Cheeger og Gromovs kompakthetssetning

Det kompakte settet med Cheeger og Gromov , ofte kalt Gromov-kompaktitetssetning kalt, er en matematisk teorem innen differensialgeometri . Det gir en uttalelse om Gromov-Hausdorff-konvergensen av sekvenser av Riemann-manifolder med gitt diameter, volum og krumningsgrenser. En direkte konsekvens av kompaktitetssatsen er Cheegers endelige setning . Under svakere forhold gjelder Gromovs pre- kompaktitetssetning .

Setning for precompactness

For en gitt dimensjon og gitte konstanter, og er settet med Riemann- manifolder , er deres diameter og Ricci-krumning ulikhetene ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ operatorname {diam} (M) \ leq D, Ric (M) \ geq R}$

tilfredsstille, en relativt kompakt delmengde i rommet til alle metriske rom med Gromov-Hausdorff-topologien .

Kompaktitetssetning

Hvis det er for en rekke konstanter Riemannske mangfoldigheter , , er slik at for alle estimatene ${\ displaystyle (M_ {i}) _ {i \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ operatorname {diam} (M_ {i}) \ leq D, \ quad \ operatorname {vol} (M_ {i}) \ geq V, \ quad -K \ leq \ sec (M_ {i}) \ leq K}$

hold, da en undersekvens i Gromov-hausdorff-topologi konvergerer til en Riemannsk manifold . Her det volum , diameteren og den seksjonkurva betegne den Riemann manifolden . ${\ displaystyle M_ {i_ {k}}}$${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle \ operatorname {vol} (M_ {i})}$${\ displaystyle \ operatorname {diam} (M_ {i})}$${\ displaystyle \ sec (M_ {i})}$${\ displaystyle M_ {i}}$

Følgen av Riemannian manifolds kan velges på en slik måte at det er diffeomorfismer som den Riemannian metric konvergerer for. ${\ displaystyle (M_ {i_ {k}}, g_ {i_ {k}})}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i_ {k}} \ kolon M_ {i_ {k}} \ til M}$${\ displaystyle \ phi _ {i_ {k}} ^ {*} g_ {i_ {k}}}$ ${\ displaystyle g}$

litteratur

• Michail Leonidowitsch Gromow : Metriske strukturer for riemanniske og ikke-riemanniske rom. Basert på den franske originalutgaven fra 1981. Med vedlegg av M. Katz, P. Pansu og S. Semmes. Oversettelse fra fransk av Sean Michael Bates. Progress in Mathematics, 152. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1999. ISBN 0-8176-3898-9
• RE Greene, H. Wu: Lipschitz-konvergens av Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 131 (1988) nr. 1, 119-141.

weblenker

• Peter Petersen: Convergence Theorems in Riemannian Geometry
• Robert Haslhofer: Convergence of Riemannian Manifolds