Riemann-Roch-teorem

Den Riemann-Roch-teoremet (etter matematikeren Bernhard Riemann og hans student Gustav Roch ) er en sentral uttalelse av teorien om kompakte Riemann overflater . Det indikerer hvor mange lineært uavhengige meromorfe funksjoner med gitte nuller og poler som finnes på en kompakt Riemann-overflate. Teoremet ble senere utvidet til algebraiske kurver , generalisert enda lenger, og blir fortsatt videreutviklet i dagens forskning.

divisor

For å kunne foreskrive null- og polposisjoner for en funksjon på bestemte punkter, introduseres begrepet divisor . La være en Riemann-overflate. En funksjon kalles en divisor hvis den bare skiller seg fra null på isolerte punkter . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle D \ colon X \ rightarrow \ mathbb {Z}}$

Deleren til en meromorf funksjon er betegnet med og er definert på en slik måte at null- eller polrekkefølgen på er tildelt hvert punkt : ${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle (f)}$ ${\ displaystyle x \ i X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ left (f \ right) (x): = {\ begin {cases} 0, & f {\ mbox {holomorphic and not equal to zero in}} x \\ k, & f {\ mbox {has et nullordre}} k {\ mbox {in}} x \\ - k, & f {\ mbox {har en ordenspol}} k {\ mbox {in}} x \\\ infty, & f { \ mbox {forsvinner i ett nabolag av}} x \ end {cases}}}$

Dermed er divisoren til en funksjon faktisk en divisor i henhold til den første definisjonen, hvis funksjonen er forskjellig fra nullfunksjonen på hver tilkoblet komponent . For en meromorf 1-form på divisoren er definert som for en funksjon. En divisor kalles en kanonisk divisor hvis den kan skrives som en divisor av en meromorf 1-form , dvs. hvis . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (\ omega)}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle (\ omega)}$ ${\ displaystyle D = (\ omega)}$

For et kompakt Riemann-område, defineres graden av en divisor av . Summen er endelig, fordi på grunn av kompaktiteten til bæreren fra isolerte punkter, må det være et endelig sett. ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ deg D: = \ sum _ {x \ in X} D (x)}$

Uttalelse om Riemannian overflater

La være en kompakt Riemann-overflate av topologisk kjønn og en divisor . Deretter: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle g \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle \ ell (D) - \ ell (KD) = \ deg D + 1-g}

${\ displaystyle K}$ er en hvilken som helst kanonisk splitter på . betegner for en divisor dimensjonen av vektorrommet av de meromorphic funksjonene til hvis null og pole stillinger er begrenset av divisoren som følger: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ ell (E)}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle L (E)}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle L (E): = \ left \ {f: X \ rightarrow \ mathbb {P} ^ {1} {\ mbox {meromorph}} \, | \, \ left (f \ right) (x) \ geq -E (x) \; \ forall \, x \ i X \ høyre \}}

Uttalelse om algebraiske kurver

For ikke-entallige prosjektive algebraiske kurver over et algebraisk lukket felt , formuleres vanligvis Riemann-Roch-teoremet ved hjelp av kohomologiteorien . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K}$

Den lyder da:

{\ displaystyle \ dim _ {K} H ^ {0} \ left (X, {\ mathcal {O}} _ {X} \ right) - \ dim _ {K} H ^ {1} \ left (X, {\ mathcal {O}} _ {X} \ right) = 1-g}

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ er skiven av vanlige funksjoner på . I stedet for det topologiske kjønnet oppstår kurvens aritmetiske kjønn, som i tilfelle sammenfaller med det topologiske kjønnet . Den tosidigheten teorem av Serre sier at preparatet i det tilfellet med som samsvarer med seksjonen på Riemannske overflater. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$

Konsekvenser

Som et første klassifiseringsresultat følger det umiddelbart at hver Riemann-overflate er isomorf fra kjønn til Riemann-sfæren , så spesielt bare en holomorf struktur kan defineres på sfæren . For ikke-entallige prosjektive kurver av kjønn gjelder det tilsvarende at de er birasjonalt likeverdige . ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ ${\ displaystyle {S} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$
Den Riemann-Hurwitz formel om kartlegging oppførselen til holomorfe funksjoner mellom to kompakte Riemann flater eller om kartlegging oppførselen til morphisms mellom to ikke-singulære projektive kurver.
Et innebygd teorem: Hver kompakte Riemann-overflate eller enhver ikke-enestående prosjektiv kurve kan legges inn i det projiserende rommet . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$

Ytterligere generaliseringer

litteratur

Otto Forster : Riemann overflater (= Heidelberg lommebøker 184). Springer, Berlin et al. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (engelsk: Lectures on Riemann Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics 81). Korrigert 2. utskrift. Ibid 1991, ISBN 3-540-90617-7 ).
Robin Hartshorne : Algebraisk geometri (= Graduate Texts in Mathematics 52). Springer, New York et al. 1977, ISBN 0-387-90244-9 .
Klaus Lamotke : Riemann overflater. Springer, Berlin et al. 2005, ISBN 3-540-57053-5 .
Jeremy Gray, The Riemann-Roch theorem and geometry, 1854-1914 , ICM Berlin 1998, Documenta Mathematica, 1998, s. 811-822

Languages