Metriserbar plass

I underområdet for matematikkens topologi er et metriserbart rom et topologisk rom med ekstra spesielle egenskaper.

Siden de metriske rommene er spesielle tilfeller av de topologiske rommene, er det fornuftig å spørre når et topologisk rom kan måles , det vil si hvilke tilleggskrav et topologisk rom må oppfylle slik at det er en beregning som induserer topologien. Denne artikkelen gir en oversikt over nødvendige og tilstrekkelige betingelser for metriserbarhet , som er nærmere forklart i artiklene som det refereres til herfra. Setninger som svake tilstrekkelige forhold eller tilsvarende forhold for å formulere Metrisierbarkeit er i litteraturen som Metrisationssätze refererte til.

Nødvendige forhold

Hver topologisk egenskap som metriske rom alltid oppfyller, representerer naturlig nok en nødvendig forutsetning for metriserbarheten til ethvert topologisk rom, men av spesiell interesse er imidlertid egenskaper som "bringer" rommet nærmere metriserbarhet.

• Separasjonsegenskaper: Hvert metriserbare rom er et vanlig rom og et Hausdorff-rom .
• Karakteristisk for kompakthet: Hvert metriserbart rom er parakompakt .
• Tellbarhet: Hvert metriserbart rom oppfyller det første tellingsaksiomet .

Tilstrekkelige forhold

• Urysohns metriseringssetning ( etter Pawel Samuilowitsch Urysohn ): For et Hausdorff-rom som tilfredsstiller det andre aksiomet av tellbarhet , er regelmessighet , fullstendig regelmessighet , normalitet og metriserbarhet ekvivalente egenskaper.
• Hvert kompakt Hausdorff-rom som tilfredsstiller det andre aksiomet av tellbarhet er metrisk.
• Det produkt topologien av metriske rom kan metrized hvis indeksen settet er høyst tellbar.${\ displaystyle \ textstyle X = \ prod _ {i \ i I} M_ {i}}$${\ displaystyle I}$

Tilsvarende tilstand

Nagata-Smirnows metriseringssetning : Et topologisk rom er metriserbart hvis og bare hvis det er et vanlig Hausdorff-rom og har et σ-lokalt endelig grunnlag .

Metrizability av topologiske vektorrom

• Et topologisk vektorrom kan måles om og bare hvis det tilfredsstiller det første aksiomet av tellbarhet . Metrikken kan velges slik at den er oversettelses-invariant og de åpne sfærene balanseres rundt nullpunktet, og hvis rommet er lokalt konveks , er det konveks.
• Hvis det er en tellbar skillefamilie av semi-normer , er rommet lokalt konveks og metrisk .

Fullt metrizable rom

• Et topologisk rom kalles fullstendig metrisiserbart (også topologisk komplett ) hvis det er homomorf til et komplett metrisk rom.
• Det er metriske mellomrom, hvis underliggende beregning ikke er en fullstendig beregning, men som fremdeles kan måles fullstendig. Disse inkluderer for eksempel det åpne enhetsintervallet eller settet med irrasjonelle tall.
• I følge Hausdorffs teorem er et underrom av et fullstendig metriserbart rom fullstendig metriserbart hvis det er en delmengde .${\ displaystyle G _ {\ delta}}$${\ displaystyle G _ {\ delta}}$
• Generelt gjelder Čechs teorem : Et topologisk rom er fullstendig metriserbart hvis og bare hvis det er metriserbart og samtidig er topologisk komplett . Et topologisk rom er topologisk komplett hvis og bare hvis det er homeomorft til et sett med et kompakt Hausdorff-rom .${\ displaystyle G _ {\ delta}}$
• Et fullt målbart lokalt konveks topologisk vektorrom kalles et Fréchet-rom .
• Et separerbart, fullt metriserbart rom kalles det polske rommet , slike rom og spesielt deres undergrupper er gjenstand for etterforskning i beskrivende mengde teori .

Eksempler, konstruksjon av en beregning

Den enkleste måten å konstruere beregningen på er når det topologiske rommet er et endelig produkt av metriske rom . Du kan da bare legge til beregningene, for eksempel: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (M_ {i}, d_ {i}); \; 1 \ leq i \ leq n}$

${\ displaystyle d ((x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}), (y_ {1}, y_ {2}, \ dotsc, y_ {n})) = d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}) + d_ {2} (x_ {2}, y_ {2}) + \ dotsb + d_ {n} (x_ {n}, y_ {n})}$

Man kan gå frem på en lignende måte hvis det topologiske rommet er et tellbart produkt av metriske mellomrom . Deretter må man tvinge konvergensen til den "uendelige summen" gjennom en positiv sekvens og om nødvendig erstatte beregningene d _i med topologisk ekvivalente beregninger avgrenset av en felles grense. Definisjonen gjør begge deler: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (M_ {i}, d_ {i}); \; i \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle d ((x_ {i}), (y_ {i})) = \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} {\ frac {d_ {i} ( x_ {i}, y_ {i})} {1 + d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}}}$

Moteksempler

• Det produkt topologi av minst to-punkts metriske rom kan ikke metrised hvis indeksen settet kan overcounted.${\ displaystyle \ textstyle X = \ prod _ {i \ i I} M_ {i}}$${\ displaystyle I}$
• Den første ikke-tellbart ordenstall , forsynt med sin orden topologi, er ikke paracompact og kan derfor ikke bli metrised.${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$

litteratur

• Boto von Querenburg : Sett teoretisk topologi (= universitetstekst ). 2., revidert og utvidet utgave. Springer, Berlin et al. 1979, ISBN 3-540-09799-6 .
• Walter Rudin : Funksjonell analyse (= International Series in Pure and Applied Mathematics ). 2. utgave. McGraw-Hill, New York City NY et al. 1991, ISBN 0-07-054236-8 .
• Horst Schubert : topologi. En introduksjon . 4. utgave. BG Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 . 

Individuelle bevis

1. ^ Schubert: Topologi. 1975, s. 97.
2. ↑ Eduard Čech : On Bicompact Spaces . I: Annals of Mathematics . Vol. 38, nr. 4, 1937, s. 823-844. doi : 10.2307 / 1968839 .
3. Will Stephen Willard: Generell topologi . Addison-Wesley, Reading MA et al. 1970, s. 180 .