Sfæresetningens midje

I matematikk er den såkalte kulesetningen (tysk om "teorem om kuleens midje"), også kalt midjeulikhet , en ulikhet i euklidisk geometri. Det ble bevist av den russisk-franske matematikeren Mikhail Leonidowitsch Gromow .

Ulikhet

Vær den enhetskule og ${\ displaystyle S ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$

${\ displaystyle f \ colon S ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {q}}$

en kontinuerlig kartet . ${\ displaystyle q \ leq n}$

Så er det minst en med ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$

${\ displaystyle \ mathrm {vol} (U _ {\ varepsilon} (f ^ {- 1} (y))) \ geq \ mathrm {vol} (U _ {\ varepsilon} (S ^ {nq})) \ {\ tekst {for alle}} \ \ varepsilon> 0}$.

Her på miljøet og den dimensjonale ekvator . ${\ displaystyle U _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle S ^ {nq} \ delmengde S ^ {n}}$${\ displaystyle (nq)}$

Kombinasjonsversjon

For hver kontinuerlig kartlegging av en simpleks i det er det en med ${\ displaystyle F \ colon \ Delta ^ {N-1} \ to \ mathbb {R} ^ {q}}$${\ displaystyle (N-1)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$

${\ displaystyle \ mid F ^ {- 1} (y) \ mid \ geq c (q) {\ dbinom {N} {q + 1}}}$

for en konstant som bare avhenger av . ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle c (q)}$

Spesielt er det noen gang poeng i et punkt , i det minste er det av disse spredte punktene -Simpliserer. (Dette er en generalisering av Carathéodorys teorem, som går tilbake til Bárány .) ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$${\ displaystyle c (q) {\ tbinom {N} {q + 1}}}$${\ displaystyle {\ tbinom {N} {q + 1}}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle q}$

historie

Ulikheten i kartleggingen under visse krav til regelmessighet kan bevises med metodene for geometrisk målingsteori utviklet av Almgren i 1965 , men ble ikke nevnt i denne formen av Almgren selv. I 1983 ga Gromov først et kort geometrisk bevis for eksistensen av en ikke-eksplisitt nedre grense av og til slutt i 2003 et bevis på ulikheten i ovennevnte form ved hjelp av algebraisk topologi. Detaljert bevis ble publisert av Memarian i 2011.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sup _ {y \ in \ mathbb {R} ^ {q}} {\ mathcal {H}} ^ {nq} (f ^ {- 1} (y))}$

litteratur

• Misha Gromov : Metriske strukturer for riemanniske og ikke-riemanniske rom . Basert på den franske originalen fra 1981. Med vedlegg av M. Katz, P. Pansu og S. Semmes. Oversatt fra fransk av Sean Michael Bates. Opptrykk av den engelske utgaven 2001. Moderne Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007 (avsnitt 2.12 ½)

weblenker

• Larry Guth : Midjeulikheten i Gromovs arbeid pdf (vises i: Abelprisen 2008-2012 , Springer Verlag 2014, ISBN 978-3-642-39448-5 )
• Parker Glynn-Addey: Av midjer og kuler
• Arseniy Akopyan, Alfredo Hubard, Roman Karasev: Nedre og øvre grenser for midjen til forskjellige rom pdf

Individuelle bevis

1. ↑ FJAlmgren: Teorien om Varifolds - en variasjonskalkulator i det store for det k-dimensjonale integrandområdet . Mimeograferte notater, 1965.
2. ↑ Mikhael Gromov: Fylle Riemannian manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983) nr. 1, 1-147. (Vedlegg 1 (F)) pdf
3. ↑ M.Gromov: Isoperimetry av midjen og konsentrasjon av kart. Geom. Funksjon. Anal. 13 (2003), nr. 1, 178-215. pdf ( Memento av den opprinnelige fra 24 september 2015 i Internet Archive ) Omtale: The arkivet koblingen ble satt inn automatisk og har ennå ikke blitt sjekket. Vennligst sjekk originalen og arkivlenken i henhold til instruksjonene, og fjern deretter denne meldingen. @1@ 2Mal: Webachiv / IABot / www.ihes.fr
4. ↑ Yashar Memarian: På Gromovs midje i sfæresetningen . J. Topol. Anal. 3 (2011), nr. 1, 7-36. pdf