet i hastighetsrom for partikler av typen , antall partikler med en viss hastighet det er. I et plasma som ingen eksterne krefter virker på, kan endringen i distribusjonstetthet på grunn av kollisjon med partikler av typen tilnærmet beskrives av ligningen: ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f _ {\ alpha} ({\ vec {v}}, t)}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ beta}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f _ {\ alpha}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial v_ {i}}} \ left \ langle \ Delta v_ {i} \ right \ rangle ^ {\ alpha \ beta} f _ {\ alpha} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v_ {i} \ partial v_ { j}}} \ left \ langle \ Delta v_ {i} \ Delta v_ {j} \ right \ rangle ^ {\ alpha \ beta} f _ {\ alpha}}

Med

{\ displaystyle \ left \ langle \ Delta v_ {i} \ right \ rangle ^ {\ alpha \ beta} = \ left (1 + {\ frac {m _ {\ alpha}} {m _ {\ beta}}} \ høyre) \ Lambda _ {c} \ left ({\ frac {4 \ pi q _ {\ alpha} q _ {\ beta}} {m _ {\ alpha}}} \ høyre) ^ {2} {\ frac {\ partial} {\ partial v_ {i}}} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi}} \ int {\ frac {f _ {\ beta} (v ')} {\ left | vv '\ right |}} \ mathrm {d} v' \ right)}

og

{\ displaystyle \ left \ langle \ Delta v_ {i} \ Delta v_ {j} \ right \ rangle ^ {\ alpha \ beta} = \ Lambda _ {c} \ left ({\ frac {4 \ pi q _ {) \ alpha} q _ {\ beta}} {m _ {\ alpha}}} høyre) ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v_ {i} \ partial v_ {j} }} \ left ({\ frac {1} {4 \ pi}} \ int f _ {\ beta} (v ') \ left | v-v' \ right | \ mathrm {d} v '\ right)}

Det er

${\ displaystyle \ Lambda _ {c}}$ den Coulomb logaritmen : jo større sin verdi, jo sterkere dominans av mange lyse kollisjoner, og bedre gyldigheten av Landau-Fokker-Planck ligningen
${\ displaystyle q _ {\ alpha}}$ og de elektriske ladningene til partikeltypene ${\ displaystyle q _ {\ beta}}$
${\ displaystyle m}$ deres masse.

Siden partiklene i plasma også kolliderer med partikler av samme art, er ligningen vanligvis ikke-lineær.

Denne ligningen blir det partikkeltallet , fart og energi . Det tilfredsstiller også H-setningen , dvs. H. Påvirkninger fører til en hastighetsfordeling av Maxwell-Boltzmann .

Se også

Konveksjon-diffusjonsligning

weblenker

litteratur

Crispin Gardiner: Stokastiske metoder. En håndbok for natur- og samfunnsvitenskap. 4. utgave. Springer, Berlin et al. 2009, ISBN 978-3-540-70712-7 ( Springer-serien i synergetikk = Springer-kompleksitet ).
Hartmut Haug: Statistisk fysikk. Likevektsteori og kinetikk. 2. revidert og utvidet utgave. Springer, Berlin et al. 2006, ISBN 3-540-25629-6 ( Springer lærebok ).
Linda E. Reichl: Et moderne kurs i statistisk fysikk. University of Texas Press. 1980, ISBN 0-7131-3517-4
Hannes Risken: Fokker-Planck-ligningen. Metoder for løsninger og applikasjoner. 2. utgave., 3. trykk, studieutgave. Springer, Berlin et al. 1996, ISBN 3-540-61530-X , ( Springer Series in Synergetics 18).
Arthur G. Peeters, Dafni Strintzi: Fokker-Planck-ligningen, og dens anvendelse i plasmafysikk. Ann. Phys. 17, nr. 2-3, 124 (2008). doi: 10.1002 / andp.200710279 .
K.-H. Spatschek: Teoretisk plasmafysikk. En introduksjon. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-03041-1 .

Individuelle bevis

^ ^A^b H. K. Janssen: Lagrangean for beregninger av klassiske feltdynamikker og renormaliseringsgruppeberegninger av dynamiske kritiske egenskaper . I: Z. Phys. B . 23, 1976, s. 377.

[Janssen1976-1] A^b H. K. Janssen: Lagrangean for beregninger av klassiske feltdynamikker og renormaliseringsgruppeberegninger av dynamiske kritiske egenskaper . I: Z. Phys. B . 23, 1976, s. 377.

Languages