Konvergent sett rekkefølge

En konvergent settsekvens er en mengdesekvens som limene er overlegne og limene som er underordnede i den settede sekvensen . Konvergente mengdesekvenser forekommer for eksempel i sannsynlighetsteori og målteori .

definisjon

En sekvens av sett er gitt fra et grunnleggende sett . The Limes overlegen mengden ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} } A_ {m} \ høyre)}$

er settet med alle elementene som er i uendelig mange . The Limes inferior of the series of sets ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} } A_ {m} \ høyre)}$

er settet med alle elementene som er i nesten alle (dvs. i alt bortsett fra et endelig antall) . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle A_ {n}}$

Sekvensen av sett kalles da konvergent hvis dens underordnede kalk og overlegne kalk sammenfaller, altså

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$

er.

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}: = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$

kalles da grensen for sekvensen eller grensen for sekvensen . Deretter sier de at mengden av oppfølging opp konvergerer. ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$

Eksempler

Som et eksempel ser vi på settrekkefølgen

${\ displaystyle A_ {n}: = [0; 1 {,} 5 + 0 {,} 5 (-1) ^ {n}]}$.

For alt er alltid ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m} = [0; 1] {\ text {and}} \ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty} A_ {m} = [0; 2]}$.

Slik er det også

${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} A_ {n} = {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty}} [0; 1] = [0; 1] \ neq [0; 2 ] = {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} [0; 2] = \ limsup _ {n \ to \ infty} A_ {n}}$.

Dermed er limene overlegne og underordnede limer ikke enige, så sekvensen konvergerer ikke.

Konvergens av monotonsett sekvenser

Monotont synkende sett sekvenser , dvs. de med og monotont voksende sett sekvenser , dvs. de med , konvergerer alltid. En sekvens av sett konvergerer til ${\ displaystyle A_ {1} \ supset A_ {2} \ supset A_ {3} \ cdots}$${\ displaystyle A_ {1} \ subset A_ {2} \ subset A_ {3} \ cdots}$${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$,

når det faller monotont, og imot

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$,

når den vokser monotont. Hvis grenseverdien er en monotont fallende sekvens, skriver man også . Hvis grenseverdien er en monotont økende sekvens, skriver man også . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A}$

Se også

• Hausdorff-konvergens

litteratur

• Jürgen Elstrodt: Måle- og integrasjonsteori . 6., korrigert utgave. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9 , doi : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 .