Flyt (matematikk)

Konseptet med en (fase) flyt i matematikk muliggjør beskrivelsen av tidsavhengige (system) tilstander. Det er derfor av særlig betydning for analysen av vanlige differensiallikninger og brukes derfor i mange områder av matematikk og fysikk . Formelt er flyten en operasjon av en parameterhalvgruppe på et sett . For det meste, særlig i teorien om vanlige differensiallikninger , forstås en strøm som en operasjon av semigruppen . ${\ displaystyle (\ Gamma, +)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {\ geq 0}, +)}$

definisjon

Vær et sett, et sett med parametere. En illustrasjon ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ varphi \ colon X \ times \ Gamma \ to X}$

kalles en strømning dersom følgende betingelser er oppfylt:

${\ displaystyle \ varphi (x, 0) = x \ \ forall \ x \ i X}$

og

${\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, s), t) = \ varphi (x, s + t) \ \ forall \ x \ i X, \ s, t \ in \ Gamma}$

Så vi har en semi-gruppe effekt .

Mengden

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (x, \ varphi): = \ left \ {\ varphi (x, t) | t \ in \ Gamma \ right \}}$

kalles bane av . ${\ displaystyle x}$

Hvis kartleggingen er differensierbar, snakker man om en differensierbar flyt . ${\ displaystyle \ varphi \ colon X \ times \ Gamma \ to X}$

Lokal flyt

For et parametersett er en lokal strøm for et åpent delsett med åpne intervaller mer generelt definert, hvis forholdene ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ colon U \ til X}$${\ displaystyle U = \ bigcup \ nolimits _ {x \ in X} \ {x \} \ times I_ {x} \ subseteq X \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 \ i I_ {x} \ subseteq \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ varphi (x, 0) = x \ \ forall \ x \ i X}$

og

${\ displaystyle \ varphi (\ varphi (x, s), t) = \ varphi (x, s + t) \ \ forall \ x \ i X, \ s, s + t \ i I_ {x}, \ t \ i I _ {\ varphi (x, s)}}$

er fornøyd. En lokal flyt med er en (global) flyt med . ${\ displaystyle U = X \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Gamma = \ mathbb {R}}$

diskusjon

Når det gjelder analysen av dynamiske systemer , beskriver flyten bevegelsen i faseplass over tid. Avhengig av settet med parametere, snakker man om et kontinuerlig dynamisk system ( ) eller et diskret dynamisk system ( ). ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Gamma = \ mathbb {N}}$

La oss se på et system med vanlige differensiallikninger

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {F} (t, \ mathbf {x})}$

med eller en åpen delmengde av den, blir løsningene til dette systemet gitt av fasestrømmen avhengig av den opprinnelige tilstanden . Du velger da ofte en implisitt form for strømningsspesifikasjon og skriver ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} (t) {\ text {eller}} \ mathbf {x} (0)}$.

eksempel

For eksempel kan du tilordne en flyt til hvert vektorfelt . Dette er gitt av den maksimale integrerte kurven til vektorfeltet. Faktisk er hver flyt på en differensierbar manifold strømmen av et vektorfelt oppnådd gjennom . ${\ displaystyle F (x) = {\ frac {d} {dt}} \ vert _ {t = 0} \ Phi (t, x)}$

Den Ricci strømnings spiller en sentral rolle i den nå vist seg Thurstonian geometri formodning , som er en generalisering av Poincaré formodning .

Individuelle bevis

1. ↑ Theodor Bröcker, Klaus Jänich: Introduksjon til differensialtopologien . Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06461-3 , pp. 80 (§ 8. Dynamiske systemer). 

litteratur

• Manfred Denker: Introduksjon til analysen av dynamiske systemer . Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
• Werner Krabs: Dynamiske systemer: kontrollerbarhet og kaotisk oppførsel . BGTeubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4 .