Travers (matematikk)

En åpen travers

En lukket travers

I matematikk, en polygon eller linje er unionen av de forbindelseslinjer av en sekvens av punkter . Polygonale linjer brukes i mange grener av matematikk , for eksempel i geometri , numerikk , topologi , analyse og funksjonsteori . I tillegg brukes de også i noen applikasjonsområder som datagrafikk eller geodesi .

Polygonkurs i geometrien

definisjon

Hvis punkter er i det euklidiske planet eller i det euklidiske rommet , kalles det foreningen av linjene${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ dotsc, P_ {m}}$

${\ displaystyle [P_ {1} P_ {2}] \ cup [P_ {2} P_ {3}] \ cup \ cdots \ cup [P_ {m-1} P_ {m}]}$

Linje eller polygon fra til . Hvis de faller og kollapser, snakker man om en lukket polygon , ellers om en åpen polygon .${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {m}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {m}}$

Forhold til polygoner

Den geometriske figuren , hvis kant er dannet av en lukket polygon, kalles en polygon , punktene kalles polygonets hjørnepunkter og linjene kalles polygonens sider . Hvis punktene ligger i ett plan , kalles denne figuren en flat polygon , ellers en skjev polygon . ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {m-1}}$${\ displaystyle [P_ {1} P_ {2}], \ ldots, [P_ {m-1} P_ {m}]}$

bruk

Polygonkurs har et bredt spekter av mulige bruksområder, for eksempel i interpolering av datapunkter, i den numeriske løsningen på vanlige differensiallikninger med Eulers polygonmetode , og i modellering i datagrafikk og i datamaskinstøttet design . For bruk av polygoner i kartlegging, se polygon (geodesi) .

Polygonkurs i analyse

definisjon

La oss generelt være et reelt vektorrom og gitt elementer i vektorområdet, så kalles unionen ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {m} \ in V}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m-1} [x_ {i} x_ {i + 1}]}$

av rutene

${\ displaystyle [x_ {i} x_ {i + 1}] = \ {(1- \ lambda) x_ {i} + \ lambda x_ {i + 1} \ mid \ lambda \ in [0,1] \} }$

Linje eller polygon fra til . Er et topologisk vektorrom , disse rutene er kontinuerlige bilder av enhetsintervallet og kompakte, som da også for de dannede fra dem gjelder endelige assosiasjoner . Hver rute er alltid et eksempel på et kontinuum .${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {m}}$${\ displaystyle V}$

Utbedringsevne

Polygonale linjer spiller en viktig rolle for lengdemåling av kurver i dimensjonalt rom.${\ displaystyle n}$

En lengde er kun deklarert for korrigerbare kurver. For å bevise korrigerbarheten vurderer man for en gitt kurve alle polygoner fra til , gjennom hjørnene som kurven går i denne rekkefølgen, som således er slik at sidene av polygonen dannet av hjørnene også representerer akkorder fra . En slik mangekant kalles også Sehnenzug eller sene polygon utpekt og sies å være innskrevet . For å bestemme rectifiability av mellom og de lengder av alle innskrevet akkord polygoner blir undersøkt. Den lengde av en mangekant er det summen av lengdene av linjene . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x _ {\ text {end}}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {m} = x _ {\ text {ende}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x _ {\ text {end}}}$

Hvis det er en øvre grense for alle disse lengdene innenfor , så er det en rettbar kurve, og bare da. I dette tilfellet er lengden definert som overlegenhet av alle lengder av innskrevne akkordpolygoner (alt for kurveseksjonen til ). Følgende kriterium gjelder for å bestemme korrigering av kurver : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle L ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x _ {\ text {end}}}$

En kurve med kontinuerlig parameterisering kan rettes opp nøyaktig hvis koordinatfunksjonene er av begrenset variasjon .${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma = ({\ gamma} _ {1}, \ prikker, {\ gamma} _ {n}) \ kolon I \ til {\ mathbb {R}} ^ {n}}$   ${\ displaystyle (I = [a, b] \ subset \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle {\ gamma} _ {1}, \ prikker, {\ gamma} _ {n}}$

Forbindelse med eiendommen til området

Polygonene spiller også en rolle for å bestemme når det er et område i rommet og når det ikke er det. Følgende setning gjelder her :

En åpen delmengde av et topologisk vektorrom (og spesielt det dimensjonale rommet) er koblet sammen hvis og bare hvis to punkter kan kobles sammen av en polygon som ligger helt i .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Se også

• polyeder
• simpleks
• Måte (matematikk)

litteratur

• Rudolf Bereis: Descriptive Geometry I (=  matematiske lærebøker og monografier . Volum 11 ). Akademie-Verlag, Berlin 1964. 
• Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (=  Monografier og lærebøker i ren og anvendt matematikk . Volum 39 ). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9 . 
• Jürgen Elstrodt : Måle- og integreringsteori (=  grunnleggende kunnskap om matematikk (Springer lærebok) ). 6., korrigert utgave. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 . 
• György Hajós : Introduksjon til geometri . BG Teubner Verlag, Leipzig (ungarsk: Bevezetés A Geometriába . Oversatt av G. Eisenreich [Leipzig, også redigering]). 
• Michael Henle: A Combinatorial Introduction to Topology (=  A Series of Books in Mathematical Sciences ). WH Freeman and Company, San Francisco 1979, ISBN 0-7167-0083-2 . 
• Harro Heuser : Lærebok for analyse. Del 2 (=  matematiske retningslinjer ). 5. reviderte utgave. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0 . 
• Konrad Knopp : Funksjonsteori I. Grunnleggende om den generelle teorien om analytiske funksjoner (=  Göschen Collection . Volum 668 ). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965. 
• Willi Rinow : Topbook of Textology . German Science Publishing House, Berlin 1975. 
• Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 2: differensialregning, uendelig serie, elementer av differensialgeometri og funksjonsteori. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968. 
• Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 3: Integral kalkulator og dens anvendelser, funksjonsteori, differensiallikninger. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967. 

Referanser og kommentarer

1. ^ Willi Rinow : Topbook of Textbook . Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, s. 22-23 . 
2. ↑ Harro Heuser : Lærebok for analyse. Del 2 (=  matematiske retningslinjer ). 5. reviderte utgave. Teubner Verlag, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0 , pp. 349 ff . 
3. ↑ Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 2: differensialregning, uendelig serie, elementer av differensialgeometri og funksjonsteori. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, s. 296 ff . 
4. ^ Charles O. Christenson, William L. Voxman: Aspects of Topology (=  Monografier og lærebøker i ren og anvendt matematikk . Volum 39 ). Marcel Dekker, New York / Basel 1977, ISBN 0-8247-6331-9 , pp. 63-64 . 
5. ↑ Rudolf Bereis: Descriptive Geometry I (=  Math lærebøker og monografier . Band 11 ). Akademie-Verlag , Berlin 1964, s. 117 ff . 
6. ^ György Hajós : Introduksjon til geometri . BG Teubner Verlag, Leipzig, s. 32 ff . (Ungarsk: Bevezetés A Geometriába . Oversatt av G. Eisenreich [Leipzig, også redaksjonelt]). 
7. ↑ Som regel er grensesaken som bare består av en enkelt linje eller til og med bare et enkelt punkt ekskludert. Polygonkurs består vanligvis av minst to linjer.${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$
8. ↑ Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 3: Integral kalkulator og dens anvendelser, funksjonsteori, differensiallikninger. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, s. 306-307 . 
9. ↑ Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 2: differensialregning, uendelig serie, elementer av differensialgeometri og funksjonsteori. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1968, s. 415 ff . 
10. ↑ Hans von Mangoldt , Konrad Knopp : Introduksjon til høyere matematikk . 13. utgave. Volum 3: Integral kalkulator og dens anvendelser, funksjonsteori, differensiallikninger. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1967, s. 224 ff . 
11. ↑ Jürgen Elstrodt : Måle- og integrasjonsteori (=  grunnleggende kunnskap om matematikk (Springer lærebok) ). 6., korrigert utgave. Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , pp. 78, 308 ff . 
12. ↑ Konrad Knopp : Funksjonsteori I. Grunnleggende om den generelle teorien om analytiske funksjoner (=  Göschen Collection . Volum 668 ). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1965, s. 22-23 . 
13. ^ Willi Rinow : Topbook of Textbook . Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, s. 150 .