Tilsetningsfunksjon

Additive , subadditive og superadditive funksjoner er matematiske objekter. Det er visse funksjonsklasser . Lineære kart er spesielle tilleggsfunksjoner.

definisjon

En funksjon kalles additiv hvis den har den funksjonelle ligningen${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y)}$

Oppfyller. Hvis definisjonen og målområdet er abelske grupper , snakker man også om - linearitet . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Sub- og superadditivfunksjoner

Hvis det er en semigruppe med lenken , kalles en kartlegging underadditiv hvis følgende gjelder for alle og fra :${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle +}$${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle f (x + y) \ leq f (x) + f (y)}$.

Figuren kalles superadditiv hvis følgende gjelder alle og utenfor :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}$.

Eksempler

• I henhold til trekanten ulikhet er normer og mengder alltid underadditive.
• Underlinjære funksjoner er underadditive.
• Lineære kart er additive.

kjennetegn

• En kartlegging er additiv hvis og bare hvis den er både subadditiv og superadditiv.
• Hvis det er en additiv funksjon, så for hvert endelig antall elementer :${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle f (x_ {1} + \ dotsb + x_ {n}) = f (x_ {1}) + \ dotsb + f (x_ {n})}$

Det samme gjelder underadditivitet og superadditivitet.

Definisjon i tallteori

Med tallteoretiske funksjoner ser man på en lenke til multiplikasjonen. En tallteoretisk funksjon kalles additiv hvis ligningen ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle f (xy) = f (x) + f (y)}$

for all coprime og gjelder. Hvis dette enda gjelder for alle og er funksjonen kalles strengt additiv . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Det er en lignende begrensning av additivitet (til å sammenføye i stedet for vilkårlige fagforeninger) i målteori.

Se også

• σ-underadditivitet
• σ-additivitet

Individuelle bevis

1. ↑ Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Gjennomsnittverdisetning og funksjonelle ligninger . 1998, ISBN 978-981-02-3544-4 , pp. 1 . 
2. ↑ ^{a b} Josip E. Peajcariaac, YL Tong: Konvekse funksjoner, delvis bestilling og statistiske applikasjoner . Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8 , pp. 8 .